Modelo com Ru´ıdos Aditivos e Multiplicativos e Saltos Markovianos

Nessa se¸c˜ao, vamos unir a modelagem apresentada nas se¸c˜oes anteriores, para que tenhamos um modelo consistente com o modelo que estudamos ao longo desse trabalho. A fim de simplificar um pouco a modelagem, vamos introduzir a cadeia de Markov θ(k) somente em duas vari´aveis: na volatilidade do ativo e em sua velocidade de revers˜ao `a m´edia.

Introduzindo a cadeia de Markov nessas vari´aveis, podemos escrever, a partir da equa¸c˜ao 8.3:

8. Exemplos Num´ericos 85 Analogamente ao que fizemos na se¸c˜ao 8.2.4, a equa¸c˜ao 8.4 fica:

p_{(k) = α(θ(k)) + β(θ(k))k + γ(θ(k))p(k − 1) + σ(θ(k))dz(k),} (8.6)

Com isso, podemos reescrever o sistema 8.2, que se torna:

p_{(k) = α(θ(k)) + β(θ(k))k + γ(θ(k))p(k − 1) + σ(θ(k))dz(k),}

y(k) = p(k) + rτ + qǫ(k). (8.7)

Cabe notar que esses sistema sofre a influˆencia de saltos Markovianos e que, al´em disso, a vari´avel de estado apresentada ru´ıdos tanto aditivos como multiplicativos.

8.2.6

Compara¸c˜ao entre modelos

Essa se¸c˜ao ser´a dedicada `a apresenta¸c˜ao dos resultados da aplica¸c˜ao dos modelos estudados aos dados reais de um ativo do mercado financeiro. Interessa, aqui, comparar o poder preditivo de cada um dos modelos estudados.

8.2.6.1 Base de Dados

Para ilustrar as aplica¸c˜oes do modelo, foi estudada a s´erie de pre¸cos futuros do N´ıquel. Esse metal foi escolhido em fun¸c˜ao de apresentar comportamento semelhante ao que propusemos em nossa modelagem: o pre¸co futuro ´e facilmente observ´avel, enquanto que o pre¸co `a vista, por sofrer forte influˆencia da liquidez do mercado e da localidade de entrega do metal f´ısico, ´e mais dif´ıcil de ser estimado. Os dados, que se estendem de 04/01/2000 a 26/04/2011, foram coletados junto `a London Metal Exchange (LME). A Figura 8.2 apresenta os pre¸cos futuros, em D´olares Norte-Americanos, do N´ıquel. Conv´em notar que esse metal apresenta um comportamento bastante vol´atil, e que

30000 40000 50000 60000 0 10000 20000

jan-00 jan-01 jan-02 jan-03 jan-04 jan-05 jan-06 jan-07 jan-08 jan-09 jan-10 jan-11

Figura 8.2: Pre¸co Futuro do N´ıquel

alguns eventos podem ser facilmente notados:

• At´e in´ıcio de 2006, em fun¸c˜ao da fraca demanda, os pre¸cos do metal eram bastante est´aveis ao redor de USD 10 mil por tonelada;

• A partir de 2006, com a forte demanda da China, o pre¸co do metal disparou, atingindo valores pr´oximos a USD 60 mil por tonelada;

• Ap´os uma queda r´apida, no in´ıcio de 2007, o pre¸co permaneceu est´avel por cerca de um ano, at´e o in´ıcio da grande crise de 2008;

• Ap´os a crise, o pre¸co do metal voltou aos patamares de 2006. Entretanto, a partir de 2009, o pre¸co entrou em nova trajet´oria de alta.

Esse comportamento permite identificar diferentes per´ıodos no gr´afico, que se iniciam ou findam a partir de uma brusca mudan¸ca de pre¸cos. Com isso, entendemos que a s´erie ´e adequada para um modelo sujeito a saltos Markovianos, como o nosso caso.

8. Exemplos Num´ericos 87 8.2.6.2 Modelagem

Os pre¸cos apresentados na se¸c˜ao anterior correspondem aos pre¸cos futuros do me- tal, que s˜ao negociados na Bolsa de Londres, no Reino Unido. O objetivo, agora, ´e determinar o pre¸co `a vista, ou spot, do metal a partir do pre¸co futuro observado. Para tanto, vamo-nos basear na id´eia original apresentada pelo artigo [35], que depois foi largamente utilizada em outros estudos, como, por exemplo, em [46] e em v´arios dos artigos citados em sua lista de referˆencias.

Vamos comparar duas alternativas para a obten¸c˜ao do pre¸co `a vista do metal:

1. Utiliza¸c˜ao do Filtro de Kalman tradicional. Nesse caso, o sistema que determinar´a o pre¸co `a vista do metal ser´a o sistema 8.1;

2. Utiliza¸c˜ao do modelo que considera ru´ıdos aditivos e multiplicativos sobre as vari´aveis do sistema, e tamb´em a influˆencia de saltos markovianos em seu com- portamento. Nesse caso, utilizaremos o sistema 8.7 para determinar o pre¸co `a vista do metal.

Para o primeiro caso, o sistema 8.1, aplicado ao N´ıquel, fica:

p(k + 1) = p(k) +µ₋ 1 2σ

2_{∆t + σ}√_∆tdz(k),

y(k) = p(k) + r(k)τ + qǫ(k), (8.8)

onde:

p(k): pre¸co `a vista do N´ıquel no instante k;

y(k): pre¸co futuro do N´ıquel no instante k, pass´ıvel de observa¸c˜ao;

r: taxa de juros entre a data de observa¸c˜ao e a data de vencimento do contrato nego- ciado por y(k);

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 1 2 3 4 5 6x 10 4

Figura 8.3: Estimativa, pelo Filtro de Kalman, do pre¸co `a vista do N´ıquel

µ = m´edia hist´orica para do valor observado; σ = volatilidade hist´orica do valor observado.

A utiliza¸c˜ao desse modelo nos fornece a estimativa para o pre¸co `a vista do N´ıquel que pode ser observada no gr´afico 8.3.

A segunda metodologia considera o sistema 8.7. Evitando concatena¸c˜oes de vari´aveis e adaptando ao nosso caso, vamos utilizar:

p(k + 1) = α + (γθ(k)+ w)p(k) + βθ(k)(k + 1) + σdz(k),

y(k) = p(k) + r(k)τ + qǫ(k). (8.9)

Al´em das vari´aveis j´a declaradas acima, o modelo utilizar´a os parˆametros descri- tos pela Tabela 8.2. ´E importante que essa tabela seja interpretada no contexto que

8. Exemplos Num´ericos 89 p11 p22 ¯a1 ¯a2 ea1 ea2 c1 c2 ¯h1 ¯h2 eh1 eh2 g1 g2 ρ

0.8 0.6 1.05 0.95 0.2 0.4 0.58 1.15 1.0 1.0 0 0 1.0 2.0 0.0 Tabela 8.2: Parˆametros para simula¸c˜ao do modelo com ru´ıdos e saltos

desejamos produzir para a estima¸c˜ao do metal. Dessa forma, ´e preciso considerar que:

• A diferen¸ca entre os regimes estudados ´e, basicamente, devida `a volatilidade em cada regime. O mercado mais vol´atil tem maior impacto na previsibilidade dos pre¸cos dos ativos, o que deve ser refletido em nosso modelo;

• No primeiro regime, tanto a volatilidade do pre¸co `a vista como a volatilidade do pre¸co futuro s˜ao menores do que as respectivas volatilidades no segundo regime; • A matriz ¯A = [¯a1 ¯a2]′ representa a revers˜ao `a m´edia do modelo em cada regime

estudado. Nesse sentido, quando o modelo se encontra no primeiro regime, o peso da revers˜ao `a m´edia ´e maior. No segundo caso (maior imprevisibilidade), a revers˜ao `a m´edia ´e menos significativa;

• A matriz eA_{= [ea}1 ea2]′ representa o peso, em cada regime, do ru´ıdo multiplicativo

na estima¸c˜ao do pre¸co `a vista. Claramente, essa influˆencia ´e maior no segundo regime;

• Os valores p11 e p22 definem a matriz de transi¸c˜ao.

Feitas essas observa¸c˜oes, o gr´afico 8.4 apresenta a estimativa obtida a partir dessa modelagem.

8.2.6.3 Comparativos

A partir dos dados obtidos no item anterior, vamos tra¸car um comparativo entre as metodologias estudadas. Para tanto, vamos considerar, inicialmente, o pre¸co `a vista

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 1 2 3 4 5 6x 10 4

Figura 8.4: Estimativa, pelo ELMQ, do pre¸co `a vista do N´ıquel

(ou spot) do N´ıquel. Esse pre¸co est´a dispon´ıvel apenas em base mensal, e foi obtido junto ao provedor IndexMundi (www.indexmundi.com), a partir de dados coletados nos portos europeus. A Figura 8.5 apresenta esses dados.

Cabe ressaltar, aqui, que esse pre¸co sofre diversas influˆencias, al´em daquelas ma- peadas pelos modelos que consideramos. Sobretudo, h´a que se considerar que o pre¸co futuro da commodity ´e um ativo puramente financeiro, enquanto que o pre¸co `a vista ´e o valor de um bem f´ısico, que necessita de estocagem, transporte, carregamento etc.

A Figura 8.5 apresenta os dados obtidos, no mesmo per´ıodo em que os pre¸cos futuros de N´ıquel foram analisados. Esses dados ser˜ao ´uteis para compararmos os valores previstos pelo modelo com os valores efetivamente observados no mercado.

8. Exemplos Num´ericos 91 30.000,00 40.000,00 50.000,00 60.000,00 - 10.000,00 20.000,00

jan-00 jan-01 jan-02 jan-03 jan-04 jan-05 jan-06 jan-07 jan-08 jan-09 jan-10 jan-11

Figura 8.5: Pre¸co mensal spot do N´ıquel

1. Foram coletados os dados previstos por cada um dos modelos, ao final de cada mˆes de referˆencia;

2. Os dados foram comparados entre si e tamb´em com os dados reais (Figura 8.6); 3. Para medir a aderˆencia da previs˜ao aos dados reais, calculou-se o erro quadr´atico

m´edio em cada observa¸c˜ao;

4. A soma de tais EQMs pode ser interpretada como o “erro” de previs˜ao”.

O gr´afico 8.7 mostra as diferen¸cas mensais entre os valores previstos e os valores reais do N´ıquel `a vista.

A metodologia descrita acima nos mostra que o modelo proposto por esse trabalho leva ligeira vantagem em rela¸c˜ao ao tradicional, no que concerne ao seu poder predi- tivo. O EQM do modelo proposto ´e cerca de 40% mais baixo que o EQM do modelo tradicional.

30.000,00 40.000,00 50.000,00 60.000,00 - 10.000,00 20.000,00

jan-00 jan-01 jan-02 jan-03 jan-04 jan-05 jan-06 jan-07 jan-08 jan-09 jan-10 jan-11

Níquel Spot Modelo Tradicional Modelo Proposto

Figura 8.6: Comparativo entre pre¸cos mensais `a vista do N´ıquel

-4.000,00 -2.000,00 - 2.000,00 4.000,00 -10.000,00 -8.000,00 -6.000,00

jan-00 jan-01 jan-02 jan-03 jan-04 jan-05 jan-06 jan-07 jan-08 jan-09 jan-10 jan-11

Erro Modelo Tradicional Erro Modelo Proposto

8. Exemplos Num´ericos 93 8.2.6.4 O input volatilidade

´

E fato amplamente conhecido que a vari´avel mais dif´ıcil de ser estimada no mercado ´e a volatilidade. A teoria sobre op¸c˜oes exemplifica bem essa quest˜ao: a estimativa da volatilidade real do ativo ´e t˜ao complicada que, ao final, ´e comum a utiliza¸c˜ao da volatilidade impl´ıcita para o apre¸camento das op¸c˜oes.

Existem diversas formas para estimarmos a volatilidade de uma s´erie, e os modelos mais interessantes trabalham com a hip´otese de heterocedasticidade (isto ´e, a mudan¸ca de valor da volatilidade ao longo do tempo) das s´eries. Dessa forma, ´e bastante otimista supormos que dois agentes de mercado estimar˜ao a mesma volatilidade para a s´erie de um metal que queremos estimar a partir dos modelos aqui descritos, por exemplo.

Dessa forma, vamos testar o impacto dessa vari´avel na estima¸c˜ao a partir de cada modelo. Esperamos, pela melhor adaptabilidade do modelo aqui proposto, que o mesmo estime valores mais reais mesmo em situa¸c˜oes em que a volatilidade ´e muito diferente da volatilidade efetivamente observada.

Para comprovar essa quest˜ao, conduzimos o seguinte teste: trocamos o input da volatilidade por um n´umero bem maior (no caso, troca de 0.574 por 0.8), e geramos os dois modelos a partir desse novo input, mantidas as demais vari´aveis intactas. O gr´afico 8.8 apresenta os resultados observados. A estimativa a partir do modelo aqui proposto (ELMQ) aparece sempre acima da estimativa obtida a partir do Filtro de Kalman, e muito mais pr´oxima aos valores reais.

Fica evidente, a partir desse teste, que o modelo aqui proposto se adpata muito melhor a diferentes condi¸c˜oes de mercado. Mais uma vez, conclu´ımos que o novo modelo parece levar vantagem sobre os modelos mais simples.

3 4 5 6x 10 4 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 1 2

Figura 8.8: Comparativo entre os dois modelos, com perturba¸c˜ao na volatilidade

8.2.6.5 Matriz de Ganho do Filtro

Por fim, os testes mostraram que a matriz de ganho do filtro, no modelo proposto, estabiliza muito rapidamente - a exemplo do que observamos na matriz de ganho do Filtro de Kalman.

O gr´afico 8.9 apresenta os valores de cada uma das entradas da matriz no tempo. Em princ´ıpio, n˜ao vemos raz˜ao aparente que justifique esse comportamento. ´E poss´ıvel que um modelo mais complexo, que exija matrizes de dimens˜ao maior, n˜ao apresente o mesmo comportamento.

8. Exemplos Num´ericos 95 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0 0,1 0,2 0,3 1 501 1001 1501 2001 2501 Entrada 1 Entrada 2

Figura 8.9: Evolu¸c˜ao temporal das entradas da matriz de ganho do filtro