2.4 Gera¸c˜ao de Vari´aveis Aleat´orias
3.2.1 Modelagem Descritiva e Formal do Tubo de Raios X
X
O tubo de raios X ´e a fonte de radia¸c˜ao respons´avel pela gera¸c˜ao de f´otons no espectro eletromagn´etico com energias entre 1 e 300 keV. O tubo, visto como sistema, pode ser modelado a partir de seus elementos interiores, ou seja, filamento, corrente, alta tens˜ao, campo el´etrico, anodo, janela, geometria do tubo, bem como pode ser descrito tamb´em como uma caixa preta caracterizada pela capacidade de emiss˜ao de f´otons de raios X, segundo um espectro de energia definido, numa determinada dire¸c˜ao especificada, com um tamanho focal definido e um feixe paralelo ou divergente. Dependendo dos prop´ositos e requisitos de projeto, ambas as modelagens s˜ao poss´ıveis.
Aqui, neste material, a segunda abordagem ser´a adotada para permitir ao leitor o acompanhamento do processo de modelagem e simula¸c˜ao, visto que o modelo de caixa preta torna o projeto mais simples sem necessariamente comprometer a capacidade de simula¸c˜ao do sistema real.
O tubo, ent˜ao, ´e caracterizado por cinco parˆametros: tamanho focal, di- vergˆencia do feixe, espectro de emiss˜ao, dire¸c˜ao de emiss˜ao e posi¸c˜ao do tubo. O tamanho focal define a espessura inicial do feixe de radia¸c˜ao. A extens˜ao do foco interfere no tamanho da ´area iluminada pelo feixe. Fazendo analogia com uma lanterna, um foco extenso produz uma sombra com contornos mal definidos, borrados, fora de foco. Conforme o foco vai se tornando menor, aproximando-se de um ponto, esta sombra torna-se mais n´ıtida com contornos bem delineados.
Al´em do foco, a divergˆencia do feixe tamb´em interfere no dimensionamento da ´area iluminada pela radia¸c˜ao. A divergˆencia ´e determinante na gera¸c˜ao de imagens magnificadas.
A posi¸c˜ao do tubo e sua dire¸c˜ao de emiss˜ao s˜ao parˆametros necess´arios para a devida localiza¸c˜ao do aparelho num panorama experimental.
Por fim, o espectro de emiss˜ao ´e o elemento respons´avel pela defini¸c˜ao das energias dos f´otons gerados pelo tubo. Corresponde, normalmente, a uma fun¸c˜ao de densidade de probabilidade para o caso cont´ınuo e uma distribui¸c˜ao de probabilidade para o caso discreto. ´E organizado como uma matriz n × 2, onde n ´e o n´umero de canais (intervalos de energia) e 2 ´e o n´umero de informa¸c˜oes que ser˜ao usadas por canal. Cada coluna ´e respons´avel por uma informa¸c˜ao: a primeira representa, geralmente, a energia da radia¸c˜ao, e a segunda, a contagem ou a probabilidade de emiss˜ao de um f´oton com a energia espec´ıfica do canal.
O foco ´e medido em cent´ımetros, a divergˆencia em radianos, a posi¸c˜ao do tubo tamb´em ´e expressa em cent´ımetros segundo as coordenadas espaciais de um sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, (x, y, z), e a dire¸c˜ao de
emiss˜ao ´e um vetor unit´ario com componentes usando unidades arbitr´arias. As energias do espectro de raios X est˜ao em quiloeletrons-volt e as contagens (probabilidades) s˜ao adimensionais.
O processo de emiss˜ao envolve a modelagem de um outro elemento que ´e o f´oton. O f´oton, na vis˜ao corpuscular, ´e dotado de energia, possui uma dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao e pode ser localizado no espa¸co. Esta ´ultima caracter´ıstica ´e importante no que diz respeito `a realiza¸c˜ao dos processos de intera¸c˜ao do f´oton com o meio. Seguindo o modelo f´ısico, os mecanismos de intera¸c˜ao da radia¸c˜ao ocorrem em posi¸c˜oes espaciais pass´ıveis de serem descritos.
A emiss˜ao do f´oton no tubo pode ser descrito como uma sequˆencia de a¸c˜oes b´asicas, tais como:
• determina¸c˜ao da posi¸c˜ao de emiss˜ao do f´oton, limitada pelas dimens˜oes do foco;
• determina¸c˜ao da dire¸c˜ao inicial de propaga¸c˜ao do f´oton, limitada pelo cone de emiss˜ao cujo ˆangulo s´olido ´e definido pelo ˆangulo de divergˆencia (tamb´em chamado de abertura angular ou simplesmente de abertura); • e determina¸c˜ao da energia do f´oton segundo a fun¸c˜ao de densidade de
probabilidade (distribui¸c˜ao de probabilidade no caso discreto) que repre- senta o espectro de energia caracter´ıstico do tubo modelado.
Ao final do processo, as trˆes informa¸c˜oes que caracterizam o f´oton ter˜ao sido especificados e o f´oton ´e dito ter sido emitido.
Todos os procedimentos de determina¸c˜ao de dados (posi¸c˜ao, dire¸c˜ao e ener- gia) procuram reproduzir a caracter´ıstica aleat´oria na gera¸c˜ao dos valores:
• na gera¸c˜ao da posi¸c˜ao de emiss˜ao, podemos gerar aleatoriamente coor- denadas x e y em torno do centro do foco e verificar se est˜ao dentro da ´area do foco, ou podemos gerar aleatoriamente uma distˆancia menor ou igual ao raio do foco e um ˆangulo entre 0 e 2π;
• na especifica¸c˜ao da dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao, um ˆangulo aleat´orio ´e gerado dentro dos limites estabelecidos de divergˆencia do feixe e um segundo ˆangulo ´e sorteado entre 0 e 2π reproduzindo a rota¸c˜ao do vetor em torno da trajet´oria original, garantindo um espalhamento no espa¸co tridimen- sional;
• na determina¸c˜ao da energia do f´oton, a energia ´e sorteada obedecendo a distribui¸c˜ao de probabilidade (ou a fdp) que caracteriza o espectro de energia.
Obs.: nesta modelagem, n˜ao s˜ao necess´arios formalismos matem´aticos que descrevam fenˆomenos f´ısicos. J´a num modelo que se baseie na descri¸c˜ao mais detalhada de seu interior, como apresentado no in´ıcio deste texto, v´arios equa- cionamentos seriam necess´arios. Fica aqui o discernimento do modelador.
3.2.2
Modelagem Computacional do Tubo de Raios X
O modelo computacional do tubo de raios X baseado na descri¸c˜ao apre- sentada, se inicia pela identifica¸c˜ao do atributos essenciais. Cinco atributos j´a foram identificados no processo de modelagem: o foco, a divergˆencia do feixe, a posi¸c˜ao do tubo, a dire¸c˜ao de emiss˜ao e o espectro de emiss˜ao. Tamb´em foi identificado um processo realizado pelo tubo: a emiss˜ao do f´oton. Deste processo, constata-se a necessidade de outro elemento al´em do tubo: o f´oton. Para o f´oton, os atributos essenciais s˜ao: energia, posi¸c˜ao e dire¸c˜ao.Usando o paradigma da programa¸c˜ao orientada a objeto, o tubo de raios X e o f´oton s˜ao candidatos expl´ıcitos para a descri¸c˜ao das classes: fonte e f´oton. Dois atributos presentes nestas classes (posi¸c˜ao e dire¸c˜ao) podem ser candidatos secund´arios para a descri¸c˜ao de classes auxiliares. A posi¸c˜ao repre- senta as coordenadas espaciais em sistema cartesiano de um ponto. A dire¸c˜ao representa um vetor unit´ario com origem na origem do sistema de coorde- nadas. A representa¸c˜ao de vetor pode ser idˆentica ao de um ponto. Logo, uma classe que encapsule trˆes atributos, cada um representando uma coorde- nada do sistema, tanto servir´a para representar posi¸c˜oes como representar´a tamb´em dire¸c˜oes e nada mais natural que esses atributos sejam: x, y e z ; e a classe seja, por exemplo, a classe coordenada. ´E interessante que a classe coordenada redefina uma s´erie de operadores matem´aticos a fim de tornar a codifica¸c˜ao mais clara e leg´ıvel. ´E interessante tamb´em a implementa¸c˜ao de alguns m´etodos b´asicos de ´algebra linear, tais como: mudan¸ca de sistema de coordenadas, rota¸c˜ao de vetores e normaliza¸c˜ao entre outras.
Ent˜ao, os modelos de classe seriam:
classe coordenada
(-)x: num´erico {ordenada x} (-)y: num´erico {ordenada y} (-)z: num´erico {ordenada z}
operador +(coordenada): coordenada {adi¸c˜ao de coordenadas} operador -(coordenada): coordenada {subtra¸c˜ao de coordenadas} operador -(): coordenada {invers˜ao de coordenadas}
operador *(coordenada): num´erico {produto escalar} operador *(num´erico): coordenada {escala}
operador /(coordenada): coordenada {produto vetorial}
girar(coordenada,num´erico): coordenada {rota¸c˜ao em torno de um vetor} normalizar(): coordenada {vetor unit´ario}
conv cart(): coordenada {convers˜ao para sistema cartesiano} conv polar(): coordenada {convers˜ao para sistema polar}
classe f´oton
(-)energia: num´erico {energia do f´oton} (-)posi¸c˜ao: coordenada {posi¸c˜ao do f´oton} (-)dire¸c˜ao: coordenada {dire¸c˜ao do f´oton} classe fonte
(-)espectro: matriz num´erica {espectro de energia} (-)posi¸c˜ao: coordenada {posi¸c˜ao da fonte}
(-)dire¸c˜ao: coordenada {dire¸c˜ao do f´oton} (-)foco: num´erico {diˆametro do foco}
(-)divergˆencia: num´erico {ˆangulo de abertura} emitir(): f´oton {emiss˜ao do f´oton}
configurar(literal): {configura¸c˜ao da fonte}
Uma classe na orienta¸c˜ao a objeto ´e um modelo (abstra¸c˜ao) que se torna operacional atrav´es do seu instanciamento, isto ´e, sua materializa¸c˜ao atrav´es da declara¸c˜ao de um objeto. No jarg˜ao da programa¸c˜ao orientada a objeto, o atributo de um objeto (que vem da classe) ´e acessado segundo a sintaxe <objeto>:<atributo>. O acesso a um m´etodo tamb´em segue a mesma sintaxe: <objeto>:<m´etodo()>.
Vejamos os algoritmos dos m´etodos de cada classe: Algoritmo 1 Adi¸c˜ao de coordenadas
1: M´etodo operador +(coordenada p)
2: declare coordenada r ⊲ objeto auxiliar
3: r : x ← x + p : x
4: r : y ← y + p : y
5: r : z ← z + p : z 6: retorne r
Algoritmo 2 Subtra¸c˜ao de coordenadas
1: M´etodo operador −(coordenada p)
2: declare coordenada r ⊲ objeto auxiliar
3: r : x ← x − p : x 4: r : y ← y − p : y
5: r : z ← z − p : z
6: retorne r
7: Fim M´etodo
Algoritmo 3 Invers˜ao de sinal
1: M´etodo operador −( )
2: declare coordenada r ⊲ objeto auxiliar
3: r : x ← −x 4: r : y ← −y
5: r : z ← −z
6: retorne r
7: Fim M´etodo
Algoritmo 4 Produto escalar
1: M´etodo operador ∗(coordenada p)
2: declare num´erico r ⊲ vari´avel auxiliar
3: r ← x ∗ p : x + y ∗ p : y + z ∗ p : z
4: retorne r
5: Fim M´etodo
Algoritmo 5 Produto vetorial
1: M´etodo operador /(coordenada p)
2: declare coordenada r ⊲ objeto auxiliar
3: r : x ← y ∗ p : z − z ∗ p : y
4: r : y ← z ∗ p : x − x ∗ p : z
5: r : z ← x ∗ p : y − y ∗ p : x
6: retorne r
Algoritmo 6 Normaliza¸c˜ao
1: M´etodo normalizar( )
2: declare coordenada r ⊲ objeto auxiliar
3: declare num´erico d ⊲ vari´avel auxiliar
4: d ← raiz(x ∗ p : x + y ∗ p : y + z ∗ p : z) 5: r : x ← x/d 6: r : y ← y/d 7: r : z ← z/d 8: retorne r 9: Fim M´etodo
Algoritmo 7 Convers˜ao de Cartesiano para Polar
1: M´etodo conv polar( )
2: declare coordenada r ⊲ objeto auxiliar
3: declare num´erico d, e ⊲ vari´aveis auxiliares
4: d ← raiz(x ∗ p : x + y ∗ p : y + z ∗ p : z) 5: e ← raiz(x ∗ p : x + y ∗ p : y) 6: r : x ← d 7: r : y ← acos(z/d) 8: r : z ← acos(x/e) 9: retorne r 10: Fim M´etodo
Algoritmo 8 Convers˜ao de Polar para Cartesiano
1: M´etodo conv cart( )
2: declare coordenada r ⊲ objeto auxiliar
3: r : x ← x ∗ sen(y) ∗ cos(z) 4: r : y ← x ∗ sen(y) ∗ sen(z)
5: r : z ← x ∗ cos(y)
6: retorne r
Algoritmo 9 Rota¸c˜ao de um ˆangulo em torno de uma dire¸c˜ao
1: M´etodo girar(coordenada iu, num´erico ang)
2: declare coordenada p, q, r ⊲ objetos auxiliares
3: declare coordenada iv, iw ⊲ objetos auxiliares
4: declare coordenada ix, iy, iz ⊲ objetos auxiliares
5: declare coordenada a, b, c ⊲ objetos auxiliares
6: declare num´erico ux, vy, wz ⊲ vari´aveis auxiliares
7: ix ← coordenada(1, 0, 0) ⊲ vetores unit´arios ix, iy e iz
8: iy ← coordenada(0, 1, 0)
9: iz ← coordenada(0, 0, 1)
10: iu ← iu :NORMALIZAR() ⊲ vetores unit´arios iu, iv e iw
11: iw ← iz 12: iv ← iw/iu
13: iv ← iv :NORMALIZAR()
⊲ proje¸c˜oes de ix, iy e iz em iu, iv e iw
14: a ← coordenada(ix ∗ iu, ix ∗ iv, ix ∗ iw)
15: b ← coordenada(iy ∗ iu, iy ∗ iv, iy ∗ iw)
16: c ← coordenada(iz ∗ iu, iz ∗ iv, iz ∗ iw)
17: p ← coordenada(x, y, z) ⊲ este ponto
18: ux ← p ∗ iu ⊲ proje¸c˜ao deste ponto em iu, iv e iw
19: vy ← p ∗ iv
20: wz ← p ∗ iw
⊲ rota¸c˜ao de ang radianos em torno de iu
21: q ← coordenada(ux, vy ∗ cos(ang) − wz ∗ sen(ang), vy ∗ sen(ang) + wz ∗ cos(ang))
22: r ← coordenada(q ∗ a, q ∗ b, q ∗ c) ⊲ proje¸c˜ao de q em a, b e c
23: retorne r
A
Alguns Elementos de Quˆantica
Os el´etrons orbitais est˜ao distribu´ıdos na eletrosfera segundo uma estrutura eletrˆonica que pode ser organizada segundo os n´umeros quˆanticos n, l, ml, s, ms, j, mj:
• n - n´umero quˆantico principal: n´umero inteiro positivo n˜ao nulo (n > 0) que rotula as camadas eletrˆonicas principais
– n = 1 ↔ K – n = 2 ↔ L – n = 3 ↔ M – · · ·
• l - n´umero quˆantico de momento angular ou azimutal: n´umero n˜ao nega- tivo (0 ≤ l ≤ n − 1) relacionado ao momento angular do el´etron por sua rota¸c˜ao em torno do n´ucleo e determina a forma da nuvem eletrˆonica. D´a origem `a nomenclatura s, p, d, f
– l = 0 ↔ s – l = 1 ↔ p – l = 2 ↔ d – l = 3 ↔ f – · · ·
• ml - n´umero quˆantico magn´etico orbital: n´umero inteiro ligado ao mo- mento de dipolo magn´etico do el´etron por sua rota¸c˜ao em torno do n´ucleo. Seus valores variam entre ±l (ml= −l, −l+1, · · · , 0, · · · , l−1, l). Determina as orienta¸c˜oes permitidas para a nuvem eletrˆonica em fun¸c˜ao do n´umero quˆantico azimutal.
• s - n´umero quˆantico de spin: n´umero fracion´ario positivo para o el´etron que est´a relacionado ao momento angular intr´ınseco resultado do movi- mento de rota¸c˜ao em torno do pr´oprio eixo de simetria. O valor de spin caracter´ıstico do el´etron ´e s = 1/2.
• ms - n´umero quˆantico magn´etico de spin: n´umero fracion´ario ligado ao valor do spin e caracteriza o momento magn´etico intr´ınseco da part´ıcula. Os valores poss´ıveis s˜ao: ms= −1/2, +1/2.
• j - n´umero quˆantico de momento angular total: n´umero fracion´ario po- sitivo resultado da combina¸c˜ao dos n´umeros quˆanticos de momento an- gular orbital (l) e de spin (s). Pela caracter´ıstica vetorial dos momentos angulares, este n´umero quˆantico pode assumir valores entre |l ± s|. • mj - n´umero quˆantico magn´etico total: n´umero fracion´ario cujos valores
derivam do n´umero quˆantico de momento angular total (mj = −j, −j + 1, · · · , 0, · · · , j − 1, j). Tamb´em podem ser obtidos pela soma simples dos n´umeros quˆanticos magn´eticos orbital e de spin: mj = ml+ ms. A camada K (n´umero quˆantico principal n = 1) n˜ao possui desdobramento em subn´ıveis de energia. Seu n´umero quˆantico de momento angular orbital assume somente um ´unico valor, l = 0, assim como o n´umero quˆantico de momento angular total, j = 1/2. J´a a camada L (n = 2) pode assumir dois valores diferentes para o n´umero quˆantico de momento angular orbital, l = 0, 1. Para l = 0, o n´umero quˆantico de momento angular total j ser´a j = 1/2. Para l = 1, o n´umero quˆantico de momento angular total j assume dois poss´ıveis valores: j = 1/2, 3/2.
O n´ıvel de energia da camada K ´e caracterizado pelos n´umeros quˆanticos n = 1, l = 0 e j = 1/2 (1s1/2).
A camada L possui trˆes n´ıveis de energia caracterizados pelas seguintes combina¸c˜oes de n´umeros:
• n´ıvel L1: n = 2, l = 0, j = 1/2 (2s1/2); • n´ıvel L2: n = 2, l = 1, j = 1/2 (2p1/2); • n´ıvel L3: n = 2, l = 1, j = 3/2 (2p3/2).
A camada M (n = 3) gera trˆes valores para o n´umero quˆantico de momento angular orbital, l = 0, 1, 2, e trˆes grupos de valores para o n´umero quˆantico de momento angular total: para l = 0, j = 1/2; para l = 1, j = 1/2, 3/2; para l = 2, j = 3/2, 5/2. Logo, a camada M possui cinco n´ıveis de energia distintos:
• M2: n = 3, l = 1, j = 1/2 (3p1/2); • M3: n = 3, l = 1, j = 3/2 (3p3/2); • M4: n = 3, l = 2, j = 3/2 (3d3/2); • M5: n = 3, l = 2, j = 5/2 (3d5/2).
Abreviando a descri¸c˜ao para os n´ıveis de energia da camada N , podemos caracteriz´a-los com as seguintes combina¸c˜oes de n´umeros quˆanticos:
• N1: n = 4, l = 0, j = 1/2 (4s1/2); • N2: n = 4, l = 1, j = 1/2 (4p1/2); • N3: n = 4, l = 1, j = 3/2 (4p3/2); • N4: n = 4, l = 2, j = 3/2 (4d3/2); • N5: n = 4, l = 2, j = 5/2 (4d5/2); • NV I: n = 4, l = 3, j = 5/2 (4f5/2); • NV II: n = 4, l = 3, j = 7/2 (4f7/2).
e assim por diante. Cada camada eletrˆonica (n = 1, 2, · · · ) possui 2n − 1 n´ıveis de energia e cada n´ıvel de energia possui 2j + 1 el´etrons.
B
Alguns Elementos de Cristalografia
[1] McMaster WH, Kerr Del Grande N, Mallett JH, Hubbell JH. Lawrence Livermore National Laboratory Report UCRL-50174, Sec. II, Rev. 1. La- wrence Livermore National Laboratory: Livermore, CA, 1969-70; see also http://ftp.esrf.fr/pub/scisoft/xop/DabaxFiles/CrossSec McMaster.dat