Modelagem matem´atica e controle

Descrever matematicamente a opera¸c˜ao de destila¸c˜ao, tendo como base os fenˆomenos de transferˆencia de massa e energia diretamente, ´e considerada uma tarefa complexa. Tal dificuldade ´e contornada quando se adota o modelo de est´agios de equil´ıbrio, no qual as correntes de l´ıquido e de vapor que saem de um dado prato se encontram em perfeito equil´ıbrio entre si. A Figura (4.12) mostra o comportamento das correntes de l´ıquido e

de vapor em um prato de contato e um prato gen´erico i utilizado para a modelagem da coluna.

(a) Esquema dos fluxos contracorrentes em um prato de contato da coluna.

(b) Prato gen´erico i utilizado para o desenvolvi- mento do modelo da coluna.

Figura 4.12: Pratos em uma coluna de destila¸c˜ao.

Assim, rela¸c˜oes termodinˆamicas podem ser usadas para determinar a temperatura e as concentra¸c˜oes das esp´ecies envolvidas nos fluxos a uma dada press˜ao de opera¸c˜ao.

Na Figura (4.13) tem-se um esquema simples de uma coluna de destila¸c˜ao.

Figura 4.13: Esquema de uma coluna de destila¸c˜ao.

O modelo estudado representa matematicamente a dinˆamica de uma coluna de des- tila¸c˜ao cont´ınua utilizada para separar uma mistura bin´aria ideal. A volatilidade relativa (α) entre os componentes da mistura bin´aria ´e considerada constante e igual a 2. A cor- rente molar de vapor ´e admitida constante ao longo de toda coluna. L´ıquido saturado ´e

4.2. Coluna de Destila¸c˜ao Bin´aria Ideal 79

alimentado na coluna no prato F. A coluna estuda n˜ao considera balan¸cos de energia e tamb´em n˜ao trata temperatura e press˜ao como vari´aveis. A numera¸c˜ao dos pratos ´e feita da base para o topo da coluna. O vapor que deixa o prato de topo ´e instantaneamente e totalmente condensado e forma um n´ıvel constante de l´ıquido no tambor de refluxo, que se encontra perfeitamente misturado.

O refervedor ´e considerado um est´agio de equil´ıbrio, e o hold-up constante de l´ıquido no refervedor encontra-se perfeitamente misturado. Os n´ıveis de l´ıquido dos pratos tamb´em possuem mistura perfeita mas podem variar de valor quando as taxas de l´ıquido que entram e saem dos pratos variam.

Utilizando a Equa¸c˜ao (4.1) como rela¸c˜ao termodinˆamica de equil´ıbrio e com o aux´ılio da Figura (4.12) temos que as equa¸c˜oes dinˆamicas de balan¸co de mass-a e de equil´ıbrio de fase para todos os pratos s˜ao descritas da seguinte forma:

dMi dt = Fi+ Li+1− Li Mi(0) = ¯Mi (4.2) Mi dxi

dt = Fixf + Li+1xi+1+ V yi−1− Lixi− V yi− xi dMi dt xi(0) = ¯xi (4.3) Li = ¯Li+ Mi− ¯Mi β (4.4)

Fi ´e diferente de zero apenas quando i ´e igual ao n´umero que corresponde ao prato de

alimenta¸c˜ao F . As fra¸c˜oes molares x e y se referem ao componente mais leve. As fra¸c˜oes do componente mais pesado podem ser obtidas por (1−x) e (1−y). ¯Lie ¯Mi correspondem

a valores iniciais de estado estacion´ario (PERRY, 1997), e β ´e uma constante que pondera a hidr´aulica do prato. Para a combina¸c˜ao condensador-tambor de refluxo, tem-se que:

dxD dt = V yNT − V xD MD xD(0) = ¯xD (4.5) V − (D + R) = 0 (4.6) dxB dt = L1x1− V yB− BxB MB xB(0) = ¯xB (4.7)

L1− (B + V ) = 0 (4.8)

Estruturas de controle t´ıpicas

Existem v´arias alternativas de estruturas utilizadas no controle de colunas de destila¸c˜ao. A nomenclatura padr˜ao de uma estrutura de controle ´e dada pela jun¸c˜ao dos s´ımbolos das duas vari´aveis manipuladas empregadas para o controle das fra¸c˜oes molares de produto topo e de fundo. Desse modo, a estrutura de controle “R-V” indica que a vaz˜ao de refluxo ´e manipulada para controlar a composi¸c˜ao do produto de topo e que a vaz˜ao de vapor ascendente ´e manipulada para controlar a fra¸c˜ao molar do produto de fundo. A estrutura denominada “D-B” indica o uso da vaz˜ao de destilado e de produto de fundo para o controle das fra¸c˜oes de produto de topo e fundo, respectivamente.

O controle simultˆaneo das fra¸c˜oes molares proporciona a separa¸c˜ao desejada com um consumo energ´etico minimizado. Contudo, muitas colunas operam apenas com controle de uma das fra¸c˜oes molares (produto de topo ou de fundo) e n˜ao duas. Isto porque o uso de dois controladores para composi¸c˜ao geralmente propicia intera¸c˜ao entre as malhas, o que faz com que a sintonia se torne complexa. Ainda, devido `as dificuldades com medi- dores de composi¸c˜ao em linha, temperaturas s˜ao freq¨uentemente utilizadas para inferir composi¸c˜oes. E em muitas colunas, o controle de temperatura em um prato ´e suficiente para a manuten¸c˜ao de todo um perfil de temperatura na coluna.

Segue a descri¸c˜ao das estruturas estudadas neste trabalho:

• R-V: A corrente de refluxo controla a fra¸c˜ao molar do destilado. A vaz˜ao de vapor, ou seja, o calor de entrada no refervedor controla a fra¸c˜ao molar do produto de fundo. A vaz˜ao de destilado D e de produto de fundo B n˜ao sofre atua¸c˜ao. Essa estrutura ´e provavelmente a mais utilizada de todas. Uma de suas vantagens ´e que, usualmente, a resposta a mudan¸cas de composi¸c˜ao da alimenta¸c˜ao ´e muito satisfat´oria.

• D-V: A corrente de destilado controla a fra¸c˜ao molar do destilado. A vaz˜ao de vapor (o calor de entrada no refervedor) controla a composi¸c˜ao do produto de fundo enquanto a vaz˜ao de refluxo R e de produto de fundo B n˜ao sofrem atua¸c˜ao. Sabe-se que para altas taxas de refluxo (R/D > 4), essa estrutura ´e fortemente recomen- dada visto que a vaz˜ao da corrente de destilado ´e baixa para controlar o n´ıvel do tambor de refluxo.

• R-B: A corrente de refluxo controla a fra¸c˜ao molar do destilado e a vaz˜ao de produto de fundo controla a fra¸c˜ao molar do produto de fundo. A vaz˜ao de destilado D e o

4.2. Coluna de Destila¸c˜ao Bin´aria Ideal 81

calor de entrada no refervedor n˜ao sofrem atua¸c˜ao. Quando a taxa de vaporiza¸c˜ao (V /B) ´e alta, essa estrutura deve ser utilizada, contudo algumas colunas podem apresentar resposta inversa, o que pode ocasionar em consider´aveis problemas de controle.

• D-B: A corrente de destilado controla a fra¸c˜ao molar do destilado. A vaz˜ao de produto de fundo controla a fra¸c˜ao molar do produto de fundo. A vaz˜ao de refluxo R e o calor de entrada no refervedor n˜ao sofre atua¸c˜ao.

A Figura (4.14) ´e um resumo de todas estruturas de controle implementadas nesse trabalho.

Figura 4.14: Estruturas controle da coluna de destila¸c˜ao bin´aria ideal.

O controle PID discreto com amostragem das medidas do processo em intervalos de 15 segundos ´e implementado para o controle das fra¸c˜oes molares do produto de topo e do produto de fundo. Os n´ıveis de l´ıquido do tambor de refluxo e do refervedor s˜ao

considerados constantes. Normalmente, controladores proporcionais conseguem manter os n´ıveis de modo satisfat´orio.

Simulando a opera¸c˜ao da coluna para os problemas do tipo servo (xsp_B = 0, 010 e xsp_D = 0, 99) e regulador (xf = 0, 50) com os parˆametros apresentados na Tabela (4.2),

obt´em-se o resultado mostrado pela Figura (4.15). As condi¸c˜oes iniciais para a simula¸c˜ao da coluna s˜ao encontradas em Perry et al. (1997).

Tabela 4.2: Parˆametros utilizados pelo o controlador PID servo e regulador da coluna de destila¸c˜ao bin´aria. Parˆametros RV DB RB DV Problema Servo Controlador de xB kc (lbmol/min) −1350 1500 850 −5000 τi (-) 4 70 20 3, 5 τd (-) 0 0, 5 0 0 Controlador de xD kc 800 −3500 800 −1800 τi 4 50 10 200 τd 1 0 0 0 Problema Regulador Controlador de xB kc −1350 600 850 −2000 τi 4 15 20 40 τd 0 0 0 0, 6 Controlador de xD kc 800 −550 800 −800 τi 4 30 10 30 τd 1 5 0 1, 20