Minimizando a quantidade de sobras aproveitáveis

Observe que se Pn

i=1τil = n (ou

i=1τ¯il = n) para algum objeto l, então ρl(ou ¯ρl) valerá 1.

Podemos agora construir os modelos para as diferentes variações do problema de corte com quantidade mínima de sobras dentre aquelas de valor máximo. Consideraremos os casos com sobras guilhotinadas e sobras genéricas, usando tando um par de dimensões mínimas como uma lista de dimensões de itens para definir as sobras aproveitáveis. Definimos ω1 = 1 +Pp_l=1clWlHl e

ω2 = 1 + 2p. Considerando a definição de sobra aproveitável a partir de um par de dimensões

mínimas, podemos construir os modelos para os casos de sobras guilhotinadas e sobras genéricas tomando como base os modelos SG

0 e S2G, respectivamente. Para o problema envolvendo sobras

guilhotinadas, construímos o modelo QG

0 que consiste no modelo S0G substituindo-se a função

objetivo a ser minimizada por:

ω1ω2 p X l=1 ulcl− ω1 p X l=1 Al+ Bl+ ¯Al+ ¯Bl cl+ p X l=1 (1 − zl) + (1 − ¯zl) . (5.22)

Para o problema envolvendo sobras genéricas, construímos o modelo QG

2 que consiste no modelo

2 substituindo-se a função objetivo a ser minimizada por:

ω1ω2 p X l=1 ulcl− ω1 p X l=1 (Al+ Bl) cl+ p X l=1 (1 − zl) + (1 − ¯zl) . (5.23)

Considerando a definição de sobra aproveitável a partir de uma lista de dimensões de itens, podemos construir os modelos para os casos de sobras guilhotinadas e sobras genéricas tomando como base os modelos SG

1 e S3G, respectivamente. Para o problema envolvendo sobras guilhotina-

das, construímos o modelo QG

1 que consiste no modelo S1G mais as restrições (5.19–5.20) e com

sua função objetivo a ser minimizada substituída por:

ω1ω2 p X l=1 ulcl− ω1 p X l=1 Al+ Bl+ ¯Al+ ¯Bl cl+ p X l=1 (1 − ρl) + (1 − ¯ρl) . (5.24)

Para o problema envolvendo sobras genéricas, construímos o modelo QG

3 que consiste no modelo

3 mais as restrições (5.19–5.20) e com sua função objetivo a ser minimizada substituída por:

ω1ω2 p X l=1 ulcl− ω1 p X l=1 (Al+ Bl) cl+ p X l=1 (1 − ρl) + (1 − ¯ρl) . (5.25)

Podemos também resolver o problema de corte com sobras aproveitáveis e quantidade mínima de sobras através de uma estratégia em três fases. Considerando os modelos SG

i e QGi , com i =

{0, 1, 2, 3}, a estratégia de solução em três fases, pode ser descrita da seguinte forma:

1. Resolver o modelo MM C_{obtendo uma solução que minimiza o custo dos objetos utilizados,}

com valor Pp l=1u∗lcl. 2. Acrescentar ao modelo SG i a restrição p X l=1 ulcl = p X l=1 u∗_lcl (5.26)

p X l=1 Al+ Bl+ ¯Al+ ¯Bl cl= p X l=1 cl A∗l + B∗l + ¯A∗l + ¯Bl∗ (5.27) caso i = {0, 1} ou a restrição p X l=1 (Al+ Bl) cl= p X l=1 cl A∗l + Bl∗A¯∗l + ¯Bl∗ (5.28) caso i = {2, 3}.

5.3.1 Experimentos

Implementamos os modelos MIPs QG

0, QG1, QG2 e QG3, bem como os modelos para realização da

estratégia em três fases. Todas implementações foram mais uma vez feitas utilizando-se o CPLEX 12.1 e a Concert Techonology 2.9. Os programas foram compilados utilizando o compilador G++ 4.4.3 da GCC (GNU Compiller Collection) e os experimentos realizados em uma máquina com 8GB de memória RAM, dois processadores de 2.6 GHz Intel Xeon, com 6 núcleos cada um e tecnologia Hyper Threading. As opções de configuração do CPLEX , bem como, as constantes e demais valores relativos à caracterização das sobras nos modelos, são as mesmas utilizadas na seção4.4.

Consideramos as instâncias descritas na Tabela 4.3, bem como três novas instâncias descritas na Tabela 5.4. Os resultados obtidos com os modelos MIPs QG

0, QG1, QG2 e QG3, e através da

estratégia em três fases foram similares, assim vamos relatar em detalhes apenas os obtidos com os modelos MIPs. Os resultados dos experimentos com as instâncias 1-10 estão resumidos na Tabela 5.5 e os resultados com as instâncias 11-13 estão resumidos na Tabela 5.6. Nestas tabelas temos uma coluna adicional, a coluna “Qtde. Sobras” que reporta a quantidade de sobras aproveitáveis a solução possui. Considerando as instâncias 1-10 e comparando esta nova coluna com a quantidade de sobras observadas nas Figuras 5.4 – 5.11, podemos observar que a quantidade mínima de sobras já era atingida anteriormente, por coincidência, em praticamente todas as instâncias, com exceção da instância 2 no experimento com o modelo SG

2 , como pode ser observado na Figura 5.8-(2).

Considerando as instâncias 11-13, a Figura 5.13 ilustra três possíveis soluções sem considerar a minimização das sobras. Todas as soluções ilustradas nessa figura possuem duas sobras. Já a Tabela 5.6 mostra os resultados considerando a minimização de sobras. Não conseguimos resolver a instância 13 com os modelos SG

2 e S3G, dentro do limite de tempo estipulado. Em todos os demais

casos foi possível encontrar soluções que maximizam o valor das sobras aproveitáveis com apenas uma sobra.

Descrição das Instâncias

# Itens Objetos

Qtde. Total Qtde. Tipos Qtde. Total Qtde. Tipos 11 7 3 2 1 3 (3 × 6) 2 (12 × 18) 2 (6 × 3) 2 (3 × 3) 12 6 3 2 2 3 (1 × 1) 1 (6 × 9)

5.3 MINIMIZANDO A QUANTIDADE DE SOBRAS APROVEITÁVEIS 109

Tabela 5.4 – continuação da página anterior # Itens Objetos

Qtde. Total Qtde. Tipos Qtde. Total Qtde. Tipos 2 (3 × 2) 1 (3 × 3) 1 (3 × 1) 13 6 2 2 1 2 (3 × 1) 2 (6 × 7) 2 (3 × 3) 2 (3 × 4)

Tabela 5.4: Descrição das instâncias11, 12 e 13.

W1= 12, H1= 18 3_{× 6} 3_{× 6} 3_{× 6} 3_{× 3} 3_{× 3} 6_{× 3} 6_{× 3} 12_{× 6} 3_{× 12} W1= 6, H1= 9 1_{× 11 × 11 × 1} 3_{× 1} 3_{× 2} 3_{× 2} 3_{× 9} 3_{× 3} (11) (12) W1= 6_, _H1= 7 3_{× 3} 3_{× 4} 3_{× 1} 6_{× 3} W2= 6_, _H2= 7 3_{× 3} 3_{× 4} 3_{× 1} 6_{× 3} (13)

Figura 5.13: Padrões de corte com mesmo custo e valor de sobra que as encontradas para as instâncias 11, 12 e 13, porém com quantidade de sobras superior à quantidade mínima.

Modelo QG 0

# Instância Dados das soluções Medidas de desempenho