Modelagem do problema via programação linear

O problema em estudo trata de distribuir uma quantidade de alunos numa certa quantidade de escolas com suas respectivas capacidades de atender a demanda na alocação desses estudantes. Esse pode ser visto como um problema de transporte, descrito na seção 2.4, onde as residências dos alunos seriam os centros de distribuições (origens) e as escolas os centros consumidores (destinos). Destacam-se nas seções seguintes os componentes do modelo a ser formulado.

3.2.1 Componentes do modelo

Um modelo de PL (seção 2.2) possui três componentes básicos: a função objetivo, as restrições e os dados de entrada. Segue a discriminação de cada um desses componentes concernentes ao presente estudo.

a) Dados de entrada

O modelo terá como dados de entrada o número de estudantes a ser considerado na distribuição com as respectivas séries a serem cursadas, o número de escolas que receberão os estudantes com suas respectivas capacidades, o número mínimo de alunos para se abrir uma turma de determinada série em uma escola, a distância das possíveis rotas feitas a pé entre a localização de cada estudante e a localização de cada escola e, finalizando, a distância considerada como a ideal máxima.

b) Função Objetivo

Inicialmente o modelo deverá maximizar o número de estudantes que podem se deslocar a pé no percurso casa-escola-casa, alocando-os em alguma escola de acordo com as restrições a serem apresentadas. Uma segunda fase é estabelecida visando minimizar a distância total percorrida pelos estudantes alocados fora dos parâmetros iniciais desejáveis, caso existam. Portanto, quanto ao objetivo, o modelo será composto de duas fases: na primeira fase maximizar o número de alunos que possam ir a pé até as suas escolas; na segunda fase, mantendo os estudantes que podem ir a pé às mesmas escolas, redistribuir

estudantes fora dos parâmetros desejados minimizando a distância total percorrida por estes, caso existam.

c) Restrições

As restrições que compõem o modelo deverão representar as seguintes proposições: i) todo aluno deve ser alocado em uma, e somente uma escola;

Deverá ser respeitado o fato de que cada aluno será matriculado em apenas uma escola, ocupando exatamente uma vaga dentre as disponíveis pelas escolas.

ii) a capacidade agregada de cada escola deve ser respeitada;

Na alocação dos estudantes, o número máximo de alunos que uma escola pode receber não deverá ser ultrapassado. Não há um número mínimo de alocação, podendo uma escola receber nenhum aluno.

iii) o número mínimo de alunos para formar uma turma deve ser obedecido;

O modelo deverá respeitar o número mínimo de estudantes necessários para formar uma turma de determinada série, considerando tal limitação característica de cada escola. O número de alunos em uma turma não necessariamente será um múltiplo da referida quantidade mínima estipulada, esta deve ser menor ou igual ao número de estudantes alocados na turma.

iv) não existe quantidade negativa de alunos.

Tal proposição resultará nas restrições de não negatividade por parte das variáveis do modelo.

3.2.2 Metodologia para a obtenção dos dados de entrada do modelo

Com o intuito de elucidar a obtenção dos dados a serem utilizados no modelo, seguem as etapas do procedimento:

a) área de aplicação do estudo;

Nesta etapa é definida a área onde o modelo deve ser aplicado (bairro, distrito ou município, por exemplo). Informações referentes às escolas consideradas, como capacidade agregada (considera como uma só as três séries do EM), possibilidade de acesso (vias principais ou secundárias) e qualquer outra restrição que possa impactar o resultado da otimização devem ser cadastradas. Com a área de atuação delimitada, referências dos

estudantes (endereço residencial, série a ser cursada e restrição de deslocamento) são essenciais para o estudo em curso.

b) localização das escolas e dos estudantes;

O presente estudo propõe um método para o cálculo das distâncias entre estudantes e escolas que depende das coordenadas (latitude e longitude) de cada um desses itens. Obter a localização das escolas pode não gerar desafios desde que a quantidade destas não seja considerada elevada de modo a tornar inviável a obtenção individual dos dados cartográficos necessários, utilizando os endereços relacionados e as ferramentas ideais para a obtenção das coordenadas.

Quanto aos estudantes, a quantidade envolvida geralmente não permite um método de análise individual para a obtenção das coordenadas de localização. Pizzolato et. al (1993), neste contexto, adotam um procedimento de agregação por zonas que podem ser ruas, quadras, bairros, dependendo da abrangência da análise. Neste estudo será adotada a agregação por setores censitários, que segundo o IBGE (2010) possui a seguinte definição:

“(...)setor censitário é a unidade territorial de controle cadastral da coleta, constituída por áreas contíguas, respeitando-se os limites da divisão político-administrativa, do quadro urbano e rural legal e de outras estruturas territoriais de interesse, além dos parâmetros de dimensão mais adequados à operação de coleta.”

Cada setor censitário possui dados próprios como, por exemplo, quantidade populacional por faixa etária.

Através desse procedimento de agregação, que pode ser considerado como uma “discretização” da amostra populacional, os estudantes de cada setor censitário serão considerados localizados no centroide deste último. Uma aplicação SIG pode ser utilizada para a localização do centroide de cada setor censitário e também para fornecer suas coordenadas bem como as coordenadas das escolas. Caso haja necessidade, o procedimento de “discretização” pode ser utilizado para as escolas e, neste contexto, a soma das vagas de todas as escolas de um determinado setor seria atribuída ao centroide de localização.

c) Cálculo da distância dos alunos às escolas;

Com as coordenadas de cada centroide e de cada escola, utilizando a ferramenta computacional necessária, é obtida uma matriz de distâncias. Nessa matriz encontram-se as distâncias dij (distância a pé entre o centroide i e a escola j) que são obtidas através da análise

d) definição da distância máxima.

Esta etapa é muito subjetiva. Mesmo considerando indicadores como a média de distâncias, relevo, condições climáticas, “sensação” de segurança, entre outros, o que é considerado perto em uma determinada região pode ser considerado longe em outra região. Portanto cabe ao analista decidir esse dado de entrada.

e) definição do número mínimo de estudantes por turma.

De forma análoga a definição da distância máxima, este dado é obtido de forma subjetiva. Cabe ao gestor definir a quantidade mínima de estudantes para se formar uma turma de determinada série em uma escola específica. Custos fixos e variáveis que envolvam espaço físico, professores, inspetores, entre outros, provavelmente serão considerados, porém, como dito anteriormente, o gestor da rede decidirá os fatores relevantes e, assim, a quantidade mínima a ser estipulada. Estes valores compõem uma matriz relacionando cada turma com sua respectiva quantidade mínima para ser “aberta”.

3.2.3 Modelo proposto e módulo de pós-processamento

Nesta seção, é descrito o modelo proposto que visa atribuir os estudantes às escolas, maximizando o número desses que consigam ir a pé (deslocamento menor ou igual a distância considerada como máxima). Como todo modelo de PL, o problema de transporte precisa dos dados de entrada, das variáveis e da função objetivo seguida de suas restrições.

Dados de entrada

R → conjunto de centroides

E → conjunto das escolas

S → conjunto das turmas

nik → número de estudantes do centroide i da turma k capj → capacidade total de alunos da escola j

dij → distância a pé entre o centroide i e a escola j

δ → distância máxima que um estudante pode percorrer a pé

minkj → quantidade mínima de alunos para ser formada uma turma da série k na

Variáveis

xijk → número de alunos da turma k transportados da região i para a escola j

Modelo Max ∑ ∑ ∑ (3.1) Sujeito a _{∑ ∑} (3.2) ∑ (3.3) ∑ (3.4) (3.5)

A função objetivo (3.1) visa maximizar o número de alunos que vão a pé até a escola atribuída. Vale ressaltar que um estudante a uma distância d1 e outro a uma distância d2, tendo d1 e d2 dentro do limite considerado ideal, são tratados de igual modo pela função objetivo

(3.1). As restrições (3.2) garantem que a capacidade de cada escola será respeitada. As restrições (3.3) garantem que todos os alunos serão atribuídos a alguma escola. As restrições (3.4) asseguram que o número mínimo de estudantes para se formar uma turma de determinada série será respeitado em cada escola. Caso não houvesse tais restrições, o índice

k, referente às turmas, poderia ser suprimido do modelo e este ser executado separadamente

para cada tipo de série. Já as restrições (3.5) mostram que as variáveis do problema devem ser reais não negativas. Nota-se a relação entre as restrições (3.2) , (3.3) e (3.5) com as restrições (2.7) – (2.9), do modelo de transportes.

Após a execução do modelo prévio, a tendência é que os alunos que não ficaram alocados em uma escola que possam ir a pé sejam alocados em escolas não muito perto uma vez que esta distância não influencia na função objetivo (3.1). Assim, um módulo de pós- processamento é acionado, onde todos os estudantes alocados pelo modelo em escolas onde é possível ir a pé são mantidos nas mesmas escolas. Já os demais estudantes, são realocados de modo que a distância total percorrida seja a menor possível. Assim, o módulo de pós- processamento consiste da execução de um novo modelo com as mesmas variáveis e

restrições do modelo (3.1) – (3.5), onde as soluções das variáveis xijk com dij ≤ δ são fixadas

com os valores gerados. A função objetivo passa a ser a seguinte, que visa minimizar a soma das distâncias percorridas pelos alunos que não vão a pé:

Min ∑ ∑ ∑

(3.6)

Vale ressaltar que o modelo considera o número de vagas agregada de cada escola, ou seja, a distribuição é tida sem discriminação das séries. O quantitativo por série em cada escola é um dado de saída, uma “característica” do estudante alocado, e cada escola deverá se adequar conforme os resultados obtidos pela resolução do PPL. Note que o modelo impõe que sempre se coloque ao menos o número mínimo de alunos de cada turma em cada escola.