Modelo de Material com Encruamento Misto 74 

Este modelo é referenciado no programa ABAQUS como Crushable foam model with volumetric hardening. Diferentemente do modelo com encruamento isotrópico, esta implementação possui o chamado encruamento cinemático, que consiste na contabilização de translações da superfície de escoamento durante a deformação plástica nos espaço das tensões, fenômeno conhecido na literatura por Efeito Bauschinger (CHEN; HAN, 1988). Esse modelo é considerado misto, pois também contempla uma forma de evolução que expande os limites da superfície de escoamento, porém não de uma forma isotrópica. A superfície é expandida somente para as contribuições volumétricas de compressão , daí então, o modelo implementado ser conhecido por ter encruamento volumétrico. As equações envolvidas neste modelo de material também têm alguma influência do modelo proposto por Deshpande e Fleck (2000) e estão descritas abaixo. Em ordem similar ao tópico anterior, as equações envolvidas são dadas por:

⁄

/ ₍₈₇₎

O parâmetro na relação acima é obtido a partir de uma relação similar à (52):

(88)

onde o novo parâmetro kt é calculado a partir das tensões de escoamento inicial do material

em compressão hidrostática ( ) e da tensão em tração hidrostática ( ):

⁄ (89)

O cálculo de k é o mesmo realizado na seção anterior na equação (53). Contudo, o potencial de encruamento é diferente daquele em (54), pois neste caso, o valor de / , é fixo, ou seja, a implementação não permite que se calibre o modelo com potenciais associativos (exceto quando / ). Ademais, para o valor fixado para , assume-se que o material tem coeficiente de Poisson plástico nulo , o que significa que o material

Capítulo III. MATERIAIS E MÉTODOS  75 

tem a máxima deformação volumétrica admissivél fisicamente (exceto para estruturas muito particulares onde podem existir valores negativos para o coeficiente de Poisson). Assim, o potencial é dado por:

⁄ (90)

Novamente os conceitos de tensão e deformação equivalente são utilizados e mais uma vez, a tensão equivalente não precisa ser determinada novamente. Entretanto a deformação equivalente precisa ser revisada e, de maneira análoga, aplica-se a equação (90) na equação (74) para obter:

̂ /

⁄

/ ₍₉₁₎

É preciso agora especificar a Lei de Evolução do material. Acredita-se que o pesquisador que implementou este modelo de material no ABAQUS baseou-se em ensaios experimentais para espumas em compressão e tração, sendo que o comportamento padrão observado é exibido na Figura 27.

Figura 27. Superfície de escoamento genérica com potencial de encruamento volumétrico (misto)

A evolução da superfície f está baseada em um encruamento misto cuja evolução cinemática pode ser descrita de forma genérica dada por:

76    Capítulo III. MATERIAIS E MÉTODOS 

(92)

onde é o valor atual do centro da superfície de escoamento no espaço de tensões e é a posição inicial deste centro. é o tensor de translação do centro da superfície no espaço das tensões. Como o modelo assume uma evolução somente para variações de tensão hidrostática, utiliza-se a equação (51) para simplificar a equação acima gerando:

(93)

No modelo em discussão é denominado simplesmente por . Já o tensor que rege a evolução é mais complicado de ser obtido, pois é este tensor que defini a evolução mista da superfície f. Este termo supõe que um dos pontos da superfície de escoamento inicial não é modificado para qualquer carregamento efetuado no material. O ponto escolhido é o limite de escoamento em tração hidrostática . Logo, a evolução da superfície (e seu centro) é determinada pela evolução de um ponto no eixo das tensões hidrostáticas. No caso, o ponto é escolhido e sua evolução é dada pela seguinte expressão (ABAQUS/CAE User’s Manual, 2007):

⁄

(94)

Esta expressão é obtida notando que / e que / .

Basta aplicar as condições de carregamento de compressão ou tração uniaxial na equação (87) juntamente com as definições de e e isolar , tem-se o tensor de translação:

(95)

O procedimento na definição de é fundamentado em resultados experimentais. Ao contrário do que se observa nos ensaios em compressão, esses materiais celulares tem baixa deformação plástica em tração (se comparado a compressão), chegando a valores menores que 10% da deformação em compressão. Essa relação é considerada nas curvas de tensão- deformação para o limite de tensão de carregamento para a qual se considera a falha total do

Capítulo III. MATERIAIS E MÉTODOS  77 

material (resistência do material). É importante, não confundir a resistência do material com o limite de escoamento. São valores de tensão geralmente distintos e podem ser muito próximos para materiais frágeis, para os quais o encruamento do material pode ser desconsiderado e assim, supor que a superfície não evolui sob cargas de tração. Todavia a implementação desse fenômeno requer uma Lei de Encruamento sensível ao tipo de carregamento ( em tração e em compressão), o que aumentaria a complexidade da lei de evolução significativamente e, consequentemente, o uso de tal modelo de material seria, muitas vezes, impraticável. A alternativa proposta no modelo foi a de controlar a evolução da superfície através da equação (94) e do incremento de deformação plástica equivalente, já definido em (74) e que é reescrito para o novo potencial de encruamento g e aplicado para um carregamento uniaxial:

̂ ⁄ / (96)

Os incrementos de deformação plástica são definidos a partir da relação do incremento de trabalho plástico realizado:

̂ ̂ (97)

onde a tensão equivalente foi substituida pelo potencial de encruamento g não associativo que determina a direção ⁄ dos incrementos de deformação plástica na superfície f.

Das equações (96) e (97) obtém-se uma expressão para o incremento de deformação plástica a partir de um ensaio uniaxial:

(98)

Então, têm-se definidos o incremento de deformação plástica e também, a evolução da superfície com a equação (94), sendo que ambos são calibrados com um ensaio de compressão uniaxial. Apesar da evolução da superfície requerer a relação de encruamento de um ensaio hidrostático, que relaciona as respectivas tensões com as deformações volumétricas , o modelo implementado pode ser utilizado com dados provenientes de ensaios uniaxiais, pois é considerado na equação (90), que o coeficiente de Poisson plástico é nulo

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( ). Tal hipótese também indica que as tensões em uma direção no material não geram tensões em outra direção perpendicular durante a deformação plástica, de onde se conclui que não há deformações plásticas em direções diferentes da do carregamento aplicado. Logo, a deformação axial é função somente da deformação plástica de uma direção, e, portanto, da equação (56) calcula-se:

ln ⁄ ln ln (99)

Assim, a evolução da superfície de escoamento é calibrada fornecendo apenas a deformação plástica logarítmica na direção do carregamento de um ensaio uniaxial. Contudo ainda é necessário fornecer, assim como no modelo de material isotrópico da seção anterior, a relação em forma tabular da tensão de Cauchy com a deformação plástica volumétrica.

Há uma limitação imposta nessa implementação do modelo de material com encruamento volumétrico quanto ao seu uso. Segundo o manual do programa ABAQUS, para carregamentos de pressão hidrostática negativa, referentes às tensões de tração, e para carregamentos somente com tensões desviadoras, o modelo é assumido como perfeitamente plástico. Assim o encruamento discutido ocorre somente para carregamentos essencialmente de compressão. Acredita-se que essa restrição tem base no fato de que estruturas celulares, espumas, são aplicadas para carregamentos essencialmente de compressão.

O mesmo manual também restringe a aplicação do respectivo modelo sob carregamentos monotônicos, pois a modelagem de descarregamentos é relativamente complicada tornando os algoritmos de plastificação mais demorados e envolvendo o cálculo de fenômenos viscosos. Estas restrições serão retomadas e mais detalhadas no Capítulo IV.

Capítulo IV. RESULTADOS E DISCUSSÕES  79 

Capítulo IV