Modelo de Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorov (modelo JMAK)

O modelo de Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorov, ou JMAK, foi pioneiro na tentativa de descrever matematicamente a cinética da transformação na recristalização de um metal deformado, considerando as etapas de nucleação e de crescimento de novos grãos, até a renovação completa da microestrutura.

Este modelo assume que os novos grãos são formados a uma taxa de nucleação constante N e que os grãos crescem para dentro da matriz deformada com uma taxa linear de crescimento G . Considera ainda que os grãos são esféricos, de tal forma que o volume cresce com o cubo do seu diâmetro e de forma isotrópica. A fração recristalizada (X_v) é assumida crescer rapidamente com o tempo, aumentando a taxa de transformação, que atinge o valor máximo para 50% de recristalização. No final do processo, os novos grãos começarão a se impingir mutuamente, levando a uma redução da taxa de recristalização, que se aproximará de zero quando a fração recristalizada (Xv) se aproximar de 1.

Neste modelo os valores de N e G atendem às seguintes equações: Tempo (s) F ra ç ão re s id u a l de en c rua m e n to Início da recristalização 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

N = C1 . exp (-QN/KT) (2.7)

G = C2 . exp (-QG/KT) (2.8)

onde Q_N é a energia de ativação para a nucleação e Q_G é a energia de ativação para o crescimento.

2.5.1.1 Descrição do modelo

Foi proposto pelos autores que, considerando a taxa de nucleação constante, o número de núcleos formados “dN”, em um intervalo de tempo “dt”, será menor que

N . dt devido àquelas regiões já recristalizadas.

Considerando assim, todos os núcleos, dN’ , no tempo dt, teríamos:

dN’ = N dt = dN + N .Xv.dt (2.9)

Para cálculo do volume recristalizado (V), levou-se em conta o chamado “volume extendido” (V EX), que está relacionado com a fração volumétrica de todos os grãos recristalizados (XVEX), considerando todos os núcleos (dN’).

XVEX =

∫

dN V

0 . ' (2.10)

Efetuando todas as simplificações e considerações, foi encontrado que:

X_VEX= f N G G³t⁴/4 (2.11)

onde, f = fator de forma

N = taxa de nucleação = constante G = taxa de crescimento = constante

Considerando que o volume extendido aumenta dX_VEX no tempo dt e que a fração de material ainda não recristalizado é 1-X_V, logo dX_V = (1 – X_V) . dX_VEX , resultou:

XVEX=

∫

0 dXVEX= ln 1/(1- XV) (2.12)

XV= 1 – exp (-XVEX) = 1 – exp (-f N G³t⁴/4) (2.13)

ou X_V= 1 – exp (-B tⁿ) (2.14)

que é a equação de Avrami ou equação JMAK.

Nesta equação, “n” que é o expoente JMAK ou expoente de Avrami vale 4, pois é assumido que o grão cresce igualmente nas 3 dimensões, com taxas de nucleação e de crescimento constantes, e que não existe restrição ao crescimento pela interação ou contato com outros grãos (crescimento isotrópico).

Isto vale também para o caso em que a nucleação é considerada ocorrer com saturação de sítios, onde todos os eventos de nucleação ocorrem no início do processo de recristalização no tempo t = 0. Neste caso, o valor máximo esperado para o expoente de Avrami passa a ser 3.

Caso ocorra restrição ao crescimento em alguma direção (mudanças da dimensionalidade do sistema), então o expoente de Avrami diminui, conforme indicado na Tabela 2.5 mostrada a seguir.

Tabela 2.5 – Valores de expoente JMAK em função do tipo de nucleação e da dimensionalidade do sistema⁽¹⁾.

Dimensão do crescimento

Saturação de Sítios Taxa de nucleação constante

3 dimensões 3 4

2 dimensões 2 3

Uma outra simplificação do modelo JMAK é que este considera que a nucleação ocorre com uma distribuição aleatória e homogênea dos sítios.

Para a comparação de dados medidos experimentalmente com os calculados pelo modelo JMAK, usa-se plotar o chamado “gráfico JMAK”, de ln[ln(1/(1-XV)] em função de ln t. Pela equação de Avrami, isto dá uma linha reta , cuja inclinação é o expoente de Avrami “n”.

Apesar de alguns trabalhos experimentais mais antigos [Anderson e Mehl, 1945] com alumínio; [Reiter, 1952] com aço baixo-carbono; [Gordon, 1955] com cobre, encontrarem n = 4, em trabalho publicado posteriormente [Doherty e colaboradores, 1986], os autores comentaram que as condições utilizadas pelos primeiros autores atendiam às simplificações propostas no modelo, principalmente quanto à aleatoriedade da nucleação. Estas condições são bem menos comumente encontradas em materiais deformados convencionalmente.

Experimentos mais recentes mostraram que dificilmente as simplificações do modelo JMAK são satisfeitas, e, desta forma, o coeficiente JMAK tem valores usuais (n<3), com o gráfico JMAK também desviando da linearidade⁽¹⁾.

Num trabalho realizado com um aço IF-Ti por W. Ye e colaboradores⁽⁹⁾, os autores encontraram os gráficos de JMAK aproximadamente lineares na maioria dos resultados obtidos, mas os valores de “n” variaram na faixa de 1,3 a 2,6. De fato, é visto que poucos dados experimentais mostram total concordância com o modelo cinético proposto por JMAK.

Em um trabalho de Vandermeer e Gordon (1962) com alumínio microadicionado com cobre (0,0068 at% Cu) laminado 40% a frio, foi encontrado n = 1,7 e o gráfico JMAK desviando da linearidade para temperaturas menores e tendendo para tempos mais longos (Fig. 2.30). Em princípio, pode se atribuir à recuperação o desvio da linearidade em materiais com alta EDE. A recuperação compete com a recristalização diminuindo o potencial termodinâmico armazenado na matriz. Microestruturas parcialmente recristalizadas são o resultado mais comumente observado em metais de alta EDE e de alta pureza recozidos em temperaturas relativamente baixas. Maiores detalhes sobre o desvio da linearidade nas curvas do modelo JMAK serão discutidos no item 2.5.3 desta dissertação. Resultados semelhantes foram obtidos por outros autores em outros materiais.

Fig. 2.30 – Gráfico JMAK para a cinética de recristalização do alumínio contendo 0,0068 at% Cu, deformado 40% por laminação [Vandermeer e Gordon, 1962]⁽¹⁾.

A literatura reporta que a cinética de recristalização de aços IF e aços baixo-carbono, desvia-se do comportamento sigmoidal usual após 60 a 70% de recristalização

(11)

.

Em outro trabalho com aço IF-Ti, I. Samajdar e colaboradores⁽¹¹⁾ estudaram a cinética da recristalização e encontraram que embora esta fosse lenta nos estágios iniciais da recristalização, após cerca de 7% até aproximadamente 70% de recristalização, a cinética tornava-se bastante rápida, voltando a reduzir após este patamar, e tornava-se extremamente lenta após 96% de recristalização, com algumas regiões apresentando uma grande dificuldade de recristalizar. A Fig. 2.31 resume o que os autores observaram no estudo realizado.

Tempo de Recozimento (s) ln( 1 /( 1-X^V )

Fig. 2.31 – ln[-ln(1-f)] vs. ln t, onde f é a fração recristalizada e t é o tempo para a recristalização (em segundos), a 650º C⁽¹¹⁾.

Concluíram então, que o processo de recristalização é bastante complexo e que o modelo JMAK é muito simples para modelá-lo. Seriam necessários mais parâmetros, além da fração recristalizada, para modelar as transformações microestruturais que ocorrem durante a recristalização. No trabalho de Weiping Ye e colaboradores ⁽⁹⁾, com aço IF-Ti, os autores propõem que o modelo cinético de recristalização considere parâmetros físicos relacionados com a microestrutura, tais como a mobilidade dos contornos de grão, a densidade de discordâncias e o tamanho de grão inicial.