4.3 Metodologia para determinar a área de inclusões geradas pela k-type Gielis
5.1.3 Minimização do máximo da tensão
5.1.3.1 Carregamento biaxial (σ1= σ2)
Nas tabela 5.9 e 5.10, apresentam-se as distribuições da tensão de von-Mises nas microestruturas ótimas, obtidas considerando um carregamento biaxial onde o rácio das tensões macroscópicas é unitário. É apresentado para cada fração volúmica de material, o valor da densidade de energia de deformação da célula de base central u, o valor máximo teórico da tensão de von-Mises σteo
max e o valor máximo da tensão de von-Mises obtido
através da análise de elementos finitos σAN SY S
max . Também se calcula o parâmetro RE e a
percentagem do desvio entre σteo
Tabela 5.9: Solução do problema da minimização do máximo da tensão (σ1= σ2) e repre-
sentação da distribuição da tensão de von-Mises [MPa] nas microestruturas ótimas para várias frações volúmicas de material. Utilização da equação dasuperelipse para definir a forma das inclusões.
V [%] u [J/m3] σmaxteo σmaxAN SY S Desvio [%] RE [%] Campo de Tensões
20 8.64709 10.0 10.0 0.0 0.92 30 5.3160 6.666 6.686 0.30 1.69 40 3.64339 5.0 5.034 0.68 2.73 50 2.26462 4.0 4.053 1.32 4.48 60 1.99185 3.333 3.396 1.89 6.42 70 1.53211 2.857 2.905 1.68 4.71 80 1.18903 2.50 2.520 0.80 2.42 90 0.91950 2.222 2.221 0.04 0.70
5.1. FORMAS ÓTIMAS
Tabela 5.10: Solução do problema da minimização do máximo da tensão (σ1 = σ2) e
representação da distribuição da tensão de von-Mises [MPa] nas microestruturas ótimas para várias frações volúmicas de material. Utilização da equação dasuperformula para definir a forma das inclusões.
V [%] u [J/m3] σmaxteo σmaxAN SY S Desvio [%] RE [%] Campo de Tensões
20 8.67488 10.0 9.980 0.20 0.31 30 5.32377 6.666 6.659 0.10 0.89 40 3.64024 5.0 4.967 0.66 1.25 50 2.64183 4.0 3.955 1.12 0.35 60 1.98970 3.333 3.298 1.05 0.29 70 1.53171 2.857 2.843 0.49 0.66 80 1.18892 2.50 2.490 0.40 0.51 90 0.91949 2.222 2.221 0.45 0.60
As figuras 5.12 e 5.13 mostram para 1/4 da célula de base a evolução das formas ótimas das inclusões, para diferentes frações volúmicas de material. Estas figuras tam- bém apresentam o valor da tensão circunferencial nos elementos adjacentes às inclusões, em função de uma variável angular. Na figura 5.12 utiliza-se a equação da superelipse para descrever as formas das inclusões, enquanto que a figura 5.13 utiliza a equação da superformula. Os valores dos parâmetros ótimos das equações da superelipse e da superformula podem ser consultados nas tabelas B.2 a) e B.6, respetivamente.
Figura 5.12: Solução do problema da minimização do máximo da tensão (σ1= σ2) para
inclusões descritas pela equação dasuperelipse. a) Formas ótimas para diferentes frações volúmicas de material. b) Tensão de von-Mises nos elementos adjacentes às inclusões.
Figura 5.13: Solução do problema da minimização do máximo da tensão (σ1= σ2) para in-
clusões descritas pela equação dasuperformula. a) Formas ótimas para diferentes frações volúmicas de material. b) Tensão de von-Mises nos elementos adjacentes às inclusões.
5.1. FORMAS ÓTIMAS
Analisado primeiramente os resultados da tabela 5.9 e da figura 5.12 conclui-se que a utilização da equação da superelipse para descrever as inclusões, só permite obter resul- tados que satisfaçam o Equi-Stress Principle para frações volúmicas de material reduzidas ou elevadas. Ao contrário do que acontece quando se utiliza a parametrização da superfor- mula que permite obter excelentes resultados para todo o espectro de frações volúmicas. Comparando a qualidade dos resultados das duas parametrizações através da observação do parâmetro RE, verifica-se que a parametrização da superformula apresente uma quali- dade de resultados muito superior, sendo 1.25% o valor máximo do parâmetro RE. Estes resultados também mostram a vantagem de formular os problemas de otimização como a minimização do máximo da tensão. A figura 5.14 mostra a sobreposição do contorno das inclusões, definidos pelas equações da superelipse e da superformula.
Figura 5.14: Sobreposição das formas ótimas obtidas através da equação dasuperelipse e dasuperformula para o problema da minimização do máximo da tensão (σ1= σ2).
5.1.3.2 Carregamento biaxial (σ1= 2σ2)
Nas tabela 5.11 e 5.12, apresentam-se as distribuições da tensão de von-Mises nas microestruturas ótimas obtidas resolvendo o problema da minimização do máximo da tensão, considerando um carregamento biaxial onde o rácio das tensões macroscópicas é não unitário. Nestas tabelas é também apresentado para cada fração volúmica de material, o valor da densidade de energia de deformação da célula de base central u, o valor máximo teórico da tensão de von-Mises σteo
max e o valor máximo da tensão de von-Mises obtido
através da análise de elementos finitos σAN SY S
max . De modo a quantificar a qualidade dos
resultados é calculado o valor do parâmetro RE e a percentagem do desvio entre σteo max e
Tabela 5.11: Solução do problema da minimização do máximo da tensão (σ1 = 2σ2) e
representação da distribuição da tensão de von-Mises [MPa] nas microestruturas ótimas para várias frações volúmicas de material. Utilização da equação da superelipse para definir a forma das inclusões.
V [%] u [J/m3] σmaxteo σmaxAN SY S Desvio [%] RE [%] Campo de Tensões
20 20.1307 15.0 15.74 4.93 11.27 30 12.4025 10.0 10.52 5.20 6.78 40 8.51232 7.50 7.826 4.34 6.50 50 6.23124 6.0 6.197 3.28 6.05 60 4.76357 5.0 5.117 2.34 6.31 70 3.75068 4.285 4.359 1.72 6.32 80 2.99428 3.750 3.783 0.88 4.01 90 2.39334 3.333 3.335 0.06 1.19
5.1. FORMAS ÓTIMAS
Tabela 5.12: Solução do problema da minimização do máximo da tensão (σ1 = 2σ2) e
representação da distribuição da tensão de von-Mises [MPa] nas microestruturas ótimas para várias frações volúmicas de material. Utilização da k-type Gielis Formula, com k = 2, para definir a forma das inclusões.
V [%] u [J/m3] σmaxteo σmaxAN SY S Desvio [%] RE [%] Campo de Tensões
20 20.1137 15.0 15.21 1.40 3.47 30 12.4157 10.0 10.17 1.70 1.64 40 8.50853 7.50 7.452 0.64 1.0 50 6.22533 6.0 5.911 1.48 0.55 60 4.76065 5.0 4.931 1.38 1.29 70 3.74929 4.285 4.285 1.14 0.26 80 2.99379 3.750 3.724 0.69 0.18 90 2.41590 3.333 3.352 0.57 0.45
As figuras 5.15 e 5.16 mostram para 1/4 da célula de base a evolução das formas ótimas das inclusões, para diferentes frações volúmicas de material. Estas figuras também apresentam o valor da tensão circunferencial nos elementos adjacentes às inclusões, em função de uma variável angular. Na figura 5.15 utiliza-se a equação da superelipse para descrever a forma das inclusões, enquanto que na figura 5.16 é utilizada a k-type Gielis Formula. Os valores dos parâmetros ótimos das equações da superelipse e da k-type Gielis Formula podem ser consultados nas tabelas B.2 b) e B.11, respetivamente.
Figura 5.15: Solução do problema da minimização do máximo da tensão (σ2= 2σ2) para
inclusões descritas pela equação dasuperelipse. a) Formas ótimas para diferentes frações volúmicas de material. b) Tensão de von-Mises nos elementos adjacentes às inclusões.
Figura 5.16: Solução do problema da minimização do máximo da tensão (σ2= 2σ2) para
inclusões descritas pelak-type Gielis Formula, com k = 2. a) Formas ótimas para dife- rentes frações volúmicas de material. b) Tensão de von-Mises nos elementos adjacentes às inclusões.