Metodologia VeriSC com Algoritmos Genéticos

Nous cherchons ici à identifier les paramètres participant à la réponse au voilement ther-mique des éléments SCs. Pour cela, nous réaliserons des études de criblage grâce à l’utilisa-tion conjointe des plans d’expériences et des simulal’utilisa-tions numériques. L’étude paramétrique ainsi menée fournira des informations qualitatives des effets des facteurs considérés sur la température critique et l’amplitude du déplacement transverse.

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1.1.1 Introduction aux plans d’expériences

Les plans d’expériences sont des outils d’optimisation utilisés autant dans la recherche appliquée qu’en ingénierie. Ils consistent en une série d’essais ordonnés de telle sorte qu’un maximum d’informations puissent être extraites d’un minimum de résultats expérimentaux [Goupy, 2000]. Ils sont généralement utilisés afin d’optimiser des réglages, de modéliser un comportement et de déterminer des facteurs clés.

Nous nous intéresserons particulièrement à ce dernier objectif qui est généralement at-teint en procédant à des études de criblage. Ces dernières permettent d’évaluer qualitative-ment l’influence statistique des facteurs recensés par l’utilisateur. La méthodologie d’une telle étude se résume en quatre étapes : le recensement des facteurs d’influence (i), l’at-tribution de valeurs à ces facteurs. Ces valeurs, pouvant être quantitatives ou qualitatives, discrètes ou continues, sont centrées réduites et dénomméesniveaux. Le niveau bas prend donc la valeur−1 et le niveau haut, la valeur+1 (ii), la définition du plan factoriel (complet ou réduit) correspondant à l’étude (iii) et la réalisation des essais suivie de leurs interpréta-tions (iv).

Plans factoriels complets : Soient {x_i}, i ∈ ‚1,nƒ l’ensemble des facteurs contribuant à une réponse y. Réaliser un plan d’expérience complet consiste à tester toutes lesm com-binaisons possibles pour chaque valeur associée à chaque facteur afin de construire le mod-èle : réal-isé. Le coefficientai représente l’effet moyendu facteurxi sury et les ai j correspondent à la mesure de l’interactionentre les facteursxi etxj. La méthode traditionnelle pour déter-minera_i consiste à fixer les facteursx_j, j 6=i et à faire varierx_i. La totalité des mesures n’est alors pas exploitée pour déterminer l’effet d’un facteur. La méthode des plans d’expérience consiste à réaliser les essais aux extrémités du domaine expérimental. Les vecteursx_i, con-stitués des valeurs prises parx_i pour les différents essais, sont alors orthogonaux entre eux.

Pour des facteurs à deux niveaux, l’effet moyen dexi est alors calculé à partir de la moyenne des sorties ¯y⁺_xi(x) obtenues lorsque xi = +1 moins la moyenne des sorties ¯y⁻_xi(x) obtenues Par analogie, une interaction peut être déterminée à partir de l’équation 3.3.

a_{i j}=1 2

³y¯⁺_xixj(x)−y¯⁻_xixj(x)´

(3.3) Les effets et interactions sont alors déterminés à partir de l’ensemble des résultats. Cepen-dant le nombre s nécessaires à l’obtention des coefficients a_i ou a_{i j} devient rapidement prohibitif. Pourn facteurs à deux niveaux, 2ⁿ essais doivent être réalisés si on suit un plan complet afin de déterminer l’ensemble des coefficients du modèle.

Plans factoriels fractionnaires : Les plans fractionnaires sont une solution permettant de réduire le nombre d’expérimentations à réaliser au détriment de certaines interactions nég-ligées dans le modèle. Ce sont les plans utilisés pour les études de criblages. Étant considérés nparamètresx_i à deux niveaux, on désire réduire le nombre d’essais à 2^n−p(p∈N). Les ma-trices des plans fractionnaires utilisent les mama-trices des plans complets. Ce sont donc des matrices carrées qui ne permettent d’évaluer que 2^n−p effets et interactions sur les 2ⁿ exis-tants. Il est donc nécessaire de retrouver les coefficients manquants du plan complet dans les 2^n−p grandeurs étudiées du plan fractionnaire.

Ceci est rendu possible en fixant des contraintes, nomméesaliases, vraies dans chacune des 2^n−pexpériences. Soitx_i(resp.x_j) le vecteur de dimension 2^n−preprésentatif des valeurs prises par le paramètrex_i (resp.x_j). Les termesx_il etx_jl,l∈ ‚1,2^n−pƒvalent±1. Le vecteur x_k=x_i×x_j obtenu en réalisant le produit de Hadamard dex_i parx_j : présente les mêmes caractéristiques. Il vient alors pour toutes les expériencesx_i×x_j×x_k =1. L’aliase initiale choisie par l’expérimentateur estx_k=x_i x_j qu’on écrirax_ix_jx_k.

Par exemple, considérons l’étude d’un plan fractionnaire àn=3 facteurs pour lequel on souhaite diviser par 2 le nombre d’essais :p=1. L’aliase choisie estx3=x1x2. On remarque alors quex1=x2x3, x2=x1x3, x3=x1x2et x1x2 x3=1. Le modèle se met alors sous la formey =(a₀+a₁₂₃)+(a₁+a₂₃)x₁+(a₂+a₁₃)x₂+(a₃+a₁₂)x₃. On introduit la notion de contrastequi traduit une somme algébrique d’effets et/ou d’interactions, ici h^pe₀ =a0+a123, h^pe₁ =a1+a23, h^pe₂ =a2+a13et h^pe₃ =a3+a12. La matrice des effets du plan réduit s’écrit :

TABLE3.1:Matrice des effets pour un plan 2³⁻¹

Essai 1 x1 x2 x1x2 y

(x1x2x3) (x2x3) (x1x3) (x3)

1 +1 -1 -1 +1 y₁

2 +1 +1 -1 -1 y₂

3 +1 -1 +1 -1 y₃

4 +1 +1 +1 +1 y₄

contraste h^pe₀ h^pe₁ h^pe₂ h^pe₃

Il est possible de déduire les effets et interactionsades contrasteshlorsque les interac-tions sont négligeables. Le choix de l’aliase initiale conditionne directement la possibilité de distinguer les effets des facteurs des effets des interactions. Construire un plan d’expérience adapté au problème traité n’est pas toujours aisé. De nombreuses méthodes existent afin de satisfaire à cet objectif. On pourra citer entre autres les méthodes de Box et Hunter [Box et al., 1978] consistant à négliger l’interaction d’ordre le plus élevé, où encore les tables de Taguchi fournissant des tables associées à des graphes linéaires [Taguchi, 1987].

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1.1.2 Élaboration des plans adaptés au voilement thermique

La problématique du voilement thermique des éléments SCs suggère de rechercher les paramètres influençant la température critique de voilement (T_crit) et le déplacement hors-plan (w) de la peau métallique. La première étape pour mener les études de criblage consiste à recenser les paramètres pouvant intervenir dans la réponse. Compte-tenu du caractère local du comportement recherché, les études seront réalisées à l’échelle de la maille élé-mentaire représentée dans la figure 2.1b. Nous nous intéresserons tout particulièrement au poids : de l’élancement de la plaqueϕ(i), du module d’Young de l’acierEa (ii), de la limite d’élasticité de l’acierσ_y (iii), du défaut initialw⁽ (iv), de la raideur imposée aux conditions limitesK^S (v), du diamètre des connecteurs Ø_g (vi), de la modélisation des transferts ther-miques à l’interface IPBH^th

ipb(vii) , de la loi de comportement affectée à l’acierH_a^e_{(viii), et} au bétonH ^e

b (ix) et enfin de la vitesse de chauffe ˙T (x). Pour le déplacement, nous ajouterons bien sûr le poids de la températureT (xi).

Les niveaux minimum et maximum des paramètres sont définis par rapport au domaine d’étude et à la littérature (chapitre I). Ainsi, on prendraT⁻=20^◦C etT⁺=200^◦C. Il en dé-coule directement les niveaux des paramètres matériaux dont les évolutions sont données au chapitre II. ˙T⁻correspond à la vitesse de chauffe la plus lente rencontrée lors de l’acci-dent BWA (figure 1.5b) et ˙T⁺ correspond au chargement type accident grave (figure 1.5a).

L’ensemble des paramètres et de leurs niveaux (+et−) étudiés dans les études de criblage sont répertoriés dans la table 3.2 pour les études deTcritet dew.

TABLE3.2:Paramètres étudiés et leurs niveaux pourTcritetw

Sortie Nom Symbole + −

Tcrit&w a ϕ 80 40

Tcrit&w b Ea 210000MPa 189000MPa

T_crit&w c σ_y 355MPa 235MPa

T_crit&w d w⁽ 2mm 0.01mm

Tcrit&w e Øg 13mm 6mm

Tcrit&w f K^S ∞ 0N & m

Tcrit&w g H_a^e _{plastique élastique} Tcrit&w h H^e

b mazars élastique

T_crit&w i H ^th

ipb lame d’air contact parfait T_crit&w j T˙ 12^◦C/min 0.7^◦C/h

w k T 100^◦C 200^◦C

PourTcrit, on désire étudier les influences de 10 facteurs ainsi que certaines interactions ϕEa,ϕw⁽ etEa σ_y. Pourw on désire étudier les influences de 10 facteurs ainsi que les in-teractions suivantes :ϕK^S,K^ST,T ϕ,T E_a etT σ_y. Dans les deux cas, on constate que 16 calculs numériques suffisent à obtenir tous les paramètres.

On négligera dans la suite les interactions d’ordre 3. Il convient alors de définir des

plans d’expériences de résolution IV. On assure ainsi que les contrastes associés aux facteurs étudiés ne tiennent compte que des effets des facteurs et d’interactions d’ordre supérieur à 3.

Des plans réduits 2¹⁰⁻⁶ pourT_crit et 2¹¹⁻⁷ pour w réduisent le nombre de simulations numériques à 16 mais ne permettent pas d’assurer l’ordre de résolution recherché. On utilise donc des plans réduits 2¹⁰⁻⁵pourTcritet 2¹¹⁻⁶pourw. Il est alors nécessaire de réaliser 32 calculs numériques pour déterminer l’effet de chaque facteur.

On choisit pourTcritles cinq aliases indépendantes suivantes :I1=abcd f, I2=abceg, I3= abdeh, I4 =acdei et I5=bcde j. On en déduit les aliases dépendantes par combi-naisons des produits des {I_n},n∈ ‚1,6ƒ. Il apparaît dans la table 3.3 que les facteurs ne sont jamais couplés à des interactions d’ordre 2.

TABLE3.3:Aliases dépendantes : plan 2¹⁰⁻⁵de résolution IV

IV abi j ach j ad g j ae f j bchi

bd g i be f i cd g h ce f h de f g

V ab f g h ac f g i ad f hi aeg hi bc f g j bd f h j beg h j cd f i j ceg i j dehi j

f g hi j

VIII abcd g hi j abce f hi j abde f g i j acde f g h j bcde f g hi

On procède de même pour la construction du plan dewen choisissant cette fois comme aliases indépendantesI₁=abc f, I₂=bcd g,I₃=cdeh,I₄=acdi, I₅=ade j etI₆=bdek.

Les aliases dépendantes déduites sont décrites dans la table 3.4. On vérifie ainsi que le plan d’expérience est également de résolution IV.

TABLE3.4:Aliases dépendantes : plan 2¹⁰⁻⁶de résolution IV

IV abg i ab j k ach j ad f g aehi

a f hk bchk bdek bd f i beg h

b f h j ceg k cei j c f g i c f j k d g hk dhi j e f g j e f i k g i j k VI abceg j abcei k abde f h abd g h j abdhi k

abe f g k abe f i j acde f k acd g j k ace f g h acg hi k adeg i k ad f i j k aeg h j k a f g hi j bcde f j bcdi j k bce f hi bcg hi j bdeg i j bd f g j k behi j k b f g hi k cd f g h j cd f hi k de f g hi de f h j k

VIII abcdeg hi abcdeh j k abcd f g hk abcd f hi j abc f g i j k acde f g i j ace f hi j k bcde f g i k bce f g h j k cdeg hi j k X abde f g hi j k

Paramètres pilotant la réponse au voilement thermique 93

1.1.3 Vérification des effets et des interactions

TABLE3.5:Matrices des effets 2¹⁰⁻⁵pourTcrit(a) et 2¹¹⁻⁶pourw(b)

contraste 144.194 -16.544 -0.419 -0.419 1.469 0.044 -55.856 -5.506 0.369 -1.419 -0.044 0.369 0.006 -0.044 -0.369 1.419 -16.594

(b)

contraste 4.227 1.397 0.075 0.075 -0.084 0.120 3.692 -0.022 -0.398 -0.130 0.074 1.991 1.239 -0.262 1.743 -0.020 -0.031

la démarche exposée au paragraphe 1.1.2 permet la construction des matrices des effets pour la température critique (table 3.5a) et le déplacement hors-plan (table 3.5b). Les

con-1. En absence de flambement, la température critique est prise égale à la température imposée maximale.

trastes de chaque facteur pour les deux sorties étudiées sont calculés puis retranscrits graphiquement dans les graphes d’effets 3.1a et 3.1b. Ces derniers mettent en perspective l’évolution deT cetwen fonction des paramètres étudiés.

-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 100

150 200

Tcrit(◦ C)

ϕ Ea σy (

w Øg K^S H_a^e H^e

b H^th

ipb T˙

(a)

-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 0

2 4 6 8

w(mm)

ϕ Ea σy w( Øg K^S H^e

a H^e

b H^th

ipb T˙ T

(b)

FIGURE3.1:Effets des paramètres étudiés sur la température critique (a) et le déplacement hors-plan (b)

La figure 3.1a montre immédiatement quedeux paramètres, l’élancement et la raideur des conditionslimites, conditionnent la valeur de la température critique, conformément aux attentes. Ainsi, des conditions limites plus fortement bridées ou une plaque plus élancée auront tendance à abaisser le seuil de criticité et à précipiter le voilement de la plaque chauf-fée. Dans une moindre mesure, les hypothèses de modélisations portant sur le comporte-ment de l’acier (H_a^e) influencent également la température critique. En effet, un comporte-ment plastique provoque l’instabilité plus rapidecomporte-ment qu’un comportecomporte-ment élastique.

Dans le cas du déplacement hors-plan, outre les facteurs K^S etϕ, il faut évidemment tenir également compte de la participation de la température à la réponse.Le déplacement est amplifié pour des plaques plus élancées, plus fortement bridées ou sollicitées à des niveaux plus élevés. Les tables 3.5a et 3.5b montrent que les interactions d’ordre deux faisant intervenir ces facteurs :ϕK^S, ϕT et K^ST ne sont pas négligeables. En effet, on comprend aisément qu’une plaque fortement élancée soumise à des températures importantes ne peut se voiler si elle n’est pas bridée.

La vitesse de chauffeT˙et les hypothèses de modélisation des transferts thermiquesà l’interface ont unimpact très modérésur le voilement de la plaque en acier.

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Pour finir, il est plus étonnant de remarquer queσ_yetE_aont peu d’influence sur la tem-pérature critique et le déplacement hors-plan. Ce résultat sera discuté plus amplement dans les paragraphes suivants. Par ailleurs, la confrontation des figures 3.1a et 3.1b montre que l’influence des hypothèses de modélisation du béton est nulle sur la température critique et faible sur le déplacement. Ces résultats semblent contradictoires : le béton, s’il participe au voilement en procurant une certaine raideur à la plaque devrait avoir une influence tant sur la condition de criticité que l’amplitude du déplacement. Au contraire, son rôle pourrait ne se limiter qu’au bridage de certains modes de flambement et avoir une influence nulle sur la réponse de la plaque en termes de déplacement ou de température critique. L’influ-ence très faible du diamètre des connecteurs sur les deux sorties étudiées tend à confirmer la seconde hypothèse, auquel cas, les conditions limites autres queK^S seraient du second ordre par rapport au bridage local des bords de la plaque chauffée. Le contraste h^pe_He

b est tel que l’effet deH ^e

b est aliasé avec l’interaction du troisième ordreϕK^ST. Il est possible que cette dernière soit dominante ce qui expliquerait les écarts que nous venons de discuter.

Les résultats et discussions ainsi présentés seront validés et approfondis par une analyse de sensibilité menée au prochain paragraphe.