Modelo Binomial para Precificação de Opções

Outro método bastante utilizado para avaliação de ativos complexos é o Método Binomial ou Modelo Binomial. Este modelo é considerado o mais intuitivo de todos os métodos numéricos, além de ser muito simples e flexível, sendo aplicado tanto para opções europeias como para americanas, que pagam ou não dividendos, e também para as opções exóticas9.

O modelo é também conhecido como modelo de 2 Estados, dado que o preço do ativo-objeto em cada instante só pode assumir dois valores no instante seguinte. Esta situação não é realista, dado que o número de cenários possíveis para o preço do ativo é ilimitado. Porém, se for considerado um período de tempo extremamente curto (próximo milésimo de segundo, por exemplo), ela pode se tornar próxima da realidade.

A cada intervalo de tempo, o preço do ativo objeto é multiplicado por uma variável aleatória que pode assumir dois valores, ou . Esta variável aleatória é a taxa de variação do preço do ativo objeto, que pode ser ascendente, , ou descendente, , refletindo as condições favorável e desfavorável do mercado. A cada intervalo, o preço

9 _{Opções que oferecem um perfil de pagamento diferente das usuais opções de compra ou venda são}

chamadas opções exóticas. Existem vários tipos de opções exóticas, cada uma com o seu perfil específico de pagamento, desde as mais simples (binárias) até as que são constituídas por um payoff complexo e estruturado.

do ativo objeto partirá de seu valor inicial, , para um dos dois novos valores, ou d (Figura 4-1- Evolução do preço do ativo em um períodoFigura 4-1). Como, em geral, , a mudança de para corresponde a um movimento ascendente, com probabilidade de ocorrência , e a mudança de para corresponde a um movimento descendente, com probabilidade .

Figura 4-1- Evolução do preço do ativo em um período

Fonte: Elaboração própria.

O modelo assume que adquirir uma opção de compra é equivalente a comprar o ativo tomando dinheiro emprestado (compra alavancada) – call sintética. Assume-se ainda que o número de ativos comprados com o empréstimo é chamado de delta da opção ( ), ou seja, o número de ativos que replica o comportamento da call.

Para achar o portfólio replicante da call (call sintética), é preciso estabelecer o da opção (número de ativos a serem comprados) e quanto de dinheiro tomar emprestado para tal ( ). Suponha que o ativo comprado pague dividendos a uma taxa contínua (payoff contínuo, ), que serão reinvestidos na compra de mais ativos. Após um tempo , o investidor na ação terá:

(1)

Portanto, os movimentos no preço do ativo refletirão os movimentos no preço ex-dividendos. Se o ativo subir no próximo período, assumirá o valor:

(2) ⁄ (3)

(4) ⁄ (5)

Todas as vezes que o ativo subir, a call valerá e quando cair, valerá . A extensão do período de análise será (em anos) e a taxa de juros do período será _,

onde é a taxa efetiva de juros anual. A opção vale no vencimento o mesmo que o portfólio formado pelos ativos e o valor tomado emprestado ( ), assim:

₍₆₎

Se o ativo subir, a opção valerá:

₍₇₎

Já se o ativo cair, a opção valerá:

₍₈₎

Fazendo (7) menos (8) e colocando em evidência, obtém-se:

_[

] (9)

Substituindo (9) em (7) ou (8), tem-se:

_[

] (10)

Conhecidos e , é fácil achar o valor da call, :

(11)

_{[ (}

) (

)] (12)

Observe que os multiplicadores de e se assemelham a probabilidades. Ou seja, o valor da opção de compra hoje ( ) é uma espécie de média do valor da opção caso a opção suba ( ) e caso a opção caia ( ), ponderados pelas probabilidades da opção subir ou cair. Assim,

_{[ ] (13)}

(14)

(15)

De forma similar, em 1979, Cox, Ross e Rubinstein (CRR) mostraram que a distribuição de probabilidade log-normal contínua pode ser modelada através de uma árvore binomial discreta. Em síntese, assume-se que o valor do projeto ( ) segue um Movimento Geométrico Browniano (MGB10) e que, a cada período , tem-se o valor , com probabilidade , ou , com probabilidade ( ), onde é a volatilidade do projeto, √ _{, ⁄ e}

, então (Figura 4-2):

Observe que as fórmulas desenvolvidas no modelo binomial partem do pressuposto de que não há possibilidades de arbitragem, ou seja, que o derivativo caminha na árvore binomial ao longo de sua existência. Assim, de acordo com Brandão (2002), os preços dos ativos devem ser consistentes de forma que seja impossível auferir lucro sem correr risco. Conseguinte, sempre haverá uma distribuição neutra a risco onde o retorno esperado de qualquer ativo é descontado à taxa livre de risco.

10 _{O MGB possui dois componentes: um crescimento proporcional com taxa (taxa de retorno esperada)}

e um crescimento aleatório proporcional com distribuição normal e desvio padrão (volatilidade do valor do ativo). Sua fórmula é dada pela equação ou . O MGB possui três características fundamentais para modelagem: permite crescimento exponencial; retornos são normalmente distribuídos e o valor de não pode se tornar negativo. A restrição que existe ao uso do MGB é que este processo pode divergir, levando para o infinito e, assim, alguns modelos que seguem este processo estocástico podem não ser muito realistas.

Figura 4-2 – Modelo Binomial CRR

Fonte: Elaboração Própria.

Note ainda que, ao assumir , o modelo CRR garante que a árvore binomial torna-se recombinante. Uma árvore binomial é recombinante quando, em qualquer dois intervalos de tempo consecutivos, um movimento de subida seguido por um movimento de descida é exatamente o mesmo que um movimento de descida seguido por um movimento de subida. Esta propriedade diminui drasticamente o número de nós em cada período. Em suma, uma árvore recombinante possui nós no simo período (o número de nós em cada intervalo de tempo cresce linearmente) e uma árvore não recombinante possui nós no simo período (o número de nós em cada intervalo de tempo cresce exponencialmente).