2.2 Perdas em sistemas de abastecimento de água
2.2.2 Modelação matemática de vazamentos através de seção variável
Vários modelos matemáticos vêm sendo propostos na literatura para avaliar os vazamentos em sistemas de distribuição de água. Tais modelos são classificados segundo SOARES (2003) em modelos de avaliação global e modelos de avaliações detalhadas e são ilustrados pela Figura 2.3.
A consideração de vazamentos em redes de distribuição de água está diretamente associada à pressão atuante nesses sistemas, sendo que, a taxa de vazamento aumenta proporcionalmente com a elevação de pressão. Assim, GERMANOPOULOS e
JOWITT (1989) apresentam uma relação (não linear) entre vazamentos e pressão média de serviço conforme eq.(2.21).
a j i ij ij L [(H Z) (H Z) ] QL =θ − − − (2.21)
sendo QL o vazamento ocorrendo no elemento de comprimento L entre os nós i e j; θ o coeficiente de vazamento que depende das características do sistema (idade e deterioração das tubulações e tipo de solo, dentre outras); H a energia no nó (i ou j); Z a cota topográfica do nó (i ou j) e a o expoente de vazamentos. GERMANOPOULOS e JOWITT (1989) reportaram que esse expoente foi baseado em investigações de campo e deveria ser igual a 1,18.
Figura 2.3 – Classificação dos modelos de avaliação de vazamentos
Depois de identificada a vazão referente à parcela de vazamentos em um elemento de rede (por exemplo, uma tubulação), pode-se apresentar então o balanço de massa nodal através da eq.(2.22). Para efeito de modelação matemática, representa-se um vazamento como uma ocorrência nodal, ou seja, o vazamento é dividido entre os nós de montante e jusante.
∑
∑
ℑ ∈ ℑ ∈ = + + i i j ij i j ij QL 0 2 1 q Q i=1,2,K,NN (2.22)Modelos de Avaliação Global Modelos de Avaliação Detalhada
National Water Counsil (1980)
Explícitos Iterativos
Lambert e Hirner (2000) Lambert et al. (2000) Burrows, Tanymboh e Tabesh
(2000)
Germanopoulos e Jowitt (1989) Modelos de Vazamentos
Salgado, Rojo e Zepeda (1993) Tucciarelli, Criminisi e
Termini (1999) Martínez, Conejos e Vercher
(1999)
Hernández et al. (1991) Soares (2003)
sendo Q a vazão entre os nós i e j; ℑ o conjunto de nós conectado ao nó i; q a demanda no nó i; QL o vazamento na tubulação entre os nós i e j e NN é o número de nós na rede.
Redes de distribuição de água são projetadas e planejadas para atender as demandas atuais e futuras. Pressões excessivas podem ocorrer nos sistemas de distribuição de água, no entanto, para que um serviço seja considerado satisfatório essas pressões devem ser minimizadas, para consequentemente reduzir vazamentos. Foi dessa forma que JOWITT e XU (1990) propuseram uma metodologia para minimizar os vazamentos através do ajuste das válvulas controladoras de vazão na rede. As restrições referentes a esse problema foram o balanço de massa nos nós, os requisitos de energia mínima e o controle de válvulas. Como as equações desse problema são não lineares, o método da teoria linear foi empregado prioritariamente para linearizar as referidas equações, combinado com uma técnica de otimização (programação linear) que apresentava a cada passo aproximações das energias nos nós e das aberturas das válvulas. Vários trabalhos (REIS, PORTO e CHAUDHRY, 1997; VAIRAVAMOORTHY e LUMBERS, 1998) também se destacaram no ajuste de válvulas controladoras de forma a minimizar o vazamento total do sistema.
Estimar perdas por vazamentos em sistemas de distribuição de água é uma tarefa complexa. Os vazamentos referentes às tubulações conectadas em cada nó não são constantes e dependem de ambos os fatores: pressão e parâmetros característicos da rede. TUCCIARELLI, CRIMINISI e TERMINI (1999) propõem um procedimento inverso iterativo em dois passos, para obter uma estimativa dos parâmetros não conhecidos do sistema (coeficiente e expoente de vazamentos). Depois de determinado esses parâmetros característicos, as energias, as vazões e os vazamentos são então obtidos através da simulação hidráulica da rede. Esse procedimento estima as taxas de vazamentos para cada setor de rede (área de vazamentos). Isso pode ser útil na identificação de áreas prioritárias para substituição de tubulações, pois, em muitas situações reais os vazamentos estão diretamente relacionados à deterioração de componentes.
Esses mesmos pesquisadores supõem que as perdas por vazamentos em sistemas de distribuição de água são proporcionais aos fatores característicos (quebras, juntas mal vedadas, tipo de material e solo, qualidade de água, pressão de operação, idade do sistema, práticas incorretas de operação e manutenção) do setor que o nó pertence. Com
isso, haverá valores característicos, referentes ao expoente de vazamentos (a) e ao coeficiente de vazamentos (θ), para cada setor de vazamentos da rede em estudo. Segundo esses pesquisadores quando o expoente tem valor mínimo de 0,5 (leis dos orifícios), corresponde a um valor constante de áreas de pequenos vazamentos em torno dos nós. Na formulação de GERMANOPOULOS e JOWITT (1989) esse expoente é maior que 1 (igual a 1,18), que fisicamente significa maiores vazamentos associados com um aumento de pressão. TUCCIARELLI, CRIMINISI e TERMINI (1999) defendem a hipótese de que cada sistema tem seus parâmetros característicos para o modelo de vazamentos, os quais devem ser calibrados para possibilitar uma estimativa razoável. Os vazamentos distribuídos ao longo da superfície das tubulações, propostos por esses autores, são formulados de acordo com a eq.(2.23).
∑
ℑ = θ π − = i 1 j ij ij ij a i i i D L 2 ) Z H ( QL (2.23)sendo QL o vazamento quantificado do nó i; H a energia total disponível no nó i; Z cota topográfica referente ao nó i; a o expoente de perda referente ao setor de vazamentos que o nó i pertence; ℑ é o conjunto de nós cujos trechos são interconectados ao nó i; D e L são o diâmetro e o comprimento, respectivamente dos trechos (j) ligados ao nó i e θ é a constante de vazamentos, por unidade de superfície de tubulação, do trecho j do nó i. Assumindo-se a variação espacial e temporal dos vazamentos, MARTÍNEZ, CONEJOS e VERCHER (1999) propuseram um modelo dinâmico para simular o comportamento da rede sob um período de 24 horas. Esse modelo incorporou tanto a dependência de pressão dos vazamentos quanto à dependência de pressão das demandas e foi construído utilizando o código do Epanet (ROSSMAN 1994). Em se tratando da modelação de vazamentos, tais pesquisadores consideraram formulações para a parte modelada (tubulações principais do sistema macro ou “esqueleto”) e para a parte não modelada (tubulações com diâmetros pequenos, com consumos inferiores a parte modelada). A formulação considerada por MARTÍNEZ, CONEJOS e VERCHER (1999) para parte modelada da rede é baseada na proposição de GERMANOPOULOS e JOWITT (1989) (eq. 2.21), que assume uma distribuição uniforme dos vazamentos ao longo das tubulações. Entretanto, MARTÍNEZ, CONEJOS e VERCHER (1999) aperfeiçoaram tal formulação pela introdução do conceito de falhas de tubulações. Essa formulação baseia-se no fato de que as perdas por vazamentos na parte modelada da rede podem ser
consideradas proporcionais ao número de quebras de tubulações (eq. 2.24) durante certo intervalo de tempo. τ = d a b KLD e N (2.24)
sendo que Nb é o número de quebras durante o intervalo [0,τ]; K é um coeficiente dependente do material, do tipo e da qualidade da instalação; L é o comprimento da tubulação (m); D é o diâmetro da tubulação (m); d é um expoente que recebe o valor igual a 1 se forem tubos de diâmetros pequenos (abaixo de 125 mm) e –1 para diâmetros maiores; a é um expoente de ajuste da evolução temporal das quebras e τ é a idade das tubulações (anos).
A eq.(2.21) pode ser reescrita (eq. 2.25) considerando um grupo de tubulações, de mesmo material e idade, e introduzindo o efeito estatístico do número de quebras na taxa de vazamentos do nó i. 18 , 1 i a d i LD e [(H Z) ] QL =θ τ − (2.25)
As perdas por vazamentos na parte não modelada da rede, segundo MARTÍNEZ, CONEJOS e VERCHER (1999), podem ser maiores que na parte modelada devido ao número elevado de quebras nas tubulações de diâmetros pequenos (rede secundária). A formulação apresentada (eq. 2.26) por esses pesquisadores admite vazamentos referentes à parte não modelada.
a i i
i Kq[(H Z)]
QL = − (2.26)
sendo K um coeficiente de ajuste global para um setor determinado (m-a); q a demanda no nó i (m3/s) pertencente ao mesmo setor; a o expoente de perda referente ao setor de vazamentos e H e Z são respectivamente a carga hidráulica (m) e a cota topográfica do nó i (m).