MODELO DE ESPÉCIES EM COMPETIÇÃO

A partir do modelo logístico descrito na seção 2.2 e supondo duas espécies x e y que se alimentam da mesma fonte, seus crescimentos serão descritos pelas equações logísticas:

diminuição das respectivas populações. O sistema (27) é chamado Espécies em Competição.

Segundo Bassanezi e Ferreira Jr (1988) este sistema de equações diferenciais não tem necessariamente uma solução analítica. Por isso, um estudo qualitativo das soluções é imprescindível. A fim de realizar esta análise, o sistema (27) será reescrito da seguinte forma:

{

são as soluções de equilíbrio do sistema (28), visualizadas no Quadro 4.

Quadro 4 – Soluções de equilíbrio do sistema (28).

Condições em (29) Soluções de equilíbrio de (28)

Analogamente ao modelo predador-presa, o modelo espécie em competição pode ser

“linearizado” conforme descrito na seção 3.1, pois as funções F e G são diferenciáveis até segunda ordem. Nesta situação, a matriz Jacobiana associada a estas funções em qualquer ponto é

( *

A seguir serão analisados qualitativamente o comportamento das soluções de equilíbrio descritas no Quadro 4.

A solução de equilíbrio será um nó instável, independente dos valores dos parâmetros do sistema (28), pois a matriz Jacobiana associada é:

( ) ,

Se , implica em e a solução de equilíbrio será um ponto de sela. Caso contrário, se , implica e será um nó assintoticamente estável.

Analogamente, para o ponto ( ), a matriz Jacobiana é:

( ) (

)

Logo, e .

Se , então e a solução de equilíbrio será um ponto de sela.

Caso contrário, se , implica e será um nó assintoticamente estável.

Para o ponto ( ), que é o ponto de intersecção das retas e , com coeficientes angulares e , a análise será subdividida em dois momentos, onde no primeiro será considerado e no segundo momento será considerado pertencente aos demais quadrantes.

No Quadro 5 são apresentadas as duas situações possíveis quanto a posição relativas das retas e e respectivas análises, para . Observa-se que em cada uma das visualizações gráficas também estão representadas as três soluções de equilíbrio ,

( ) e ( ), analisadas anteriormente.

Quadro 5 – Posições relativas das retas com ponto de intersecção . e os coeficientes e e f se referem ao fator de inibição do crescimento associado a interação entre as espécies. Como a diferença acima é negativa, considera-se que nesta situação as espécies estão em

“competição forte”. Neste caso, o que ocorre com fraca”. Neste caso, o que ocorre com as espécies x e y?

Fonte: Construído pelo autor com gráficos no GeoGebra.

A fim de responder o questionamento “o que ocorre com as espécies x e y?” nas duas situações descritas no Quadro 5, será realizada uma análise do comportamento da solução de equilíbrio ( ), que será denotado por ̅ ̅ , através da teoria associada a matriz Jacobiana aplicada neste ponto, a saber:

̅ ̅ ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅*

Ou ainda,

̅ ̅ ( ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅*

Como ̅ ̅ ̅ ̅ , segue:

̅ ̅ ( ̅ ̅ ̅ ̅*

O polinômio característico associado a esta matriz é

̅ ̅ ̅ ̅ cujas raízes são

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ^⁄ e

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ^⁄

Considerando o discriminante

̅ ̅ ̅ ̅, tem-se dois casos a analisar:

1º Caso: Descrito pela situação do Quadro 5(a), onde . Neste caso, e , ou seja, a solução de equilíbrio ̅ ̅ é um ponto de sela, conforme classificação do Quadro 2.

2º Caso: Descrito pela situação do Quadro 5(b), onde . Neste caso,

A seguir serão exemplificadas cada uma das duas situações associadas às posições relativa das retas descritas no Quadro 5 e realizadas as análises qualitativa e quantitativa das soluções do sistema.

Exemplo 1: Seja o sistema

{

As soluções de equilíbrio do sistema (30) são e . Na Figura 5 pode ser visualizado o campo de direções associado ao sistema e na Figura 6 o comportamento de algumas soluções do sistema (30), considerando a condição inicial em (a) e em (b).

Figura 5 – Campo de direções para o sistema (30).

Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima.

Figura 6 – Soluções para o sistema (30).

(a) (b)

Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima.

Observa-se que o comportamento das trajetórias na Figura 5 ou 6, tendem para a solução de equilíbrio (0,5;0,5), caracterizando como um nó assintoticamente estável, pois , enquanto que é um nó instável e e são pontos de sela, pois e , respectivamente, conforme Quadro 6. Neste caso, ocorre a coexistência das espécies, tendendo para a solução de equilíbrio .

Exemplo 2: Seja o sistema

{

Os pontos críticos do sistema (31) são e . Na Figura 7, pode ser visualizado o campo de direções associado ao sistema e na Figura 8 o comportamento de algumas soluções sistema (31), considerando a condição inicial em (a) e em (b).

Figura 7 – Campo de direções para o sistema (31).

Fonte: Gerada pelo autor no WxMaxima

Figura 8 – Algumas soluções para o sistema (31).

(a) (b)

Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima.

A Figura 7 representa o campo de direções e a Figura 8 algumas soluções do sistema (31), onde algumas tendem para a solução de equilíbrio e outras para , dependendo das regiões onde são consideradas as condições iniciais. Na Figura 8(a) é mostrada uma solução que tende para , caracterizando a sobrevivência de x e extinção de y. Ao contrário, na Figura 8(b) é mostrada uma solução que tende para , caracterizando a sobrevivência de y e extinção de x. Além disso, observa-se as condições do Quadro 6, onde e , caracterizando que e são nós assintoticamente estáveis e é

um ponto de sela, pois . Esta última condição estabelece que o produto dos valores de interação entre as espécies é maior que o valor de inibição do próprio crescimento das populações e quando isso ocorre a competição é dita “forte”. Desta forma, dependendo da condição inicial considerada, uma ou a outra espécie irá sobreviver, mas não ambas.

A seguir, será descrita a posição relativa das duas retas e , quando o ponto de intersecção não pertencer ao 1º quadrante. Nesta situação há duas possibilidades, descritas no Quadro 7.

Quadro 7 – Posições relativas das retas com ponto de intersecção . analogamente a situação anterior, implica na condição:

Novamente, caracteriza uma situação em que as espécies estão em “competição fraca”. O que ocorre com as espécies x e y?

Fonte: Construído pelo autor com gráficos no GeoGebra.

A fim de ilustrar as duas situações do Quadro 7, serão considerados os seguintes exemplos.

Exemplo 3: Seja o sistema:

{

As soluções de equilíbrio de interesse para o sistema (32) são e , visto que . Na Figura 9(a) é apresentado o campo de direções e algumas trajetórias e em (b), o comportamento de uma solução para o sistema (32), considerando Para outras condições iniciais, o comportamento das soluções é análogo ao da solução mostrada.

Figura 9 – Campo de direções e uma solução para o sistema (32).

(a) (b)

Fonte: Gerada pelo autor no WxMaxima

A Figura 9(a) mostra o campo de direções e algumas trajetórias, onde todas tendem para a solução de equilíbrio , caracterizando a sobrevivência da espécie x e extinção de y. Na Figura 9(b) é mostrada uma solução em particular, que apresenta este mesmo comportamento. Além disso, observa-se as condições do Quadro 6, onde

e , caracterizam que é um ponto de sela e é um nó assintoticamente estável, como pode ser observado na Figura 9(a). Desta forma, independentemente da condição inicial considerada, a espécie x irá sobreviver e y irá a extinção.

Exemplo 4: Seja o sistema:

{

As soluções de equilíbrio de interesse para o sistema (33) são e , visto que . Na Figura 10(a) é apresentado o campo de direções e algumas trajetórias e em (b), o comportamento de uma solução para o sistema (33), considerando . Para outras condições iniciais, o comportamento das soluções é análogo ao da solução mostrada.

Figura 10 – Campo de direções e uma solução para o sistema (33).

(a) (b)

Fonte: Gerada pelo autor no WxMaxima.

A Figura 10(a) mostra o campo de direções e algumas trajetórias, onde todas tendem para a solução de equilíbrio , caracterizando a sobrevivência da espécie y e extinção de x. Na Figura 10(b) é mostrada uma solução em particular, que apresenta este

mesmo comportamento. Além disso, observa-se as condições do Quadro 6, onde e , caracterizam que é um nó assintoticamente estável e é um ponto de sela, como pode ser observado na Figura 10(a). Desta forma, independentemente da condição inicial considerada, a espécie y irá sobreviver e x irá a extinção.

4

Inicialmente, foi analisada a modelagem matemática associada ao crescimento de populações através do modelo de Malthus, onde foram constatadas as limitações do mesmo, pois não descreve satisfatoriamente situações da realidade. Assim, a partir deste modelo foi analisado o modelo proposto por Verhulst, que tenta contornar as dificuldades apresentadas no modelo de Malthus e se mostra um modelo mais realista. Em um segundo momento, foi questionada a influência destes modelos na constituição de modelos de crescimento quando duas espécies estão envolvidas. Assim, a partir do modelo de Malthus tentou-se compreender o comportamento do modelo predador-presa e, analogamente, a partir do modelo de Verhulst, compreender o modelo de espécies em competição. Para a efetiva compreensão destes dois últimos modelos foi necessário retomar a teoria relacionada ao tratamento de sistemas autônomos lineares e não-lineares, de forma a compreender as classificações decorrentes e realizar a análise qualitativa dos sistemas.

Quanto aos recursos tecnológicos, destaca-se a importância da utilização dos softwares GeoGeobra e WxMaxima, os quais foram fundamentais na exploração do comportamento das soluções dos respectivos modelos, possibilitando uma integração entre os tratamentos algébrico e geométrico.

Quanto aos desdobramentos futuros deste trabalho, há várias possibilidades, como por exemplo analisar o modelo de Verhulst associado ao sistema predador-presa com mais predadores e presas ou o modelo espécies em competição com mais espécies, caracterizados por um sistema de n equações diferenciais autônomas e verificar em quais condições o conhecimentos relacionados às equações diferenciais ordinárias, o acadêmico tem a pretensão de posteriormente ingressar em um programa de pós-graduação.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:

Contexto, 2010.

BASSANEZI, R. C.; FERREIRA JR. ,W. C. Equações Diferenciais com Aplicações. São Paulo: Harbra, 1988.

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 9ª Edição. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2010.

SOUZA, I. L. B. Estudo da Dinâmica Populacional do Bicho-Mineiro via Equações Diferenciais Ordinárias, Jequié-BA, 2012. Disponível em:

<http://www2.uesb.br/matematicajq/images/TCC1.pdf>. acesso em: 20 out. 2015 VILLATE, J. E. Introdução aos Sistemas Dinâmicos: uma abordagem prática com Maxima, Versão 1.2, 2007. Disponível em:

<http://www.villate.org/doc/sistemasdinamicos/sistdinam-1_2.pdf27>. Acesso em: 20 out.

2015.