Modelagem espacial do ECS

Após a obtenção dos dados pontuais de ECS, os mesmos foram interpolados utilizando técnicas geoestatísticas. As técnicas aplicadas foram a krigagem e a cokrigagem. Uma série de procedimentos é necessária para a aplicação das referidas técnicas (OLIVER; WEBSTER, 2014), esses procedimentos são descritos nos próximos subitens.

3.6.1 Análise exploratória dos dados

A análise exploratória é a etapa na qual se descreve e analisa o conjunto de dados. Segundo Oliver e Webster (2014), nessa etapa se observam a adequabilidade do tamanho e localização das amostras, assim como a identificação de tendências nos dados.

A krigagem e cokrigagem são sensíveis à normalidade da distribuição e aos valores extremos. A assimetria positiva (skewness) e a presença de valores atípicos distorcem a representação do semivariograma (OLIVER; WEBSTER, 2014). Sendo assim, a normalidade dos dados foi testada através do teste de Kolmogorov-Smirnov com o ajuste de Lilliefors e a presença de valores extremos foi investigada com gráficos box plot. Essa etapa foi realizada no software R (R CORE TEAM, 2016).

3.6.2 Análise estrutural: semivariograma e semivariograma cruzado

A análise estrutural dos dados é feita a partir do cálculo do semivariograma. O semivariograma foi calculado pela equação 8 (WEBSTER; OLIVER, 2007, p.68), devendo ser ajustado observando-se o modelo mais adequado. Após o ajuste do semivariograma, se extraem os parâmetros (Figura 6) para a interpolação por krigagem.

∑ (Eq. 8) Onde:

 = Estimador do semivariograma;

 = Número de pares medidos separadas pelo vetor h;

 = Observações da variável Z separadas pelo vetor h. Figura 6 – Parâmetros do semivariograma

Fonte: Wanderley, Amorim e Carvalho (2012).

A função semivariograma mede as variâncias de pontos separados por uma distância h. O ajuste do semivariograma é um processo supervisionado e depende da experiência do pesquisador (OLIVER; WEBSTER, 2014). O ajuste do semivariograma é feito ―ao olho‖ por tentativa e erro, porém, para evitar a subjetividade, alguns parâmetros estatísticos foram aplicados a fim de testar a adequabilidade do semivariograma.

Para testar o ajuste dos pontos com o semivariograma teórico utilizou-se a soma do quadrado dos erros (SQE). E para avaliar a dependência espacial do semivariograma utilizou-se o critério proposto por Cambardella et al. (2004) onde a proporção (%) do efeito

pepita (C0) em relação ao patamar (C0 + C) é utilizada para classificar o grau de dependência

espacial de uma variável. Uma relação de menos de 25% denota uma dependência espacial forte, entre 25 e 75% a dependência espacial é moderada e uma relação de mais de 75% denota uma dependência espacial fraca. Somente semivariogramas com dependência espacial forte ou moderada foram considerados.

Também a partir do semivariogram é possível notar a presença de tendência nos dados. Ocorre tendência nos dados quando a média não é estacionária, isto é, varia segundo algum outro fator que tem influência na variável sendo interpolada.

A tendência foi observada no conjunto de dados, portanto, utilizou-se a krigagem universal e a cokrigagem universal para interpolação dos ECS, conforme recomendam Oliver e Webster (2014). Tanto a krigagem universal quanto a cokrigagem universal levam em conta médias que variam segundo as coordenadas geográficas das amostras. A krigagem universal e cokrigagem universal utilizam apenas as coordenadas geográficas para tratar a tendência, conforme recomendado por Hengl, Heuvelink e Stein (2004) e Hengl, Heuvelink e Rossister (2007).

Em alguns casos, o atributo interpolado pode ter uma distribuição espacial preferencial em alguma direção específica, essa propriedade é chamada de anisotropia. A investigação acerca da ocorrência de anisotropia foi feita com o auxílio de semivariogramas direcionais e, também para evitar subjetividade, utilizou-se o método “Covariance Tensor

Identity” (CTI) (CHORTI; HRISTOPULOS, 2008; PETRAKIS; HRISTOPULOS, 2017).

Na interpolação por cokrigagem são calculados os semivariogramas diretos (individuais para cada atributo envolvido na interpolação) e o semivariograma cruzado (que envolve os dois atributos da interpolação). Segundo Webster e Oliver (2007, p.222) a equação do semivariograma cruzado é exibida na Equação 9.

∑

(Eq. 9)

Onde:

 = Estimador do semivariograma cruzado;

 = Número de pares medidos separadas pelo vetor h;

 = Observações da variável u separadas pelo vetor h;

A etapa da análise estrutural foi inteiramente realizada no software R com o auxílio do pacote GSTAT (PEBESMA, 2004) e do pacote intamap (PEBESMA, et al., 2011).

3.6.3 Interpolação por krigagem universal

Após as etapas supracitadas, os ECS foram interpolados primeiramente através da krigagem (KRIGE, 1952; MATHERON, 1963), cujo estimador (Eq. 10) utiliza pesos variáveis segundo a própria variabilidade espacial expressa no semivariograma, sendo assim uma média móvel ponderada (VIEIRA, 2000):

∑ (Eq. 10) Onde:

 Z*(x0) = valor predito na posição x0;

 Z(xi) = valor conhecido na posição xi;

 λi = peso determinado pela autocorrelação espacial segundo o semivariograma.

A krigagem universal possui médias que variam conforme as coordenadas geográficas das amostras. Essa técnica utiliza um conjunto de equações que são descritas integralmente em Webster e Oliver (2007).

3.6.4 Interpolação por cokrigagem universal

Com o objetivo de alcançar uma melhor interpolação dos dados, foi também realizada a interpolação por cokrigagem, a qual reduz a variância estimada pela krigagem ordinária ou universal e ainda possuí um melhor desempenho na interpolação de locais com baixa densidade de amostragem ao levar em conta a correlação espacial da variável alvo com variáveis secundárias ou covariáveis (VAUCLIN et al., 1983; SIMBAHAN et al., 2006). Inclusive, para Odeh et al. (1995) a krigagem ordinária e universal são métodos comparativamente mais pobres com relação a métodos de interpolação que consideram outros atributos. O estimador da cokrigagem (WEBSTER; OLIVER, 2007, p.229) é representado na equação 11.

∑ ∑ (Eq. 11) Onde:

 = valor predito para a variável u no bloco B;

 V = variáveis em número l (1,2,...);

 = número de observações da variável l;

 λ = pesos das variáveis;

 = locais onde a variável l foi medida.

O conjunto de equações que estimam a cokrigagem universal pode ser encontrado integralmente em Webster e Oliver (2007).

3.6.5 Validação cruzada

A avaliação do desempenho da krigagem e cokrigagem foi feita através da validação cruzada. Esse processo avalia a interpolação omitindo uma observação da amostra por vez e interpolando na ausência dela, então se compara o valor observado com o estimado, isso é feito para todas as observações da amostra (OLIVER; WEBSTER, 2014). As estatísticas da validação cruzada adotadas são resumidas na Tabela 2.

Tabela 2 – Estatísticas medidas na validação cruzada das interpolações

ESTATÌSTICA SÍMBOLO INTERPRETAÇÂO

Erro médio ME Idealmente 0

Erro médio quadrado MSE Idealmente 0

Mean square deviation ratio MSDR Idealmente 1

Erro médio quadrático RMSE Idealmente 0

Erro médio absoluto MAE Idealmente 0

Coeficiente de determinação entre valores

observados x valores estimados R

2