4 MODELAGEM DE TRANSFORMADORES
4.6 Modelagem em Função do Tipo de Representação
4.6.1 Modelagem do Núcleo de Ferro
O comportamento do núcleo de ferro geralmente é representado pela curva de magnetização que caracteriza a relação entre a densidade de fluxo magnético [B] e a intensidade de campo magnético [H]. A intensidade do campo magnético [H] esta associada a possíveis magnetizações as quais foi submetido o material ferromagnético, fato que torna a modelagem da curva de magnetização um tanto complicada. Diante disso, para caracterizar completamente o comportamento do material do núcleo do transformador, o modelo empregado tem que ser capaz de representar as diversas curvas magnéticas associadas ao material. A Figura 4.13 ilustra esquematicamente diversas curvas de magnetização e laços de histerese de um determinado material.
Figura 4.13: Curvas de magnetização e laços de histereses genéricos.
O laço de histerese é o maior laço possível apresentado quando há saturação técnica de um material (RIES, 2007). Qualquer outro laço fechado é dito laço menor e pode ser simétrico ou assimétrico. A saturação magnética do núcleo pode ser representada pela curva anti-histerese, a qual representa a relação B-H quando não existe histerese no material.
Segundo (MARTINEZ et al., 2005a), a característica de saturação pode ser modelada por dois termos polinomiais relacionando a corrente magnetizante i com o fluxo concatenado λ através da seguinte equação:
p
b a
i = ⋅
λ
+ ⋅λ
(4.17) Quando ocorre a simulação de transitórios, a característica de saturação, modelada segundo a equação (4.17), se representa por uma indutância linear com duas inclinações (polinômio de ordem dois). Para estudos que consideram a ferrorressonância precisa-se de uma representação mais exata da característica de saturação, pois a ordem p dopolinômio expresso na equação (4.17) aumenta. A menor ordem do polinômio pode ser utilizada para a região acima do joelho de saturação, que é quase linear.
Modelagem da Histerese
O fenômeno da histerese pode ser provocado por várias causas, sendo a mais dominante aquela dependente do material. A aproximação mais prática é proveniente de modelos que utilizam curvas ajustadas que ignoram o comportamento magnético do material.
Durante os últimos anos foram utilizados modelos macroscópicos baseados nos fenômenos físicos predominantes. A maior dificuldade em relação aos modelos macroscópicos é a complexidade e a determinação dos parâmetros relacionados à descrição do mecanismo de magnetização. Um método para representar o modelo “Preisach” baseado num maior laço de histerese é proposto por (NAIDU, 1990).
Na simulação transitória, o núcleo de ferro sem histerese pode ser representado pelo circuito equivalente mostrado na Figura 4.14 a seguir. O circuito é similar ao circuito de um indutor linear, porém a resistência R depende do valor do parâmetro ‘p’ dado na equação (4.17), que representa a inclinação de operação adotada pelo indutor. Como se trata de um indutor não-linear, o valor de p muda constantemente, demandando uma triangulação parcial da matriz de condutância nodal.
Figura 4.14: Modelo do núcleo de ferro sem histerese.
Já a Figura 4.15 mostra outra modelagem do núcleo de ferro no qual a saturação é representada pelo indutor anti-histerese Lm e as perdas são modeladas pelo resistor não-linear Rm. As perdas de excitação são principalmente perdas no núcleo de ferro e consistem em perdas por histerese, correntes de Foucault e outras. Adiciona-se ainda um capacitor Cw para representar a capacitância entre espiras do enrolamento. Esse parâmetro pode não ter efeitos sobre a maioria dos transitórios de baixa freqüência (MARTINEZ et al., 2005a).
Modelagem das Correntes de Foucault
Vários dos fenômenos magnéticos considerados críticos para a operação do transformador acontecem simultaneamente, o que resulta em uma distribuição não uniforme das correntes nos enrolamentos, assim como do fluxo magnético no núcleo de ferro (AVILA-ROSALES et al., 1993). Esse fato faz com que os efeitos da corrente de Foucault tenham influência tanto nos enrolamentos quanto no núcleo do transformador. Modelagem dos efeitos da corrente de Foucault nos Enrolamentos
Os efeitos da corrente de Foucault se manifestam como um incremento na resistência efetiva e nas perdas do enrolamento, se comparado às que se apresentam para corrente direta (KENNEDY, 1998). Existe um número alto de expressões analíticas para o cálculo das perdas no enrolamento. Estas, deduzidas por (DE LEON et al., 1993), estão baseadas nas seguintes suposições: “o campo magnético tem só uma componente axial paralela ao eixo do enrolamento; o condutor tem uma seção transversal retangular; todos os condutores têm a mesma corrente total; não existe diferença entre os condutores; e a intensidade de campo superficial é considerada imperturbável pelas correntes de Foucault”. Essa suposição implica que o campo magnético da superfície lateral dos condutores é conhecido e pode ser utilizado para especificar a condição-limite. O circuito equivalente de Foster, mostrado na Figura 4.16, tem que ser usado para representar a dependência dos enrolamentos à freqüência. Esse circuito tem que ser de ordem infinita para que possa reproduzir exatamente a impedância em todas as freqüências, porém um circuito computacionalmente eficiente pode ser obtido pela instalação de apenas algumas freqüências pré-estabelecidas. Segundo (MARTINEZ et al., 2005a), para estudo práticos, um circuito série de ordem três ou menor é suficiente.
Figura 4.16: Circuito equivalente serie de Foster para enrolamentos.
Modelagem dos efeitos da corrente de Foucault no Núcleo de Ferro Laminado
Uma mudança no campo magnético provoca a indução de correntes de Foucault no núcleo. Como conseqüência disso, a densidade do fluxo será menor que aquela que foi dada pela curva de magnetização normal, mostrada na Figura 4.13. A distribuição do fluxo no núcleo de ferro laminado altera-se com a mudança da freqüência. Para as altas freqüências, o fluxo será confinado a uma fina camada próxima à superfície de laminação, cuja espessura diminui à medida que a freqüência aumenta. Isso indica que o caminho de ferro pode ser representado através de indutâncias e resistências de magnetização que mostram que as perdas das correntes de eddy são dependentes da freqüência (AVILA-ROSALES et al., 1993). A circulação das correntes de Foucault introduz perdas adicionais. Para limitar essas perdas, o núcleo do transformador é construído a partir de várias lâminas paralelas. Os modelos de correntes de Foucault destinados à simulação das indutâncias de magnetização dependentes da freqüência, bem como das perdas, podem ser classificadas segundo duas categorias obtidas respectivamente pela realização de uma expressão analítica para a impedância de
magnetização, como uma função dependente da freqüência ou pela subdivisão das lâminas em sub-lâminas e geração do seu equivalente elétrico.
Modelos computacionais muito eficientes foram obtidos através da aplicação de um circuito dual de Cauer obtido através de uma sintetização do circuito equivalente de Foster. A Figura 3.17 ilustra o circuito proposto por Cauer.
Figura 4.17: Circuito equivalente de Cauer para o núcleo de ferro. a) Circuito padrão de Cauer, b) Circuito dual de Cauer.