o potencial peri´odico do cristal.
Como estamos supondo que a influˆencia de um ´atomo em rela¸c˜ao a outro ´e praticamente nula, ou seja, a aproxima¸c˜ao do orbital molecular (tight-binding), podemos ent˜ao aproximar a fun¸c˜ao de onda do el´etron no cristal inteiro como:
ψnk(r) =
X
R
ei k.Rψn(r-R) (1.28)
onde a soma ´e feita sobre todos os pontos da rede cristalina e k estende-se por todos os N valores permitidos na primeira zona de Brillouin, de acordo com as condi¸c˜oes peri´odicas de contorno de Born-von Karman. Neste ponto assumimos que cada base primitiva cont´em apenas um ´atomo. Al´em disso, a equa¸c˜ao anterior possui a forma de Bloch, o que n˜ao ´e uma tarefa dif´ıcil de ser mostrada.
Quando um el´etron transita por uma rede cristalina peri´odica, sua fun¸c˜ao de onda se estende por toda a cadeia fazendo com que o el´etron possa se deslocar sem que o material possa oferecer qualquer resistˆencia e assim chamamos essa fun¸c˜ao de onda estendida de fun¸c˜ao de Bloch.
1.6
O modelo de Anderson
A maior parte dos modelos referentes a s´olidos leva em conta que os mesmos possuem uma estrutura ordenada dos ´atomos e que possuem uma estrutura peri´odica perfeita. Por´em, todos os materiais, estejam eles na natureza ou sejam fabricados em laborat´orio, possuem algum tipo de desordem, seja ela pela presen¸ca de ´atomos diferentes dos ´atomos da rede principal, ou at´e mesmo uma distor¸c˜ao.
O problema da localiza¸c˜ao dos estados quˆanticos tem atra´ıdo muita aten¸c˜ao nas ´ultimas d´ecadas na tentativa de explicar as propriedades de transporte em um s´olido amorfo. O modelo b´asico para o estudo dessas propriedades ´e o modelo sobre as propriedades de transporte em certas cadeias desordenadas proposto por
1.6 O modelo de Anderson 20
Anderson. A partir deste modelo, foi poss´ıvel iniciar um estudo mais profundo sobre os estados eletrˆonicos de s´olidos amorfos, ou seja s´olidos que n˜ao possuem a periodicidade na rede, como no caso dos modelos de Drude, Somerfeld e Bloch discutidos em se¸c˜oes anteriores.
O Hamiltoniano no modelo de Anderson possui um termo cin´etico, intro- duzido pelo termo de hopping entre os s´ıtios vizinhos da rede, na presen¸ca de um potecial aleat´orio. O Hamiltoniano tight-binding ´e escrito como:
H =X i ǫi|iihi| + X i tij|iihj| (1.29)
onde ǫi representa o potencial aleat´orio, tij o termo de hopping respons´avel pela
parte cin´etica e representa a intera¸c˜ao entre os s´ıtios i e j e |ii ´e o orbital atˆomico centrado no s´ıtio i. As energias ǫi possuem valores aleat´orios num intervalo de
largura W e o termo de hopping tij diminui rapidamente com a distˆancia entre os
s´ıtios |i − j|. A largura W ´e chamada de for¸ca ou intensidade da desordem e este termo controla a transi¸c˜ao metal-isolante. Anderson mostrou que dependendo da intensidade de desordem no sistema, pode haver ou n˜ao transporte eletrˆonico. Essa transi¸c˜ao ´e controlada por um valor de W chamado de valor cr´ıtico e indicado por Wc. Para um modelo tridimensional, se W > Wc n˜ao h´a transmiss˜ao, caso contr´ario
transmiss˜ao ´e poss´ıvel dependendo da posi¸c˜ao da energia de Fermi.
Os auto-estados e as auto-energias do Hamiltoniano 1.29 s˜ao calculados atrav´es da equa¸c˜ao de auto-valores dada por:
H|ψi = E|ψi (1.30)
´
1.6 O modelo de Anderson 21
combina¸c˜oes lineares dos orbitais atˆomicos |ii dada por:
|ψi =X
i
ci|ii (1.31)
onde os auto-estados |ii formam uma base ortogonal para o espa¸co das solu¸c˜oes do Hamiltoniano dado por 1.29 e |ci|2 representa a amplitude de probabilidade de
encontrar o el´etron no s´ıtio i.
Introduzindo a equa¸c˜ao 1.31 e o Hamiltoniano 1.29 na equa¸c˜ao de auto- valores 1.30, temos que a equa¸c˜ao de Schr¨odinger fornece as rela¸c˜oes ente as ampli- tudes de probabilidades dadas por:
Eci = ǫici+
X
j
tijcj (1.32)
Simplificando a equa¸c˜ao anterior, podemos considerar que o termo de hopping seja constante e os termos n˜ao-nulos s˜ao apenas entre os primeiros vizinhos. Desta forma podemos escrever:
Eci = ǫici+ t
X
{j}
cj+i (1.33)
onde a soma em j ´e feita sobre os primeiros vizinhos e t tem unidade de energia. Os casos cristalinos estudados enteriormente no modelo de Bloch podem ser obtidos da ´ultima equa¸c˜ao fazendo algumas simplifica¸c˜oes. Para o caso do modelo de Bloch em uma rede unidimensional cristalina, podemos considerar que W = 0, ou seja, n˜ao h´a desordem. Assim, todas as energias ǫi s˜ao constantes e iguais a ǫ0,
ou seja:
ǫi = ǫo, i = 1, 2, 3, ... (1.34)
1.6 O modelo de Anderson 22
de zero apenas para os primeiros vizinhos, temos que
Eci = ǫici+ t
X
j=i−1,i+1
cj (1.35)
Substituindo 1.34 em 1.35, temos que:
(E − ǫ0)ci = t(ci−1+ ci+1) (1.36)
As solu¸c˜oes tipo ondas de Bloch podem ser usadas como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao anterior. Desta forma, tomando cn= c0eikn e substituindo em 1.36, temos que:
E = ǫ0+ 2tcos(k) (1.37)
que ´e a rela¸c˜ao de dispers˜ao obtida para o modelo de Bloch unidimensional com potencial constante em cada s´ıtio da rede e dado por ǫ0. A banda de energias
permitidadas neste caso ´e dada por:
ǫ0− 2t < E < ǫ0+ 2t (1.38)
Anderson estudou o caso mais geral em seu modelo, tomando W e t diferentes de zero, o que torna o problema muito mais complicado. Ele resolveu esse problema utilizando t´ecnicas matem´aticas sofisticadas como teoria de perturba¸c˜ao, tendo como termos perturbativos W e t, operadores de Green, t´ecnicas da fun¸c˜ao de Green e t´ecnicas de perturba¸c˜ao diagram´atica. Ele mostrou que se um s´olido possui uma estrutura ordenada, ent˜ao todos os estados eletrˆonicos deste s´olidos s˜ao estendidos por toda a cadeia como uma onda de Bloch. Havendo algum tipo de desordem, seja ela estrutural, posicional ou de qualquer outra natureza, pode haver ou n˜ao transmiss˜ao da fun¸c˜ao de onda, dependendo da quantidade de desordem existente no s´olido. A localiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda da part´ıcula ocorre devido `as interferˆencias