A CONCEITOS FUNDAMENTAIS
A.4 MODELAGEM: ESTAT´ISTICA E SISTEMAS DIN ˆ AMICOS
Ap´os a discuss˜ao sobre a defini¸c˜ao de s´eries temporais e seus principais componentes, bem como, as classifica¸c˜oes b´asicas relacionadas a estocasticidade, estacionariedade e lineari- dade. Esta se¸c˜ao busca aprofundar os conceitos sobre a modelagem de s´eries temporais definidos pela Estat´ıstica e pelos Sistemas Dinˆamicos, utilizados na compreens˜ao e an´alise do comportamento de s´eries temporais.
A.4.1 Modelagem baseada em Estat´ıstica
A modelagem estat´ıstica est´a relacionada `a an´alise de s´eries temporais lineares esta- cion´arias e n˜ao-estacion´arias. Nesse contexto, pode-se definir alguns dos principais pro- cessos utilizados para modelar as s´eries, sendo eles, white noise, random walk, moving average, autoregressive, autoregressive moving average e autoregressive integrated moving average.
Se Xt ´e uma s´erie temporal com uma sequˆencia de vari´aveis aleat´orias n˜ao correlaci-
onadas, cada uma com m´edia zero e variˆancia, ent˜ao, tal sequˆencia ´e referida como ru´ıdo branco ou white noise, com m´edia E(Xt) = 0 e variˆancia var = σ2 (BROCKWELL;
DAVIS; CALDER, 2002). A nota¸c˜ao do ru´ıdo branco pode ser vista atrav´es da Equa¸c˜ao A..
Xt∼ W N (0, σ2) (A.)
Caso uma s´erie Xt seja composta por um valor passado Xt−1 e um ru´ıdo t (Equa¸c˜ao
A.), ent˜ao esta s´erie ´e denominada de random walk ou passeio aleat´orio, e n˜ao ´e con- siderada estacion´aria. Sendo assim, a m´edia ´e dada por E(Xt) = tµ e a variˆancia por
var = tσ2 (BOX GWILYM M. JENKINS, 1994).
Xt = Xt−1+ t (A.)
Um processo ´e chamado de moving average de ordem q, M A(q), se for escrito como mostra a Equa¸c˜ao A. (BOX GWILYM M. JENKINS, 1994).
Xt = t− θ1t−1− θ2t−2− ... − θqt−q (A.)
onde os s´ımbolos −θ1, −θ2, ..., −θq s˜ao o conjunto finito de parˆametros de peso e t s˜ao
elementos formados com caracter´ısticas do ru´ıdo branco com m´edia E(Xt) = 0 e variˆancia
var = σ2.
Enquanto que um processo autorregressive de ordem p, AR(p), pode ser expresso pela Equa¸c˜ao A. (BOX GWILYM M. JENKINS, 1994)
Xt= φ1xt−1+ φ2xt−2+ ... + φpxt−p+ t (A.)
onde os s´ımbolos φ1, φ2, ..., φp s˜ao o conjunto finito de parˆametros de peso e t ´e um
ru´ıdo branco. Assim sendo, a s´erie Xt possui valores que s˜ao combina¸c˜oes lineares dos p
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Atrav´es dos conceitos mencionados acima, um processo ´e dito autoregressive moving average se uma s´erie ´e estacion´aria e se para cada t segue os princ´ıpos estabelecidos pela Equa¸c˜ao A. (BROCKWELL; DAVIS; CALDER, 2002).
xt+ φ1xt−1+ φ2xt−2+ ... + φpxt−p= t− θ1t−1− θ2t−2− ... − θqt−q (A.)
onde t ∼ W N (0, σ2). Esse modelo ´e definido por ARM A(p, q), em que p representa a
ordem por parte do processo autoregressive, AR(p), e q refere-se `a ordem do processo moving average, M A(q).
Diante da discuss˜ao sobre o modelo ARM A, o qual representa s´eries estacion´arias, h´a uma generaliza¸c˜ao dessa classe, visto que ´e poss´ıvel incorporar uma ampla gama de s´eries n˜ao-estacion´arias e que pode ser fornecida pelos processos autoregressive integrated moving average (ARIMA). Sendo assim, se d ´e um inteiro n˜ao-negativo, ent˜ao a s´erie Xt ´e um ARIM A(p, d, q) se Yt := (1 − B)dXt ´e um processo causal ARM A(p, q). Esta
defini¸c˜ao significa que Xt satisfaz uma equa¸c˜ao de diferen¸ca representada pela Equa¸c˜ao
A. (BROCKWELL; DAVIS; CALDER, 2002).
φ∗(B)Xt ≡ φ(B)(1 − B)dXt = θ(B)t, t ∼ W N (0, σ2) (A.)
onde φ(z) e θ(z) s˜ao polinˆomios de grau p e q, respectivamente, e φ(z) 6= 0 para |z| ≤ 1.
A.4.2 Modelagem baseada em Sistemas Dinˆamicos e Teoria do Caos
A Teoria do Caos faz parte do estudo de sistemas dinˆamicos complexos, iniciado por Lo- renz em 1963, quando estudava a dinˆamica do fluxo turbulento em flu´ıdos (LEVY, 1994). Esses sistemas s˜ao ditos ca´oticos se, ap´os sua an´alise, s˜ao consideradas caracter´ısticas n˜ao- lineares, n˜ao-equilibradas, determin´ısticas, dinˆamicas e que incorporam aleatoriedade, de modo que s˜ao sens´ıveis `as condi¸c˜oes iniciais e tˆem atratores estranhos (CAMBEL, 1993). Matematicamente, os sistemas ca´oticos s˜ao representados por equa¸c˜oes diferenciais que n˜ao podem ser resolvidas, de modo que n˜ao ´e poss´ıvel calcular o estado do sistema em um tempo futuro espec´ıfico t. Para superar o problema das equa¸c˜oes diferenciais intrat´aveis, pesquisadores geralmente modelam sistemas como equa¸c˜oes de diferen¸cas discretas, que especificam qual ser´a o estado do sistema no tempo t + 1, dado o estado do sistema no momento t. Em seguida, ´e usado para verificar como o sistema evolui com o tempo. Uma das principais realiza¸c˜oes da teoria do caos ´e sua capacidade de demonstrar como um con- junto simples de relacionamentos determin´ısticos pode produzir resultados padronizados, por´em imprevis´ıveis (LEVY, 1994).
Dessa forma, um sistema ca´otico pode ser explicado quantitativamente atrav´es do expoente de Lyapunov. O expoente de Lyapunov ´e o logaritmo natural do n´umero de Lyapunov, sendo este a m´edia da taxa de divergˆencia por passo dos pontos pr´oximos ao longo de uma ´orbita {x1, x2, x3, ...}, considerada a varia¸c˜ao dos valores produzidos pelo
sistema. Portanto, seja f um mapa da linha real R, o n´umero de Lyapunov L(x1) de
uma ´orbita ´e definido segundo a Equa¸c˜ao A. se o limite existe (ALLIGOOD; SAUER; YORKE, 1996).
62 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
L(x1) = lim n→∞(|(f
0(x
1))|...|(f0(xn))|)1/n (A.)
Ent˜ao, o expoente de Lyapunov h(x1) ´e definido atrav´es da Equa¸c˜ao A. se, e somente
se, L existir e for diferente de zero, e lnL = h (ALLIGOOD; SAUER; YORKE, 1997). h(x1) = lim n→∞ 1 n[ln(|(f 0 (x1))|) + ... + ln(|(f0(xn))|)] (A.)
Al´em disso, vale ressaltar que a ´orbita {x1, x2, ...xn} ´e chamada de assintoticamente
peri´odica se convergir para uma ´orbita peri´odica como n → ∞. Isto significa que existe uma ´orbita peri´odica {y1, y2, ..., yk, y1, y2, ...} que satisfaz a Equa¸c˜ao A. (ALLIGOOD;
SAUER; YORKE, 1997).
lim
n→∞|xn− yn| = 0 (A.)
Portanto, pode-se concluir que uma ´orbita ´e ca´otica se (ALLIGOOD; SAUER; YORKE, 1997):
1. {x1, x2, ...xn} n˜ao ´e assintoticamente peri´odico
2. o expoente de Lyapunov h(x1) ´e maior que zero
Al´em do expoente de Lyapunov, existe o expoente de Hurst, o qual mede a aleatorie- dade de um conjunto de dados. O expoente de Hurst fornece uma medida para mem´oria de longo prazo e fractalidade de uma s´erie temporal. Por ser robusto e com poucas su- posi¸c˜oes sobre sistemas subjacentes, este expoente tem ampla aplicabilidade para an´alise de s´eries temporais. Os valores do expoente de Hurst (H) variam entre 0 e 1, e podem ser classificados em trˆes categorias (QIAN; RASHEED, 2004).
1. H = 0.5, indica uma s´erie aleat´oria (random walk ) 2. 0 < H < 0.5, indica uma s´erie anti-persistente 3. 0.5 < H < 1, indica uma s´erie persistente
Uma s´erie anti-persistente tem uma caracter´ıstica de revers˜ao `a m´edia ou mean- reverting, o que significa que um valor de subida ´e mais provavelmente seguido por um valor de descida e vice-versa. A for¸ca de revers˜ao `a m´edia aumenta `a medida que H se aproxima de 0. J´a uma s´erie persistente ´e um refor¸co de tendˆencia, o que significa que a dire¸c˜ao (para cima ou para baixo em rela¸c˜ao ao ´ultimo valor) do pr´oximo valor ´e mais prov´avel que o valor atual. A for¸ca da tendˆencia aumenta `a medida que H se aproxima de 1.0 (QIAN; RASHEED, 2004). A maioria das s´eries temporais econˆomicas e financeiras ´
e persistente com H > 0.5 (QIAN; RASHEED, 2004).
O expoente de Hurst pode ser estimado atrav´es da an´alise Rescaled Range (R/S), em que, dado uma s´erie temporal X = {x1, x2..., xn}, o m´etodo da an´alise R/S pode ser
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1. Calcula o valor m´edio m: m = n1 Pn
i=1xi
2. Calcula a s´erie m´edia ajustada Y : Yt= xt–m para t = 1, 2, ..., n
3. Calcula a s´erie de desvios cumulativos Z: Zt =
Pt
i=1 para t = 1, 2, ..., n
4. Calcula a s´erie de alcance R em t = 1, 2, ..., n: Rt= max(Z1, Z2, ..., Zt)–min(Z1, Z2, ..., Zt)
5. Calcula a s´erie de desvios padr˜ao S: St = q 1 t Pt i=1(xi− u)
sendo u o valor m´edio de x1 para xt.
6. Calcula a s´erie Rescaled Range (R/S) para t = 1, 2, ..., n: (R/S)t = Rt/St
Portanto, (R/S) ´e escalado `a medida que o tempo aumenta, como indicado na Equa¸c˜ao A..
(R/S)t= c ∗ tH (A.)
onde c ´e uma constante e H ´e o expoente Hurst, a Figura A.10 demonstra esta an´alise.
1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 log2(t) 1 log2(R/S) H=0.65