Modelo da cˆ amara

Para a aquisi¸c˜ao de imagem as cˆamaras utilizam lentes para que a luz dos objetos viaje de forma convergente para os sensores utilizados pelas mesmas permitindo, assim, focarem o plano de captura desejado. A aquisi¸c˜ao de imagem ´e feita pelo per´ıodo de tempo suficiente para que o sensor capture a luz ao qual ´e exposto. Tipicamente s˜ao per´ıodos de tempo curtos para mi-nimizar os efeitos do movimento dos objetos capturados fazendo assim com que estes pare¸cam est´aticos. De forma a processar a informa¸c˜ao capturada por estes sensores(cˆamaras) s˜ao tipicamente aplicados modelos que tornam poss´ıvel estabelecer a rela¸c˜ao entre a informa¸c˜ao capturada e o mundo en-volvente. O modelo de cˆamara mais f´acil de interpretar e analisar, e por isso o mais utilizado, ´e o modelo Pinhole. Este modelo ´e uma aproxima¸c˜ao da utiliza¸c˜ao de uma cˆamara ideal, sem lente, com uma pequena abertura, o pinhole pela qual a luz refletida nos objetos passa para uma zona escura

3.2. Modelo da cˆamara Cap´ıtulo 3

onde ser´a formada a imagem. Este modelo assemelha-se ao funcionamento do olho humano para visualiza¸c˜ao do mundo em redor tal como podemos ver pela figura 3.3, [25]. Como resultado, a imagem no plano da imagem est´a

Figura 3.3: Compara¸c˜ao entre modelopinhole e o olho humano [25].

sempre focada, ´e projetada inversamente neste plano e o tamanho da ima-gem em rela¸c˜ao ao objeto capturado ´e relacionado por um ´unico parˆametro da cˆamara, a distˆancia focal, figura 3.4 `a esquerda. Na figura3.4 do lado direito podemos observar o modelo matem´atico utilizado. O ponto P tem

Figura 3.4: `A esquerda representa¸c˜ao da proje¸c˜ao da luz no plano da ima-gem. `A direita ´e representado graficamente o modelo matem´atico utilizado para proje¸c˜ao de objetos no mundo para o referencial da cˆamara[25].

como coordenadas no mundo, P = [X, Y, Z]^T e p em coordenadas na ima-gemp= [x, y]^T. Atrav´es da distˆancia focal (f), com base na semelhan¸ca de triˆangulos ´e poss´ıvel estabelecer rela¸c˜ao entre as coordenadas na imagem,p,

Cap´ıtulo 3 3.2. Modelo da cˆamara

A aplica¸c˜ao deste modelo ´e frequentemente chamada de proje¸c˜ao perspetiva.

3.2.1 Parˆametros intr´ınsecos

Os parˆametros intr´ınsecos s˜ao os parˆametros que permitem estabelecer a rela¸c˜ao entre o mundo real e a informa¸c˜ao capturada. Para al´em da distˆancia focal abordada anteriormente, existem algumas n˜ao idealidades relacionadas com as lentes tais como a distor¸c˜ao da lente e o ponto principal da imagem, que necessitam de ser tratadas matematicamente de forma a construir o modelo matem´atico da cˆamara, para que assim a partir da informa¸c˜ao ad-quirida seja poss´ıvel obter resultados. Este modelo ser´a formulado de forma matricial.

Ponto principal

Este parˆametro trata-se das coordenadas do centro da cˆamara projetado para a imagem, c e C na figura 3.4, o como ´e assumido como sendo a origem do plano da imagem. Desta forma, tendo em conta o centro ´otico, este deve ser somado na equa¸c˜ao anterior, obtendo assim a equa¸c˜ao 3.9 :



3.2. Modelo da cˆamara Cap´ıtulo 3

Assim sendo, assumimos que a matriz que estabelecer´a a rela¸c˜ao entre o mundo envolvente e a imagem ´e a matriz, K, apresentada na equa¸c˜ao 3.10

K=

Distor¸c˜ao da lente

Para formula¸c˜ao dos conceitos apresentados at´e agora, no presente cap´ıtulo foi assumido que os pontos projetados do plano da imagem para o mundo ex-terior eram colineares. Contudo, isso n˜ao acontece na realidade devido a um fen´omeno denominado por distor¸c˜ao. Este pode revelar-se de duas formas diferentes, distor¸c˜ao radial e distor¸c˜ao tangencial. A distor¸c˜ao tangencial tem como principal causa o desalinhamento f´ısico dos v´arios elementos que constituem a lente, por´em nos dias correntes os efeitos provocados por este tipo de distor¸c˜ao em alguns casos, como as cˆamaras com distˆancia focal fixa, s˜ao de tal forma insignificantes que s˜ao por vezes desprezados. A distor¸c˜ao radial deve-se `a varia¸c˜ao do ˆangulo de refra¸c˜ao. Desta forma a refra¸c˜ao ´e nula no centro da lente e propaga-se `a medida que a proje¸c˜ao dos feixes lu-minosos incidem nos extremos da lente. Este efeito toma maiores propor¸c˜oes com a utiliza¸c˜ao de lentes com abertura angular superior. Na figura 3.5 pode ser observado o efeito deste fen´omeno. O modelo de corre¸c˜ao da distor¸c˜ao provocada pela lente, para a distor¸c˜ao radial, ´e dado pelas express˜oes 3.11 e 3.12:

xu =x(1 +k1r²+k2r⁴+k3r⁶) (3.11)

y_u =y(1 +k₁r²+k₂r⁴+k₃r⁶) (3.12)

Cap´ıtulo 3 3.2. Modelo da cˆamara

Figura 3.5: Compara¸c˜ao entre modelopinhole e o olho humano.

O meodela para a distor¸c˜ao tangencial ´e apresentado pelas equa¸c˜oes 3.13 e 3.14.

xu =x+ (2k4y+k5(r²+ 2x)) (3.13)

yu=y+ (k4(r²+ 2y) + 2k5x (3.14) Nas equa¸c˜oes referidas,xeycorrespondem `a localiza¸c˜ao do ponto em pixeis ainda com distor¸c˜ao e x<sub>u</sub> e y<sub>u</sub> corresponde `a posi¸c˜ao do respetivo ponto sem distor¸c˜ao. Os parˆametros k1, k2, k3 dizem respeito aos coeficientes da distor¸c˜ao radial, enquanto que os parˆametros k₄ e k₅ representam os coeficientes distor¸c˜ao tangencial. Nas equa¸c˜oes r representada a distˆancia ao centro ´optico.

3.2.2 Parˆametros extr´ınsecos

Geralmente os pontos no espa¸co s˜ao representados num referencial dife-rente do referencial da cˆamara, geralmente designado de referencial global ou referencial do mundo. Os parˆametros extr´ınsecos permitem estabelecer a rela¸c˜ao entre ambos os referenciais, neste caso, entre um referencial definido no mundo e o referencial da cˆamara. Desta forma, torna-se simplificada a transforma¸c˜ao das coordenadas de um objeto num referencial definido no mundo, de forma conveniente para melhor interpreta¸c˜ao dos resultados

ob-3.2. Modelo da cˆamara Cap´ıtulo 3

tidos, para o referencial 3D da cˆamara para que assim possa ser aplicada a proje¸c˜ao abordada no cap´ıtulo de parˆametros intr´ınsecos, 3.2.1. A rela¸c˜ao ´e estabelecida atrav´es da transforma¸c˜ao de corpo r´ıgido, envolve uma rota¸c˜ao e uma transla¸c˜ao em trˆes dimens˜oes. Esta pode ser definida pela equa¸c˜ao 3.7, abordada no subcap´ıtulo sobre transforma¸c˜oes de corpo r´ıgido, 3.1, em que R e T correspondem `a rota¸c˜ao do referencial do mundo para o referencial da cˆamara.

3.2.3 Proje¸c˜ao do espa¸co 3D para 2D

A proje¸c˜ao de pontos no espa¸co tridimensional para o referencial da imagem ´e baseada nos fundamentos abordados nos subcap´ıtulos anteriores, 3.2.1 e 3.2.2. A primeira fase deste processo ´e a transforma¸c˜ao de corpo r´ıgido abordada na sec¸c˜ao pela equa¸c˜ao 3.7 Nesta fase as coordenadas dos objetos est˜ao j´a transformadas para o referencial da cˆamara pelo que estamos em condi¸c˜oes para aplicar a teoria abordada na subsec¸c˜ao 3.2.1

p=KP⁰ (3.15)

Em que P⁰ corresponde `as coordenadas do objeto no referencial 3D da cˆamara,p representa o ponto P<sup>0</sup> projetado na imagem. Assim podemos as-sumir que a transforma¸c˜ao referida ´e feita `a custa da matrizP M na equa¸c˜ao 3.16:

Cap´ıtulo 3 3.3. Geometria epipolar

Esta matriz tem dimens˜ao 3×4. Desta forma, a proje¸c˜ao dos pontos no referencial do mundo ´e feita partindo da equa¸c˜ao 3.17

p=K[R|T]P =

Nesta sec¸c˜ao ser˜ao abordados os fundamentos da geometria epipolar, a matriz essencial e a matriz fundamental.

3.3.1 Matriz Essencial

Atrav´es da matriz essencial ´e poss´ıvel estabelecer as restri¸c˜oes para um sistema de vis˜aostereo. O plano epipolar ´e definido por 3 pontos, os contros

´

opticos do par stereo, O₁ e O₂, e o ponto no mundo a considerar p. A interse¸c˜ao do plano epipolar com os planos das imagens formam as linhas epipolares, l₁ e l₂. Para melhor compreens˜ao dos pode ser observada a Figura 3.6

Assim se Rota¸c˜ao e a transla¸c˜ao relativas entre as duas cˆamaras forem conhecidas, atrav´es da geometria epipolar pode s˜ao consideradas observa¸c˜oes importantes:

Se o ponto p projetado na cˆamara esquerda x₁ for conhecido, a linha epipolar formada pelos pontos e1 e e2 ´e tamb´em conhecida. desta forma a proje¸c˜ao ponto p para a imagem da direita x₂ est´a sobre a linha linha epipolarl2. Generalizando, para cada ponto de uma imagem correspondente ao mesmo ponto no mundo este pode ser observado na outra imagem sobre a linha epipolar. Atrav´es da mesma pode ser verificado se dois pontos em duas imagens capturadas por um parstereo correspondem ao mesmo ponto