MODELO BIDIMENSIONAL COM TRUNCAMENTOS ESPECÍFICOS

O modelo definido em (20), existente na literatura, aqui é modificado com a inclusão de truncamentos específicos para os termos unidimensionais e bidimensionais. A equação do modelo 2D proposto é:

ݕ෤ሺ݊ሻ ൌ ෍ ෍ ෍ ෍ ݄෨_{௣భǡ௣మǡ௠భǡ௠మ}ȁݔ෤ሺ݊ െ ݉_ଵሻȁ௣భ ெଶ ௠మୀ଴ ୧୤௠మஷ௠భ ெଶ ௠_భୀ଴ ௉ଶିଵ ௣మୀ଴ ୧୤௣మା௣భழ௉ଶ ௉ଶିଵ ௣భୀଵ  ȁݔ෤ሺ݊ െ ݉_ଶሻȁ௣మ_{ݔ෤ሺ݊ െ ݉} ଶሻ ൅ ෍ ෍ ݄෨_௣భ௠భȁݔ෤ሺ݊ െ ݉_ଵሻȁ௣భ ெଵ ௠భୀ଴ ݔ෤ሺ݊ െ ݉_ଵ ௉ଵିଵ ௣భୀ଴ ሻǡ

onde ܲͳ e ܲʹ indicam as ordens de truncamento polinomial para as contribuições 1D e 2D, respectivamente, e ܯͳ e ܯʹ indicam as durações de memória para as contribuições 1D e 2D, respectivamente. Em (24) os fatores de truncamento ܲͳ e ܯͳ determinam o número de termos da somatória que fornece apenas termos unidimensionais. Os fatores de truncamento ܲʹ e ܯʹ determinam o número de termos da somatória que fornece apenas os termos bidimensionais. Para garantir isso é imposta a condição ݉_ଶ ് ݉ଵ. A restrição ݌_ଶ൅ ݌_ଵ ൏ ܲʹ garante que as contribuições geradas por (24) envolverão, no máximo, o produto de ܲʹ informações de envoltória de valor complexo.

(24)

Truncamentos Nº de Coeficientes

P M Total 1D 2D 3D

Se em (24) os truncamentos dos termos 1D e 2D assumirem valores iguais, ou seja, ܲͳ = ܲʹ = ܲ e ܯͳ = ܯʹ = ܯ, então se obtém (20). Isso indica que o modelo descrito por (20) é um caso particular do modelo proposto por (24).Visto de outra forma, o modelo proposto em (24) estende o modelo dado por (20) ao permitir valores diferentes de truncamentos para termos 1D e 2D.

Em princípio, as escolhas dos truncamentos 1D são independentes das escolhas dos truncamentos 2D. Entretanto, a maior vantagem de (24) em relação à (20) está na possibilidade de incluir uma maior proporção de termos 1D em relação a termos 2D. Para explorar essa vantagem, deve-se adotar truncamentos para contribuições 1D maiores, ou pelo menos iguais, aos respectivos 2D, ou seja, ܲ1൒ ܲ2 e ܯ1 ൒ ܯ2.

Esta modificação permitirá um número maior de modelos comparados com os modelos comportamentais existentes na literatura.

Espera-se que os novos modelos tenham potencial para melhorar o compromisso entre exatidão e quantidade de coeficientes.

A TABELA 3 mostra a quantidade total de coeficientes e dos termos 1D e 2D obtidos por (24), para diferentes valores de truncamentos de ordem polinomial e de duração de memória.

TABELA 3- NÚMERO DE COEFICIENTES GERADOS EM (24).

FONTE: O AUTOR (2018)

Na TABELA 3 observa-se que, em relação ao total de coeficientes gerados pelo modelo comportamental com truncamentos específicos, na condição em que os truncamentos de ordem polinomial e de duração de memória são, respectivamente, iguais a ܲͳ ൌ ܲʹ ൌ ͵ eܯͳ ൌ ܯʹ ൌ ͷ, tem-se 16,67% de termos 1D e 83,33% de termos 2D. Essa condição confirma, através da quantidade total de coeficientes obtidos, e também dos termos 1D e 2D, que (20) é um caso particular de (24), conforme citado anteriormente. Na

Truncamentos Nº de Coeficientes

P1 M1 P2 M2 Total 1D 2D

3 5 3 5 108 18 90

3 5 2 4 38 18 20

segunda situação, onde os valores dos truncamentos são ܲͳ ൌ ͵, ܯͳ ൌ ͷ , ܲʹ ൌ ʹ e ܯʹ ൌ Ͷ , tem-se 47,37% de termos 1D e 52,63% de termos 2D.

Comparando a TABELA 3 com a TABELA 1, e tomando como exemplo ܲͳ ൌ ͵,ܯͳ ൌ ͷ, ܲʹ ൌ ʹ e ܯʹ ൌ Ͷ, conclui-se que a proporção de termos 1D aumentou em relação aos termos 2D. A TABELA 4 resume estas duas situações.

TABELA 4 - COMPARAÇÃO ENTRE COEFICIENTES GERADOS EM (20) E (24).

FONTE: O AUTOR (2018)

A TABELA 4 resume as comparações anteriores da seguinte forma. A quantidade de termos 1D, relativos à quantidade total de termos gerados pelo modelo comportamental descrito por (24), aumentou em 30,7% com a estratégia de truncamentos específicos para diferentes dimensões. A quantidade de termos 2D, relativos à quantidade total de termos gerados pelo modelo, reduz em 30,7%. Ou seja, o ganho na quantidade de termos 1D, em módulo, é igual a redução na quantidade de termos 2D.

3.3 MODELO TRIDIMENSIONAL COM TRUNCAMENTOS ESPECÍFICOS Ao modelo definido em (23), aqui é aplicada a mesma estratégia do modelo definido em (24). Ou seja, o modelo contém os termos 1D e 2D e inclui os termos 3D, agora com truncamentos de ordem polinomial e de memória específicos para cada dimensão.

Nesse modelo, a inclusão dos termos 3D aumenta a capacidade de modelagem, pois permite a inclusão de termos adicionais 3D, que podem ter uma contribuição significativa na melhoria da exatidão da modelagem, em uma quantidade que pode ser controlada de forma independente das contribuições já presentes nos modelos anteriores, 1D e 2D.

A equação que define este modelo é:

Termos 1D Termos 2D

Modelo Modelo

em (20) em (24) em (20) em (24)

16,67 % 47,37 % 83,33 % 52,63 %

ݕ෤ሺ݊ሻ ൌ ෍ ෍ ෍ ෍ ෍ ෍ ݄෨_{௣భǡ௣మǡ௣యǡ௠భǡ௠మǡ௠య}ȁݔ෤ሺ݊ െ ݉_ଵሻȁ௣భ_ ெଷ ௠యୀ଴ ୧୤௠యஷ௠మ ୧୤௠మஷ௠భ ୧୤௠యஷ௠భ ெଷ ௠మୀ଴ ெଷ ௠_భୀ଴ ௉ଷିଵ ௣యୀ଴ ୧୤௣యା௣మା௣భழ௉ଷ ௉ଷିଵ ௣మୀ଴ ௉ଷିଵ ௣భୀଵ  ȁݔ෤ሺ݊ െ ݉ଶሻȁ௣మȁݔ෤ሺ݊ െ ݉ଷሻȁ௣యݔ෤ሺ݊ െ ݉ଷሻ+ ൅ ෍ ෍ ෍ ෍ ݄෨_{௣భǡ௣మǡ௠భǡ௠మ}ȁݔ෤ሺ݊ െ ݉_ଵሻȁ௣భ ெଶ ௠మୀ଴ ୧୤௠మஷ௠భ ெଶ ௠_భୀ଴ ௉ଶିଵ ௣మୀ଴ ୧୤௣మା௣భழ௉ଶ ௉ଶିଵ ௣భୀଵ  ȁݔ෤ሺ݊ െ ݉_ଶሻȁ௣మ_{ݔ෤ሺ݊ െ ݉} ଶሻ ൅ ൅ ෍ ෍ ݄෨_௣భ௠భȁݔ෤ሺ݊ െ ݉_ଵሻȁ௣భ ெଵ ௠భୀ଴ ݔ෤ሺ݊ െ ݉_ଵ ௉ଵିଵ ௣భୀ଴ ሻǡ

onde ܲͳ , ܲʹ e ܲ͵ indicam as ordens de truncamento polinomial para as contribuições 1D, 2D e 3D, respectivamente, e ܯͳ , ܯʹ e ܯ͵ indicam as durações de memória para as contribuições 1D, 2D e 3D, respectivamente. Em (25) os fatores de truncamento ܲͳ e ܯͳ determinam o número de termos da somatória que fornece apenas termos unidimensionais. Os fatores de truncamento ܲʹ e ܯʹ determinam o número de termos da somatória que fornece apenas os termos bidimensionais. Para garantir isso é imposta a condição ݉ଶ ് ݉ଵ. Os fatores de truncamento ܲ͵ e ܯ͵ determinam o número de termos da somatória que fornece apenas os termos tridimensionais. Para garantir isso é imposta a condição ݉_ଷ ് ݉ଶǡ ݉ଶ ് ݉ଵ‡݉ଷ ് ݉ଵ.

Se em (25) os truncamentos dos termos 1D, 2D e 3D assumirem valores idênticos, ou seja, ܲͳ = ܲʹ = ܲ͵ = ܲ e ܯͳ = ܯʹ = ܯ͵ = ܯ , então se obtém (23). Isso indica que o modelo descrito por (23) é um caso particular do modelo proposto por (25). Em outras palavras, o modelo proposto em (25) estende o modelo dado por (23) ao permitir valores diferentes de truncamentos para termos 1D, 2D e 3D.

Em princípio, as escolhas dos truncamentos 1D são independentes das escolhas dos truncamentos 2D e 3D. Entretanto, a maior vantagem de (25) em relação à (23) está na possibilidade de incluir uma maior proporção de termos 1D em relação a 2D, e termos 2D em relação a 3D. Para explorar essa

vantagem, deve-se adotar truncamentos para contribuições 1D maiores, ou pelo menos iguais aos respectivos 2D, ou seja, ܲ1൒ ܲ2 e ܯͳ ൒ ܯʹ, assim como deve-se adotar truncamentos para contribuições 2D maiores, ou pelo menos iguais aos respectivos 3D, ou seja, ܲ2൒ ܲ3 e ܯʹ ൒ ܯ͵.

A TABELA 5 mostra a comparação entre a quantidade total de coeficientes e dos termos 1D, 2D e 3D obtidos por (25).

TABELA 5 - NÚMERO DE COEFICIENTES GERADOS EM (25).

FONTE: O AUTOR (2018)

Na TABELA 5 observa-se que, em relação ao total de coeficientes gerados pelo modelo comportamental com truncamentos específicos, na condição em que os truncamentos de ordem polinomial e de duração de memória são, respectivamente, iguais a ܲͳ ൌ ܲʹ ൌ ܲ͵ ൌ ͵, eܯͳ ൌ ܯʹ ൌ ܯ͵ ൌ ͷ, tem-se 10,71% de termos 1D, 53,57% de termos 2D e 35,71% de termos 3D. Essa condição confirma, através da quantidade total de coeficientes obtidos, e também dos termos 1D , 2D e 3D, que (23) é um caso particular de (25), conforme citado anteriormente. Na terceira situação, onde os valores dos truncamentos são ܲͳ ൌ ͵,ܯͳ ൌ ͷ, ܲʹ ൌ ͵, ܯʹ ൌ ͷ e ܲ͵ ൌ ͵, ܯ͵ ൌ ͵ , tem-se 15% de termos 1D, 75% de termos 2D e 10% de termos 3D.

Comparando a TABELA 5 com a TABELA 2, e tomando como exemplo ܲͳ ൌ ͵,ܯͳ ൌ ͷ, ܲʹ ൌ ͵, ܯʹ ൌ ͷ e ܲ͵ ൌ ͵, ܯ͵ ൌ ͵, conclui-se que a proporção de termos 1D aumentou em relação aos termos 2D, assim como a proporção de termos 2D aumentou em relação aos termos 3D. A TABELA 6 resume estas duas situações. TRUNCAMENTOS Nº de Coeficientes P1 M1 P2 M2 P3 M3 Total 1D 2D 3D 3 5 3 5 3 5 168 18 90 60 3 5 3 5 3 4 138 18 90 30 3 5 3 5 3 3 120 18 90 12

TABELA 6 - COMPARAÇÃO ENTRE COEFICIENTES GERADOS EM (23) E (25).

FONTE: O AUTOR (2018)

A TABELA 6 resume as comparações anteriores da seguinte forma. A quantidade de termos 1D, relativos à quantidade total de termos gerados pelo modelo comportamental descrito por (25), aumentou em 4,29% com a estratégia de truncamentos específicos para diferentes dimensões, enquanto a quantidade de termos 2D, também relativos à quantidade total de termos gerados pelo modelo, aumentou em 21,43% com a estratégia de truncamentos específicos para diferentes dimensões. A quantidade de termos 3D reduz em 25,71%. Ou seja, o ganho na quantidade de termos 1D, em módulo, somado ao ganho na quantidade de termos 2D, é igual a redução na quantidade de termos 3D.

Termos 1D Termos 2D Termos 3D

Modelo Modelo Modelo

em (23) em (25) em (23) em (25) em (23) em (25)

10,71 % 15 % 53,57 % 75 % 35,71 % 10 %

4 VALIDAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS