Modelagem matemática para o crescimento e consumo de substrato

O crescimento e o consumo de substrato do processo fermentativo foram acompanhados por 168 h. Assim, por meio dos dados experimentais, foram avaliados quais modelos de crescimento e consumo de substrato seriam os mais adequados para predizer o comportamento do processo.

A Tabela 25 apresenta os valores dos parâmetros dos modelos estudados para avaliar e prever o crescimento e o consumo de substrato pela levedura P. rhodozyma. Como mostrado, os valores obtidos para as constantes oriundas das equações de crescimento, para uma mesma equação de substrato, são iguais e/ou bem próximos, exceto pela equação de Contois, que apresenta um valor diferente das demais.

Tabela 25 - Parâmetros estimados para cada modelo estudado.

Equações Parâmetros Crescimento Substrato 𝑲_𝒔 𝑲_𝒙 𝑲_𝒊 𝒎 Monod Pirt 2,4660 - - 2,3595 x 10-14 Contois Pirt 0,6741 - - 2,2204 x 10-16 Andrews Pirt 2,4660 - 4,4883 x 106 2,3595 x 10-14 Hiss Pirt 2,4660 - 1,6212 x 107 2,3595 x 10-14

Monod Modelo Proposto 3,1484 0,0587 - 2,3595 x 10-14

Contois Modelo Proposto 0,7063 0,3547 - 2,5707 x 10-14

Andrews Modelo Proposto 3,1489 0,0589 1,0471 x 108 2,3704 x 10-14 Hiss Modelo Proposto 3,1464 0,0578 9,0729 x 107 2,4180 x 10-14

A proximidade ou igualdade dos valores das constantes de 𝐾_𝑠 para ambos os sistemas de estudo (equação de crescimento com concomitante consumo de substrato), deve-se ao fato de que esta constante é diretamente relacionada com o substrato e depende unicamente da

natureza do substrato utilizado. Por se tratar de uma mesma condição experimental, ou seja, com o mesmo substrato para todas as estimações, o parâmetro da constante de saturação deve ser o mesmo independente da equação utilizada para o sistema. Visto que não há nenhuma modificação no meio para ambas as equações de crescimento, tratando-se do mesmo parâmetro, era esperado que os parâmetros estimados fossem iguais ou bem próximos.

A equação de Contois é a única equação cujo valor de 𝐾_𝑠 é significativamente menor que o valor das demais equações. Isso ocorre porque a estrutura desta equação é diferente das demais, que são uma forma parametrizada da equação de Monod. Na equação de Contois, a constante de saturação é multiplicada pelo crescimento microbiano, o que, matematicamente, acarreta em um valor diferente para o sistema.

Os valores obtidos para 𝐾_𝑠 e 𝐾_𝑥 indicam como será a fase exponencial do experimento, pois, quanto menores os valores de 𝐾_𝑠 e 𝐾_𝑥, maior o crescimento de microrganismos e o consumo de substrato e, consequentemente, maior será a inclinação das curvas devido à relação numerador/denominador. Dessa maneira, pode-se afirmar que a fase exponencial da curva em estudo denota uma inclinação mediana, já que os valores dos parâmetros não são pequenos o suficiente para mostrar uma elevada inclinação, o que é ratificado pelos dados experimentais. Na equação de Contois, embora o valor de 𝐾𝑠 seja menor que os demais, a fase exponencial permanece mediana, pois o parâmetro mencionado é multiplicado pelo crescimento do microrganismo, fazendo com que a razão ( 𝑆

(𝐾𝑠 × 𝑋) + 𝑆) seja um valor mediano.

Para ambos os modelos do consumo de substrato, percebe-se que a constante de manutenção celular apresenta um valor pequeno quando comparado aos outros termos da equação, na ordem de 10-14 e 10-16, o que torna mínima sua contribuição ao sistema, podendo ser desconsiderado para cálculos matemáticos, a fim de aumentar os graus de liberdade do sistema. A fração do substrato responsável pela manutenção celular é ínfima, quando comparado à fração destinada para gerar novos microrganismos, o que torna o valor pequeno. Por ser um parâmetro diretamente relacionado ao microrganismo, a manutenção celular tende a apresentar o mesmo valor ou um valor aproximado para ambos os modelos utilizados.

Pelos valores de 𝐾𝐼, pode-se concluir que a inibição pelo substrato é praticamente inexistente. Uma vez que, o valor de 𝐾_𝐼 é dado na ordem 107, para que seu valor seja sempre superior ao valor da concentração de substrato na equação, para tornar o termo (𝑆

2

𝐾𝑖) da equação

de Andrews um valor muito pequeno e, a razão ( 𝐾𝑖

𝐾𝑖 + 𝑆) da equação de Hiss próximo de 1, de

O parâmetro 𝐾_𝑥 oriundo do modelo da equação de substrato (Equação 52), para os modelos de Monod, Andrews e Hiss, apresentam o mesmo valor. Por se tratar do mesmo microrganismo e das mesmas condições de cultivo, a interação microrganismo/substrato deve permanecer a mesma independente do modelo utilizado, visto que este parâmetro depende unicamente da natureza do microrganismo e do substrato utilizados. Para Contois, assim como na equação de crescimento, há uma multiplicação do crescimento microbiano (𝑋) pelo 𝐾_𝑠 e, como há uma co-dependência entre as equações de crescimento e substrato, o 𝐾𝑥 é afetado, fazendo com que o valor deste parâmetro tenda a ser maior que o valor obtido pelas demais equações e pelo presente estudo.

No modelo proposto por Contois, a constante de saturação é diretamente proporcional ao crescimento celular e, ocasionalmente, a taxa de crescimento específica torna-se inversamente proporcional ao crescimento (SAKTHISELVAN; MEENAMBIGA; MADHUMATHI, 2019). Isso faz com que tal modelo apresente maior poder de predição para o experimento, conforme mostra análise estatística apresentada na Tabela 26.

A melhor equação para consumo de substrato, ou seja, aquela que proporciona maior capacidade de predição é dada pelo Modelo Proposto (Equação 52), a qual faz a consideração da interação entre o microrganismo e o substrato. Isso ocorre porque o consumo de substrato da levedura em estudo ocorre rapidamente, demonstrando um efeito de interação intensa entre microrganismo e substrato, que necessita ser computada no modelo para uma maior e melhor representatividade dos dados experimentais.

As equações de Monod, Andrews e Hiss, para uma mesma equação de consumo de substrato, apresentam o mesmo valor para as análises estatísticas. Como a inibição do substrato não ocorre, as equações de Hiss e Andrews, retornam para o modelo de Monod, fazendo com que seus parâmetros 𝐾_𝑠 e 𝐾_𝑥 sejam iguais e, consequentemente, os parâmetros estatísticos também.

A etapa subsequente à estimação dos parâmetros e análise estatística foi a validação do método por meio dos dados experimentais oriundos do experimento 2. Os dados estatísticos da validação do modelo com os parâmetros estimados são apresentados pela Tabela 27. Para a validação, apenas o melhor modelo de crescimento para cada equação de substrato foi utilizado.

Tabela 26 - Avaliação estatística de cada equação proposta no modelo projetado para prever o crescimento e consumo de substrato da levedura P. rhodozyma.

Equação Parâmetros estatísticos

Crescimento Substrato 𝑹𝟐 𝑺𝑺𝑬 𝑨𝑰𝑪

Monod Pirt 0,9102 403,8590 134,8883

Contois Pirt 0,9264 317,1031 115,0575

Andrews Pirt 0,9102 403,8592 137,0442

Hiss Pirt 0,9102 403,8590 137,0441

Monod Modelo Proposto 0,9544 133,6004 46,3347

Contois Modelo Proposto 0,9725 74,4937 -1,5647

Andrews Modelo Proposto 0,9543 133,6013 48,5470

Hiss Modelo Proposto 0,9544 133,6024 48,5477

Os resultados mostrados pela Tabela 27, assim como nas Figuras 28 e 29, corroboram que o Modelo Proposto (Equação 52) é o modelo que apresenta maior capacidade de predição do processo, pois apresenta os melhores resultados estatísticos.

Tabela 27 - Avaliação estatística da validação dos melhores modelos para predição do crescimento e consumo de substrato da levedura P. rhodozyma.

Equação Parâmetros

Crescimento Substrato 𝑹𝟐 𝑺𝑺𝑬 𝑨𝑰𝑪

Contois Pirt 0,9281 356,7874 124,7264

Contois Modelo Proposto 0,9714 78,1212 2,3341

Os resultados estatísticos, bem como as Figuras 28 e 29, deixam claro que a levedura P.

rhodozyma nas condições em estudo, tem seu cultivo diretamente afetado pela densidade celular

e apresenta uma grande interação com o substrato utilizado para cultivá-la. Visto que os melhores resultados para a predição de seu crescimento e consumo de substrato foram obtidos pelos modelos de Contois e pelo Modelo Proposto (Equação 52).

Figura 28 - Comparação entre os dados experimentais do crescimento da levedura P.

rhodozyma e o modelo de crescimento determinado pela equação de Contois em combinação

com as equações de consumo de substrato de Pirt e o modelo proposto.

Figura 29 - Comparação entre os dados experimentais do consumo de substrato da levedura P. rhodozyma e os modelos de consumo de substrato de Pirt e o modelo proposto, utilizando-

se a equação de Contois para o modelo de crescimento. .