Figura 9 – Resposta ao impulso do sistema em análise. Autor: (NOVÁK, 2009)
Figura 10 – Módulo da resposta frequencial dos impulsos. Autor:(NOVÁK, 2009) parte linear do sistema em análise. Dessa forma é possível separar temporalmente cada resposta ao impulso, a partir do valor de Δ𝑡𝑚 como mostra a figura abaixo:
Através do uso da Transformada de Fourier de cada resposta ao impulso é obtida a resposta frequencial de cada impulso como mostra a figura 10
Na figura 10, as frequências 𝑓1 e𝑓2 são as frequências em que o sinal de excitação começa e termina, respectivamente.
3.2 Metodologia utilizada para caracterizar um modelo
Utilizando o método de caracterização proposto por Farina em (FARINA; BEL-LINI; ARMELLONI, 2001) e por Novak em (NOVAK et al., 2010a), que consiste em alimentar um sistema não linear com um sinal senoidal que varia a sua frequência de forma exponencial, criou-se um modelo de amplificador virtual com as características de um modelo físico.
O amplificador utilizado para a caracterização, mostrado na figura11, é um Blacks-tar HT-5 C, composto por uma válvula 12BH7 no pré amplificador e uma ECC83 na parte de amplificação de potência. Diferente da tentativa de caracterização realizada em
traba-40 Capítulo 3. Metodologia
Figura 11 – Amplificador Blackstar HT-5 C
lhos passados, a caracterização foi feita gravando a saída do pré amplificador, simplificando a quantidade de equipamentos utilizados, evitando ao máximo a captação de ruídos para tenta obter o sinal mais limpo de interferências possíveis.
A criação do sinal de teste foi feita segundo a equação2.30, utilizando o programa Matlab para computar a função e gerar o arquivo de áudio em formato .wav. O tempo de duração do sinal foi de 20 segundos, gerando 882000 amostras, devido a frequência de amostragem de 44,1 kHz que foi igualada a frequência da interface de áudio USB utilizada durante o processo de gravação dos sinais.
O sinal exponencial então foi exportado em uma trilha mono, para o programa Audacity, que é um editor, gravador e reprodutor de áudio e configurada para enviar o sinal para a saída da interface. Utilizando a interface de áudio M-audio Fast Track Pro, conectou-se a saída do pré amplificador presente no Blackstar à entrada de áudio da interface, através de um cabo P10. A saída da interface, por onde o sinal exponencial é enviado do computador, foi conectada à entrada de instrumentos do amplificador. No software Audacity, foi criada uma segunda trilha de áudio armada para gravar o sinal na entrada da interface.
A figura 12 mostra como foram feitas as conexões entre computador, interface e amplificador.
Após a gravação do sinal exponencial na saída do pré amplificador, o arquivo contendo as informações foi exportado para o Matlab onde foi processado e convoluído com o sinal exponencial invertido para obtenção dos núcleos , como mostra a figura 8.
Seguindo a extração dos núcleos , separou-se cada impulso obtido para a construção do modelo deHammerstein do amplificador, exemplificado na figura 13
3.2. Metodologia utilizada para caracterizar um modelo 41
Figura 12 – Diagrama de conexão do sistema de caracterização
Figura 13 – Modelo de Hammerstein. Retirado de: (GUDUPUDI; BEAUGEANT;
EVANS, 2014)
42 Capítulo 3. Metodologia
A ordem do sistema, ou seja, a quantidade de núcleos utilizados para construir o modelo de Hammerstein, foi ajustada para utilizar 11 núcleos . A saída do sistema então foi obtida, com a convolução de 11 sinais, cada um elevado a um expoente, cujo valor máximo é determinado pela ordem do sistema, com o núcleos associado a cada expoente.
Esses sinais são somados e resultando em um único sinal de áudio que representa a saída final do modelo caracterizado. A figura 14 exemplifica o funcionamento do algorítimo criado para a simulação do amplificador caracterizado.
Figura 14 – Fluxograma do programa desenvolvido
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4 Resultados
A montagem do sistema de Hammerstein, permitiu que fosse criada um modelo virtual do amplificador. Para verificar o funcionamento e performance do sistema criado, foi utilizado um único sinal de entrada para o amplificador real e o modelo virtual. O sinal de teste aplicado foi uma senoide de 1 kHz, mostrada na figura15, na parte superior da imagem. Na parte inferior da figura 15, em azul está plotado a saída gravada do amplificador físico, em laranja, sobrepondo quase que por completo a cor azul, é a saída do modelo virtual do amplificador.
Para medir valores mais concretos entre as saídas gravadas do modelo real e físico, foi aplicado aos sinais gravados de cada modelo, a Transformada de Fourier para visualizar a resposta em frequência dos amplificadores. Na figura 16, na parte superior é mostrada a resposta frequencial do amplificador físico, já na parte inferior, a resposta frequencial do modelo. Através desse tipo de análise, é possível ter uma ideia das diferenças de intensidade entre os harmônicos gerados pelo modelo físico e pelo modelo de Hammerstein. A tabela 1, mostra as medidas realizadas para cada harmônico entre os modelos, como se trata de um valor de intensidade de som, a unidade utilizada para os valores está de decibels.
Os dados das tabelas mostram pequenas divergências entre os modelos, como no sexto harmônico, onde foi obtido o maior erro entre todos. Alguns harmônicos, como no
Figura 15 – Superior: Sinal senoidal de 1 kHz utilizado para testar os modelos. Inferior:
Em azul está o sinal distorcido pelo amplificador físico, em laranja a saída do modelo deHammerstein
44 Capítulo 4. Resultados
Tabela 1 – Propriedades obtidades após processamento
Harmônico Amplificador (dB) Modelo(dB) Diferença (dB) % erro
Fundamental 48,20 48,36 -0,16 0%
2o 39,06 38,99 0,06 0%
3o 16,1 45,67 0,43 1%
4o 37,09 37,65 -0,56 -2%
5o 33,45 34,60 -1,15 -3%
6o 33,73 31,84 1,89 6%
7o 36,68 36,42 0,26 1%
8o 35,49 34,22 1,27 4%
9o 35,90 34,84 1,06 3%
10o 32,44 32,06 0,37 1%
11o 32,07 30,67 1,39 4%
Tabela 2 – Resultados obtidos
caso do Fundamental e de outros, ultrapassa o valor do harmônico produzido pelo ampli-ficador real. Por se tratar de uma digitalização, passando de um meio físico para um meio virtual, pela utilização de cabos e conectores e de uma interface de áudio, que realiza uma amostragem do sinal através de um conversor analógico digital, é de extrema dificuldade criar um modelo fiel, que consiga modificar o som de modo idêntico ao amplificador real, porém esse modelo pode alcançar resultados próximos o suficiente, possibilitando o uso de modelos desenvolvidos através dessa técnica.
Figura 16 – Resposta em frequência dos modelos
Além de todos os equipamentos, cabos e conectores utilizados para a gravação dos sinais, existe uma relação máxima entre a ordem do modelo e a viabilidade de separação dos núcleos . O primeirokernel, observado bem no centro da figura17é separado por uma
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Figura 17 – núcleos obtidos
distância razoável do segundokernel, mas com o passar dos núcleos essa distância diminui, assim como suas intensidades, podendo ser considerado apenas ruído. A separação entre eles é dada pela equação 3.1, onde o Δ𝑡𝑚 é definido por:
Δ𝑡𝑚 =𝐿ln(𝑚), (4.1)
O parâmetro L na equação 4.1 é definido pelos parâmetros iniciais do sinal de excitação do sistema durante a caracterização e pode ser calculado através da equação 2.33
Além da intensidade dos núcleos diminuir, eles tendem a estreitar os espaços, dificultando a separação de cada kernel com a utilização de sistemas que utilizam ordens elevadas.
5 Conclusão
Neste trabalho, buscou-se caracterizar um amplificador valvulado de guitarra cri-ando um modelo virtual que possuísse as características principais do amplificador utili-zado como molde. Para isso utilizou-se o método de caracterização de sistemas não lineares através do uso de Séries de Volterra. A identificação dos núcleos da Série de Volterra para a modelagem do sistema utilizando o modelo de Hammerstein, foi feita com a aplicação de um sinal senoidal variando exponencialmente na frequência, um Swept Sine explicado na seção ??. Ao aplicar o Swept Sine no amplificador e gravar sua saída, é obtido um Swep Sine distorcido. A obtenção dos núcleos é feita pela convolução do Swept Sine in-vertido no tempo, levando ao resultado mostrado na figura17. Cadakernel é separado em impulsos, que posteriormente são transformados em filtros, conforme a figura13 mostra.
A reconstrução da saída através do modelo de Hammerstein é feita elevando o sinal de entrada conforme a quantidade de núcleos utilizados na montagem do modelo. A acurá-cia do sistema foi medida através da aplicação de uma senoide pura com frequênacurá-cia de 1 kHz, comparando o sistema o modelo virtual com o amplificador molde. As respostas gravadas, tiveram os harmônicos medidos para permitir uma visualização numérica entre os modelos, os resultados foram contabilizados na tabela1.
O modelo apresenta um bom desempenho na construção de um sinal senoidal distorcido, os harmônicos são construídos de forma semelhante ao modelo físico. A figura 15mostra que existem harmônicos que não foram emulados devido a ordem escolhida do sistema, apenas 11 harmônicos foram emulados. Como os harmônicos perdem intensidade com o aumento da frequência, a influência daqueles com elevadas frequências é pequena na construção do sinal.
A aplicação do modelo em um sistema que funcione em tempo real ainda é um pouco dificultada pelo gasto computacional para processar todo o método de aplicação do sistema deHammerstein, inviabilizando um sistema de baixa latência.
A utilização de redes neurais aparenta ser uma solução para a criação de um modelo fiel a modelagem de sistemas não lineares, podendo desenvolver aplicações operando em tempo real com baixa latência. Arquiteturas implementadas com redes neurais podem ser treinadas com um conjunto de dados que fornece a resposta frequencial do amplificador utilizado como molde.
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