Modelo de 4 compartimentos

em que M = M (x, y, t), S = S(x, y, t), I = I(x, y, t) e R = R(x, y, t) representam, respectivamente, as densidade populacionais de mosquitos, humanos suscet´ıveis, huma- nos infectantes e humanos recuperados (e imunes), nas coordenadas (x, y) do dom´ınio espacial e no instante de tempo t. Como no modelo SIR apresentado inicialmente, uma propor¸c˜ao dos encontros entre humanos e mosquitos geram infec¸c˜ao dos humanos. Ou seja, M pode ser um compartimento representando os mosquitos infectantes ou um compartimento representando toda a popula¸c˜ao de mosquitos, na qual est´a presente, ao menos em uma parcela, o v´ırus da dengue. β aqui ´e uma constante, indicando uniformidade no espa¸co e no tempo quanto ao potencial de um mosquito infectar um humano. Como j´a citado anteriormente, σI ´e a taxa de passagem do compartimento de humanos infectantes para o de recuperados e, consequentemente, 1/σ ´e o tempo para um indiv´ıduo infectante se curar da doen¸ca, passando a ser um recuperado e imune.

Com este modelo da popula¸c˜ao de humanos em m˜aos, bastar´a a modelagem da popula¸c˜ao de mosquitos para se obterem os sistemas completos da evolu¸c˜ao da dengue. Todos as abordagens a serem apresentadas a seguir utilizar˜ao estas equa¸c˜oes para os compartimentos dos humanos.

3.5

Modelagem da popula¸c˜ao de mosquitos e mo-

delagem da dengue

3.5.1

Modelo de 4 compartimentos

No modelo a ser proposto, a dinˆamica vital do mosquito ´e considerada malthusiana (a taxa de varia¸c˜ao da popula¸c˜ao ´e diretamente proporcional `a quantidade de indiv´ıduos existente), uma vez que este modelo ´e simples e bem adequado para um per´ıodo curto

de tempo e de condi¸c˜oes favor´aveis para a reprodu¸c˜ao. (Posteriormente ser´a comentado a respeito de uma abordagem para a taxa de nascimento espec´ıfica de mosquitos υ do modelo a ser apresentado, de maneira a permitir que ela seja vari´avel e o modelagem seja mais realista.) Considera-se apenas um compartimento para a popula¸c˜ao de mosquitos, M , no qual admite-se uma porcentagem de mosquitos infectantes. Tal porcentagem n˜ao varia no espa¸co nem no tempo, aceitando-se como uma m´edia. Em uma abordagem determin´ıstica, obt´em-se o sistema de equa¸c˜oes diferenciais parciais (3.6), que leva em considera¸c˜ao o conjunto de hip´oteses apresentado na se¸c˜ao 3.3.

Modelo 1 ∂M ∂t − div(αM∇M ) = υM − µM ∂S ∂t − div(αH∇S) = −βSM ∂I

∂t − div(αH∇I) = βSM − σI ∂R

∂t − div(αH∇R) = σI

(3.6)

em que υ e µ correspondem, respectivamente, `as taxas de nascimento e de mortalidade espec´ıficas de Aedes aegypti, sendo αM e αH os coeficientes de dispers˜ao do mosquito e

dos humanos.

A dinˆamica da doen¸ca pode ser representada pelo modelo compartimental presente na Figura 3.2.

M

S βSM I σI R

µM υM

Figura 3.2: Esquema compartimental representativo do modelo do sistema (3.6). As linhas cont´ınuas indicam transferˆencias entre compartimentos, nas dire¸c˜oes das setas, e a linha tracejada representa contato em potencial para resultar em infec¸c˜ao.

Nota-se que n˜ao h´a separa¸c˜ao entre mosquitos infectantes e mosquitos suscet´ıveis, indicando que uma parcela fixa da popula¸c˜ao de mosquitos se encontra infectada pelo flaviv´ırus. Tal considera¸c˜ao ´e uma simplifica¸c˜ao razo´avel ao ser adotada em regi˜oes infestadas pelo Aedes aegypti e com n´umero razo´avel de notifica¸c˜oes de dengue. Tais hip´oteses garantem uma maior uniformidade na distribui¸c˜ao dos mosquitos infectantes.

´

E um caso diferente ao de uma regi˜ao sofrendo os primeiros casos de dengue, em que h´a nitidamente uma rela¸c˜ao nas localiza¸c˜oes de mosquitos infectantes e de humanos infectantes, enquanto que locais sem a presen¸ca de v´ırus no mosquito sup˜oe-se n˜ao registrarem ocorrˆencias de dengue em humanos. A divis˜ao de mosquitos em comparti- mentos de mosquitos suscet´ıveis e de mosquitos infectantes resulta em sistemas de cinco equa¸c˜oes, como ser´a apresentado a seguir.

O sistema (3.6) tem como base o conjunto de hip´oteses descritas na se¸c˜ao 3.3, acrescido da seguinte:

• Uma porcentagem fixa da popula¸c˜ao de Aedes aegypti ´e considerada contaminada pelo v´ırus da dengue.

Sobre os termos de dispers˜ao

Uma oberva¸c˜ao relevante na discuss˜ao do modelo (3.6) proposto, e nos posteriores a serem apresentados, refere-se aos termos de dispers˜ao empregados, os quais foram for- mulados baseando-se nos movimentos aleat´orios de part´ıculas. Empiricamente j´a se comprovou que popula¸c˜oes de seres vivos tamb´em seguem tal modelo, de maneira que uma maior concentra¸c˜ao tende a provocar um maior espalhamento dos indiv´ıduos no espa¸co dispon´ıvel. Por´em, como ´e poss´ıvel se observar em trabalhos como The Spatial Spread Among Foxes I: Background and Simple Model [32], e em artigo de Maidana e Yang [28], para certas esp´ecies, a dispers˜ao em um espa¸co de tempo ´e t˜ao ´ınfima que n˜ao ´e considerada no modelo. Em seu livro, Murray [32] apresenta um modelo para o estudo da propaga¸c˜ao da raiva em raposas, dividindo esta esp´ecie em dois compar- timentos: raposas suscet´ıveis e raposas infectadas (e ao mesmo tempo infectantes). A dispers˜ao s´o ´e considerada em raposas com raiva, pois estas aumentam muito a sua atividade quando afetadas pelo v´ırus, enquanto que as sadias s˜ao consideradas fixas. No caso de Maidana e Yang [28], em um modelo para a propaga¸c˜ao de dengue em um dom´ınio espacial unidimensional a ser apresentado adiante, considera-se apenas a dispers˜ao do Aedes aegypti alado enquanto que o ser humano ´e considerado fixo. Tais modelagens s˜ao coerentes se admitido o fato de que as popula¸c˜oes em quest˜ao (raposas suscet´ıveis ou humanos) j´a se estabeleceram em um territ´orio habit´avel, seguro e com

alimentos e espa¸co suficientes para toda a popula¸c˜ao, n˜ao havendo a necessidade de mais coloniza¸c˜ao de novo terr´ıt´orio. ´E certo que os humanos se locomovem todos os dias para trabalhar, estudar, comprar alimentos, interagir socialmente, passear, consul- tar m´edicos, frequentar academias, etc, mas em geral ao final do dia voltam a suas casas, n˜ao aumentando a ´area ocupada pela esp´ecie. A coloniza¸c˜ao, ou a ocupa¸c˜ao de mais territ´orio, ocorre em uma quantidade muito menor, de tal maneira que, se comparada com a dos mosquitos, ´e muito pequena. No caso dos mosquitos considera-se a dispers˜ao pelo fato de estes n˜ao terem um local fixo para habitar, passando a vida em busca de alimento, de sangue e de locais para a postura dos ovos. Para os humanos, neste trabalho ser´a admitido tal termo com um coeficiente muito baixo, mas presente em considera¸c˜ao `a movimenta¸c˜ao di´aria e `a necessidade de suaviza¸c˜ao da condi¸c˜ao inicial a ser adotada, constante por partes.