MICRORESSONADORES ACOPLADOS: MODOS ACOPLADOS

Uma vez entendida a CMT, é fácil estender as equações para múltiplos ressonadores acoplados. Por exemplo, suponha que tenhamos solucionado os modos de dois microanéis distintos. Por simplicidade, suponha um único modo para cada anel. OriginalmenteQuando colocados próximos um ao outro, com uma distância ainda grande comparada com a região de decaimento exponencial do modo, o efeito perturbativo é, novamente, uma mudança local na permissividade elétrica Δε “enxergada” pelo modo. Os modos deixam de ser auto-estados do problema acoplado e passam a obedecer às relações acopladas [4]:

{ȧ1(t) = (j ω1− γi1 2 − γe 2) a1(t) + jκ12a2(t) + j√γesine jωt ȧ₂(t) = (j ω2− γi2 2 ) a2(t) + jκ12a1(t) ( 3.3 )

em que são as frequências de ressonância naturais (não-perturbadas) dos modos de cada anel e é a frequência do laser de bombeio.

Aqui lembramos que cada modo foi escrito como:

ℰ i(𝕣, t) = an(t) 𝔼̂n(𝕣) ( 3.4 )

Para satisfazer conservação de energia, impomos que [4]: κ₁₂= −κ₂₁∗ _{= κ =}ω

2

∭ 𝔼̂₁∗_{(𝕣)⋅Δε(𝕣)⋅𝔼̂2(𝕣) d}3_𝕣

∭ ε(𝕣)|𝔼̂1(𝕣)|2 d3_𝕣 ( 3.5 )

Comparemos esta expressão com a equação (2.16), obtida com raciocínio análogo em guias de onda:

À parte normalizações, estas relações retratam basicamente o mesmo tipo de fenômeno de acoplamento, (3.6) em guias de onda e (3.5) em cavidades ressonantes em 3D. Contudo, as hipóteses de perturbação em guias são mais fracas, pois assumimos que o acoplamento é fraco apenas na seção transversal, enquanto nas cavidades o acoplamento integrado deve ser “pequeno”. A Figura (3.1) mostra um exemplo de acoplamento entre ressonadores, chamados racetracks, que pode ser “forte”, ainda que o trecho linear entre guias possa ser desenhado para apresentar acoplamento entre guias fraco.

Figura 3.1: Ressonadores do tipo racetracks acoplados. (a) Em destaque, a região de acoplamento entre os ressonadores, podendo ser forte o suficiente se o comprimento L for grande. Em (b), é mostrada a seção transversal do trecho linear dos racetracks, que pode ser aproximada por um acoplamento entre guias cuja intensidade é mediada pelo gap g entre os guias.

Lembrando que o acoplamento entre guias é parte fundamental das descrições de SMM e CMT, percebemos, novamente, como esta teoria é mais abrangente que a CMT.

Voltando ao sistema de equações (2.3), usamos as técnicas familiares de álgebra linear para identificar tanto os modos normais do sistema quanto suas autofrequências. Estas últimas são dadas por:

ω_±= (ω1+ω2) 2 + j 2 (γ1+γ2) 2 ± √[ (ω1−ω2) 2 + j 2 (γ1−γ2) 2 ] 2 + |κ|2 _{( 3.7 )}

Quando a diferença entre frequências naturais e/ou taxas de perdas é muito maior que a taxa de acoplamento, é fácil notar que recuperamos a situação de ressonadores desacoplados. Por isso, é interessante verificar o comportamento deste sistema na condição

próxima a degenerescência. Assim, considere que possamos sintonizar a frequência de um dos microanéis (por exemplo, por efeito termoóptico, através do uso de microaquecedores) em torno da ressonância do outro anel. Em outras palavras, queremos fazer:

ω1 = ω2+ δω ( 3.8 )

Podemos então avaliar o comportamento das frequências dos modos acoplados em termos da dissintonia δω entre as cavidades, conforme mostra a Figura 3.2 .

Figura 3.2: Partes real e imaginária das autofrequências de dois microanéis acoplados em função da dissintonia (𝛅𝛚). Em (a), é mostrada a parte real das autofrequências em relação à frequência de degenerescência (i. e., ω2). Os eixos estão normalizados em relação à diferença de taxa de perdas dos modos originais de cada anel (δγ). Em (b), é mostrada a parte imaginária (taxa de perdas) das mesmas autofrequências. Para este resultado, foi considerado um acoplamento κ = 2δγ.

Observamos na Figura 3.2 (a) a repulsão (ou anti-cruzamento) entre os novos modos, o que indica a hibridização entre modos de diferentes anéis. É possível verificar esse fenômeno percebendo-se que, longe da frequência de degenerescência, o comportamento das autofrequências é intercambiado (i. e. a derivada da curva azul à esquerda da degnerescência é a mesma da derivada da curva vermelha à direita e vice-versa), tanto na parte real quanto nas perdas (parte imaginária).

Agora, por simplicidade, admitamos que os modos desacoplados são, inicialmente, degenerados em frequência (ω1 = ω2 = ω̅ ) e em taxas de perda ( γ1 = γ2 = γ̅ ), isto é,

consideramos aqui a situação de ressonadores totalmente degenerados. As autofrequências serão dadas por:

ω_±= ω̅ ± |κ| +j

2γ̅. ( 3.9 )

É fácil verificar que, nesta situação, os modos acoplados serão respectivamente dados por:

b± = a1∓a2

√2 ( 3.10 )

Este é o mesmo resultado encontrado na Mecânica Quântica para moléculas diatômicas (ou duas caixas de potencial acopladas): um modo simétrico de menor energia (no caso de moléculas fotônicas, menor frequência) e outro antissimétrico de maior energia, conforme ilustrado da Figura 3.3.

Figura 3.3: Comparação entre molécula de matéria e molécula fotônica. Em (a), potencial 1/r duplo de molécula de hidrogênio, juntamente com os dois estados fundamentais (simétrico e antissimétrico). Em (b), perfil de índice de refração de dois anéis acoplados e solução de frequências mais baixas.

Como dissemos anteriormente, neste trabalho realizaremos sempre experimentos de transmissão de luz através de um guia de onda acoplado aos ressonadores. Assim, mais do que entender a formação de modos, buscamos antever qual será o espectro de transmissão das moléculas fotônicas. Neste sentido, o guia de onda que fornece potência eletromagnética ao sistema é o mesmo responsável por uma fonte de perdas (a chamada perda extrínseca de um dos ressonadores). Incorporamos, então, ao conjunto de equações (2.3) uma equação do tipo entrada-saída:

s_out = s_in+ j√γe a1 ( 3.11 )

Em (3.11), usamos novamente o fato que a onda na saída do guia é composta pela interferência da onda de entrada com aquela que escapa do anel em contato com o guia. Resolvendo (3.11) para o estado estacionário (também dito permanente), isto é, considerando- se que o tempo em que a fonte CW, acoplada ao guia, foi ligada é muito maior do que o tempo de vida de fótons das cavidades (dado pelo inverso de suas perdas totais), obtemos a seguinte relação de transmissão:

sout sin =

[j(ω−ω2)+γi2₂][j(ω−ω1)+γi1₂ −γe 2]+κ

2

[j(ω−ω2)+γi2₂][j(ω−ω1)+γi1₂ +γe₂]+κ2 ( 3.12 )

No regime permanente, qualquer campo no interior das cavidades oscila com a mesma frequência da fonte de luz, e a amplitude na saída do guia é dada pela equação (3.12). Percebemos que, ao se acoplarem dois ressonadores, a resposta do sistema já não é mais dada por lorentzianas, mas por uma combinação mais complicada de uma função racional de polinômios em . Ainda assim, a forma do espectro de transmissão está intimamente relacionada com os parâmetros de taxas mostrados na equação (3.3). Um esboço da transmissão de potência é mostrado na Figura (3.4)

Figura 3.4: Espectro de Transmissão de dois anéis acoplados. Tracejado, é mostrado o espectro de um único anel acoplado a um guia (com γi1= 2,36 × 1010 Hz e γe= 3,49 × 1010 Hz). Ao se acoplar outro anel de mesma ressonância (linha preta contínua), nota-se a separação das ressonâncias degeneradas, dependente apenas do fator de acoplamento κ (neste caso, κ = 3,49 × 1010 _{Hz e γ}

i2 = 2,36 × 1010 Hz).

Um dos resultados mais interessantes do acoplamento intermodal é o fato de que as ressonâncias da molécula fotônica não dependem somente das ressonâncias individuais de cada anel, mas também da interação entre os ressonadores. Ocorre que este último é muito mais fácil de ser projetado e, por conseguinte, podemos fabricar estruturas fotônicas com características espectrais mais próximas das idealizadas, incluindo distância espectral entre ressonâncias vizinhas da ordem de GHz e redução da largura de linha, mantendo-se o mesmo tamanho físico de dispositivo.

Como último tópico desta seção, mostraremos a facilidade de expandir esses conceitos para a situação de várias cavidades ópticas acopladas entre si, cada qual acoplada a um guia de ondas. Primeiramente, consideramos a situação em que os múltiplos acopladores excitam apenas uma direção por anel, mantendo uma degenerescência entre modos. Assim, seja N o número de ressonadores acoplados entre si. A equação matricial de taxa para o sistema é dada por:

d

em que a⃗ = (a1 a2 ⋯ aN)T é o vetor de amplitudes complexas dos diferentes modos, (√γ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (√γe1e √γe2 ⋯ √γeN)

T

é o vetor de acoplamento dos modos dos ressonadores com seus respectivos guias e s _in = (sin1 sin2 ⋯ sinN)T é o vetor de entradas normalizado, ou seja, é aquele que mostra como a potência luminosa cedida ao sistema está distribuída nas diferentes portas de entrada (∘ indica o produto entre elementos da mesma coluna, também chamado produto de Hadamard) . A matriz Ω⃡⃗ diagonal N x N representa as autofrequências do problema não acoplado, juntamente com as perdas totais de cada ressonador, enquanto a matriz κ⃡ N x N contém o elemento κ_mn não nulo se, e somente se, os microanéis m e n estão acoplados. Ignorando os efeitos de deslocamento de frequência induzido por acoplamento (em inglês, coupled-induced frequency shift – CIFS) [15], estas duas matrizes podem ser somadas, levando à seguinte matriz:

Ω ⃡⃗ _{+ κ⃡=} ( 𝜔1+ 𝑗(𝛾_𝑖1+ 𝛾_𝑒1)⁄2 κ12 ⋯ κ1N κ12 𝜔2+ 𝑗(𝛾_𝑖2+ 𝛾_𝑒2)⁄2 ⋯ κ2N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ κ1N κ2N … 𝜔𝑁+ 𝑗(𝛾_𝑖𝑁+ 𝛾_𝑒𝑁)⁄ )2 ( 3.14 )

Como consideramos que existem N guias, a situação geral passa a ser tratada como um sistema de múltiplas portas de entrada e múltiplas portas de saída (em inglês, multiple-input-

multiple-output system – MIMO), com cada saída respeitando uma lei de interferência,

correspondendo à seguinte relação matricial:

s _out = s _in+ j√γ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∘ a⃗ e ( 3.15 )

Novamente, podemos determinar os modos, as ressonâncias e as perdas do sistema acoplado diagonalizando a matriz (3.14), enquanto o espectro de transmissão de cada guia pode ser encontrado resolvendo (3.15) para a condição de estado estacionário.

Em capítulos posteriores, aplicaremos esta teoria caso a caso, e mostraremos que, dependendo de como modelamos o bombeio, o espectro de transmissão desta teoria não condiz com as observações experimentais para o caso de três ou mais anéis acoplados.