Modelagem do dispositivo piezoelétrico

Como dito anteriormente na seção 2.2.1, o material piezoelétrico tipicamente não é utilizado sozinho em um sistema de EH devido sua alta rigidez, que resultaria em frequências de ressonâncias altas. Para isso, um dispositivo simples para EH, é montado com o material piezoelétrico colado em uma viga engastada nos dois lados (Figura 9). Este sistema é modelado como um conjunto de elementos agrupados e aproximado por um sistema de segunda ordem massa-mola-amortecedor como representado na Figura 10. Os primeiros a desenvolverem essa modelagem foram Williams; Yates (1996). O sistema representa uma viga engastada que tem massa 8 suspensa por uma mola de rigidez 4A e um amortecedor, representando a resistência do ar, atrito etc., com um amortecimento t, e uma força {_> que é realizada pelo material piezoelétrico quando se tem um circuito conectado nele.

Figura 10: Modelo de um coletor de energia cinético, com amortecimentos e um circuito de interface conectado. Fonte: Hehn; Manoli (2015)

Assumindo uma excitação externa senoidal |(/) na estrutura:

|(/) = |}. q# (Ä/) (13)

onde Å representa a amplitude do deslocamento e w representa a frequência angular e a resposta do movimento relativo da viga, é representado por 6, onde a equação do movimento é:

6(/) = 6̂. q# (Ä/ + É) (14)

onde 6̂ indica a amplitude do movimento da massa, e É representa a fase entre |(/) e 6(/). A equação que governa o movimento do sistema da Figura 10, considerando que a massa da fonte de excitação do sistema é muito maior que 8 e que possui energia infinita, é representada por:

8|̈ = 86̈ + t6̇ + 4A6 + {> (15)

onde |̈(/) = −Ä;_Åq#(Ä/).

Um elemento piezoelétrico submetido à uma força que causa elongação e na direção de 1, é apresentado na Figura 11. Sabendo-se das relações presentes na Eq. (16) e (17), é possível reescrever as Eq. (12), em termos de {, e, ! e Q, e não mais de p, s, u e v, sendo assim:

u = −!C ℎ Ü = váà s = { áℎ p = w à Q = âÜ â/ 4_C = áℎ àq_yyr <C = äwxxã − t_xy; q_yyr å áà ℎ ç = t_xyá q_yyr (16) (17)

Figura 11: Elemento piezo sem a viga engastada, no modo 31.

onde E é campo elétrico, q é a carga elétrica, D é o deslocamento elétrico, T é a tensão mecânica, S é a deformação mecânica, I é a corrente, 4_C é a rigidez piezoelétrica, <_F é a capacitância piezoelétrica e G é o fator acoplamento eletromecânico geral, que será explicado mais detalhadamente nas próximas seções. Segundo D’Hulst et al. (2010) e Hehn; Manoli (2015), a equação (12) pode ser reescrita da seguinte forma:

é{ = 4_{Q = çẇ − <}Cw + ç!C

C!Ċ (18)

Conforme mostrado na Figura 11, a elongação w é utilizada quando se tem o material piezoelétrico desacoplado de alguma estrutura de EH. Porém, o mais utilizado é o material piezoelétrico acoplado à uma viga, formando assim um dispositivo piezoelétrico, e com isso quando ocorre uma deflexão em 6, ocorre uma elongação, menor que z, em w, conforme mostrada na Figura 9. Com isso a força {_> pode ser substituída pela mesma força modelada na Eq. (15), sendo assim a Eq. (18) resulta em:

é8è = 86̈ + t6̇ + 46 + ç!C

Q = ç6̇ − <_C!_Ċ (19)

onde 4 = 4_A + 4_C, e 4_F e 4_ê são, respectivamente, a rigidez piezoelétrica e mecânica da estrutura.

A primeira modelagem apresentada, massa-mola-amortecedor, descreve como a estrutura mecânica em que o material piezoelétrico acoplado se comporta em relação à excitação de entrada e sua respectiva saída elétrica.

Por analogia a força de excitação e a velocidade do dispositivo piezoelétrico, podem ser expressos em termos elétricos como sendo a tensão e a corrente elétrica geradas, Eq. (20).

Z{ ≜ !_{6̇ ≜ Q}g

Assim, o sistema descrito anteriormente pode ser apresentado como um circuito elétrico RLC em série com uma fonte de tensão. O lado esquerdo representa o domínio mecânico, onde !g representa a vibração de entrada oriunda do ambiente, íg é a massa do sistema, <g é a rigidez mecânica e M_g é o amortecimento mecânico. Já o lado direito, representa o domínio elétrico, onde <_C representa a capacitância interna. O fator de acoplamento geral (GEMC – General Electromechanical Coupling Factor), ç ,é o responsável pela conexão entre os domínio, como está representado na Figura 12.

Figura 12: Modelagem Elétrica com fonte de tensão com acoplamento entre o domínio mecânico e elétrico Fonte: Hehn; Manoli (2015).

A velocidade 6̇ pode ser representada como corrente elétrica, Q_g, como foi mostrado na equação (20). Portanto a equação (19) pode ser expressa em função de Q_g:

ìma = mIñ̇ + dIñ+ k ô Iñdt + ΓVú

I = ΓI_ñ− C_úV_û̇ (21)

Aplicando a Lei de Kirchhoff de tensão elétrica no domínio mecânico, é possível verificar que a primeira equação de (21) se assemelha à equação (22).

!_g= í_gQ_ġ + M_gQ_g+ 1

<_g∫ Qgt/ + ç!F (22)

Sendo assim a entrada de excitação do sistema é modelada como fonte de tensão !g = 8è, a massa é modelada como um indutor í_g = 8, o amortecimento do sistema como uma resistência M_g = t e a rigidez como sendo uma capacitância <_g = 1/4.

Para simplificar o circuito, e retirar as fontes controladas de tensão e corrente, é possível multiplicar todos os elementos da equação (21) por _††_°, de modo que o circuito e a equação resultem em: ì m. a Γ = m Γ;ΓIñ̇ + d Γ;ΓIñ+ k Γ;Γ ô Iñdt + Vú I = ΓI_ñ− C_úV_û̇ (23)

Figura 13: Modelagem elétrica com fonte de tensão simplificado sem o acoplamento. Fonte: Hehn; Manoli (2015)

Vñ¢ = Lñ¢İñ¢+ Rñ¢Iñ¢+ 1 C_ñ¢ô Iñ¢dt + Vû (24) V_ñ¢ =ma Γ ; Lñ¢ = m Γ; ; Rñ¢ = d Γ; ; Cñ¢ = Γ; k (25)

A título de simplificação do modelo, alguns autores como Kong, N. et al. (2010), Lefeuvre et al. (2007), Ottman et al. (2002), simplificaram para uma fonte de corrente senoidal em paralelo com um capacitor <F; e uma resistência MC, (Figura 14).

Primeiramente, para transformar o modelo, é preciso mudar o modelo do circuito da esquerda na Figura 15 para uma fonte de Thévenin com uma impedância de Thévenin em série, circuito da direita na Figura 15. O cálculo do J@I é realizado segundo o teorema de Thévenin (Hayt Jr. et al. (2012)), onde retira-se a fonte de tensão formando um curto-circuito em seu lugar, e entre os terminais que resulta a tensão !_F, relacionam-se as impedâncias.

Figura 15: Fonte de tensão em série com impedância de Thévenin

Uma vez que se conhece os valores de M_g?, <_g?, í_g? e <_C, é calculada a impedância entra os pontos de !F (26). J_@I = •OÄí_g?−_Ä<O g? + Mg?¶ ∗ ß− O Ä<_C® •OÄí_g?−_Ä<O g? + Mg?¶ + ß− O Ä<_C® = M + OP (26)

onde P é a parte complexa e M é a parte real de J@I. Depois de calcular a impedância de Thévenin, é necessário calcular a corrente do modelo, segundo o teorema de Norton (Hayt Jr. et al. (2012)), que será o valor da amplitude da fonte de corrente do modelo simplificado.

QF =

!_g?

M8. + O ∗ Ä ∗ í8. −_{Ä ∗ <8.}O = QF∡É (27)

onde Q_F é a amplitude da corrente e É é o ângulo da corrente.

A fonte de corrente é combinada com uma admitância Å em paralelo. Sabe-se que a admitância é o inverso da impedância (28). A admitância é composta por uma condutância ™, que é a parte real, e por uma susceptância 1, que é a parte complexa.

Å = 1 J_@I =

1

M + OP= ™ + O1 (28)

A condutância pode ser representada em função dos termos reais e complexos de J em (29) e (30). Portanto os valores de M_C e <_C;, do modelo com fonte de corrente da Figura 14 são representados por (31) e (32). ™ = M M;_{+ P}; (29) 1 = P M;_{+ P}; (30) M_C = 1 |™| (31) <_C; =|1| Ä (32)

Esse circuito (Figura 13) ou esse sistema em particular, possui duas frequências para o primeiro modo de vibração: a frequência ressonante (´=) e anti-ressonante (´j).

As duas frequências mudam de acordo com a carga acoplada no dispositivo piezoelétrico, Figura 13. Quando uma carga de impedância baixa for adicionada nos terminais, o capacitor piezoelétrico (<_F), não é considerado no circuito pois a corrente irá percorrer a baixa impedância, logo a frequência natural do sistema pode ser representada por (33).

´₌= 1

2¨≠íg?<g? (33)

Quando se aplica uma carga com impedância alta, muito maior que a impedância do <_F, a frequência se aproxima da anti-ressonante, sendo assim o <_F interfere na frequência de oscilação e pode-se calcular com (34).

´_j = 1

2¨Æíg?_(<(<g? ∗ <F) g?+ <F)

Outra forma de calcular as frequências é aplicando uma tensão alternada nos terminais do dispositivo piezoeléctrico, o mesmo apresentará as duas frequências, a frequência ressonante e a anti-ressonante através da análise da impedância variando-se a frequência (APC International (2011) e Hehn; Manoli (2015) e Jordan; Langley (2001)). Frequência ´= pode ser chamada também como frequência de curto-circuito (´_êØ) e a ´_j, de circuito aberto (´_∞Ø). Na Figura 16 é possível observar que a característica do sistema, com uma frequência ´₌, é possuir uma impedância mínima, e para ´j, impedância máxima.

Figura 16: Impedância em função da frequência. Fonte: Jordan; Langley (2001)

Considerando o sistema da Figura 9, é possível encontrar essas frequências analisando a parte mecânica do dispositivo, ou seja, o deslocamento da ponta da viga, pois quando o sistema estiver com uma carga próximo da impedância mínima, a maior amplitude obtida na deflexão da ponta do dispositivo piezoelétrico será na frequência ´₌. Porém se o sistema possuir uma carga próxima da impedância máxima em seus terminais, o sistema se comportará com maior amplitude na frequência ´_j, conforme observado em Figura 17.

Figura 17: Deflexão z da viga em função da frequência. Fonte: Hehn; Manoli (2015)

O fator de acoplamento eletromecânico é um importante parâmetro para EH envolvendo dispositivos piezoelétricos. É a medida da parte mecânica que é convertida em energia elétrica. Porém somente uma parcela dessa energia poderá ser convertida em elétrica devido ao fato de existir atrito no ar, a rigidez piezoelétrica (4_F), entre outros, como pode ser observado no modelo da Figura 12.

Segundo APC International (2011), o fator de acoplamento eletromecânico é um indicador de eficácia na conversão do material piezoelétrico de energia mecânica para energia elétrica. O fator de acoplamento a ser considerado é o 4_xy. O primeiro termo do índice que acompanha o k é a direção da tensão gerada, ou seja, dos eletrodos conectados, o segundo termo representa a direção da deformação mecânica aplicada no dispositivo piezoelétrico.

O fator de acoplamento pode ser determinado segundo as propriedades do material piezoelétrico utilizado, como mostra em (35).

k_xy; ₌ dxy; (s_yy± _{. ε}

xx

≥ ₎ (35)

onde t_xy é a constante piezoelétrica de carga, q_yyr _{é a conformidade elástica sob campo elétrico} constante e w_xxã _{é a permissividade do meio sob campo elétrico constante.}

Para baixas frequências, o dispositivo piezoelétrico cerâmico é capaz de converter cerca de 30% até 75% da energia armazenada mecanicamente para elétrica, porém essa taxa depende da composição do material piezoelétrico e da direção da força aplicada (APC International (2011)).

O 4_xy é um medidor de eficácia, uma vez que não está levando em conta as perdas com o meio dielétrico e principalmente mecânicas.

Segundo Hehn; Manoli (2015), uma outra maneira de representar o k_xy, é em função do fator de acoplamento geral (GEMC), representado por Γ, substituindo as relações de (17) por (35), pode ser representado por:

4_xy; ₌ ç;

4_C. <_C (36)

Para o estudo em questão com o dispositivo piezoelétrico, pode-se analisar a estrutura do conjunto e não somente o material piezoelétrico isolado, logo o fator de acoplamento 4_xy pode ser estimado pelo fator de acoplamento eletromecânico eficaz, 4_>EE, que pode ser obtido pelas frequências ressonante e anti-ressonante como apresentado em APC International (2011) e Hehn; Manoli (2015) como sendo na Eq. (37):

4_>EE; ₌Äj;− Ä=;

Ä_j; (37)

onde o Ä_j, representa a a frequência angular anti-ressonante, e Ä₌ é a frequência angular ressonante. Esse parâmetro pode ser utilizado principalmente para comparar diferentes tipos de estruturas capazes de coletar energia do ambiente com piezoelétrico. Com isso, isolando o GEMC (Γ), é possível calculá-lo em função das frequências, anti-ressonante e ressonante, da rigidez e da capacitância.

ç = ¥4. <_FäÄj; − Ä=;

Ä_j; å (38)