Modelo de rigidez

No MED são definidos basicamente dois tipos de rigidez: a normal (kn) ou a de

cisalhamento ou tangente (ks). Ambas estão relacionadas com importantes propriedades dos

materiais utilizados nas simulações. A rigidez normal está relacionada com o módulo de Young (E) do material das entidades, enquanto que a rididez cisalhante é geralmente determinada como uma fração da rigidez normal. Outra importante propriedade dos materiais é o coeficiente de Poisson, determinado pela razão kn_/ks_{. Naturalmente, essa análise é altamente simplificada e}

não leva em conta a distribuição do raio da partícula, nem o raio de interação introduzido nos

pacotes de esferas (SMILAUER et al.,2010).

O modelo de rigidez no contato de entidades associa os deslocamentos relativos no contato às forças de contato, podendo ser classificado em modelo linear ou modelo de Hertz- Mindlin. No modelo linear (que foi usado neste trabalho) cada entidade possui rigidez normal e cisalhante, sendo que a rigidez total é calculada supondo que a rigidez entre dois corpos em

contato agem em série (GENG et al.,2010). O algoritmo normalmente usado no Yade calcula

a rigidez normal de interação como a rigidez de duas molas com comprimento igual ao raio de

Figura 8 – Série de duas molas representando rigidez normal do contato entre duas esferas. Fonte:Smilauer et al.(2010)

Define-se a distância l = l1+ l2, onde li, i = 1, 2 são as distâncias entre pontos de

contato e centro das esferas. A variação da distância entre o centro das esferas ∆ l é distribuído

em deformações de ambas as esferas ∆ l = ∆ l1+ ∆ l2, proporcionalmente às suas rigidezes.

Alterações de deslocamento ∆ ligeram uma força Fi= Ki∆ li, onde Kigarante proporcionalidade

e tem significado físico de dimensão de rigidez. Ki está relacionado com o módulo de Young

(Ei) da esfera e comprimento ˇliproporcional ao raio da esfera (Ri) (SMILAUER et al.,2010). A

rigidez segue um modelo linear, supondo que dois elementos agem em série. A rigidez normal da interação é dada por:

∆l = ∆l1+ ∆l2 (2.28) k_i= Eiˇli (2.29) kn∆l = F = F1= F2 (2.30) kn(∆l1+ ∆l2) = F (2.31) kn F k₁+ F k₂  = F (2.32) kn−1 = k−1₁ + k−1₂ (2.33) kn= k1k2 k₁+ k2 (2.34) No YADE o comrimento ˇlié tomado como igual ao diâmetro da partícula ( ˇli= 2ri).

Reescrevendo a equação2.34, chega-se ao modelo de rigidez normal utilizado para as simulações: kn= k [A] n k[B]n k[A]_n + k[B]n (2.35) E o modelo de rigidez cisalhante,

ks= k [A] s k [B] s k_s[A]+ k[B]s (2.36) onde os sobrescritos [A] e [B] indicam as duas entidades em contato.

Para reproduzir o comportamento de geomateriais não coesivos (não ligados), o

critério de ruptura de Mohr-Coulomb é usado (DONZÉ; MAGNIER,1997):

   − → F_i   ≤    −→ F_in   tg µ (2.37)

onde µ é o ângulo de atrito local.

2.4.6

Programa Yade

Para aplicação do MED neste trabalho, foi utilizado o programa YADE. O YADE

tem como base o método dos elementos discretos, originalmente proposto porCundall e Strack

(1979). Foi projetado e desenvolvido no Laboratoire 3SR, em Grenoble, a partir de um pro-

grama anterior denominado SDEC. De acordo comNeves(2009), o YADE utiliza o paradigma

da programação orientada a objetos, tornando-o flexível. É um programa livre, sob licença GPL (General Public License), desta forma tem a possibilidade de se expandir em passo acelerado com a contribuição da comunidade científica. Nos últimos anos o movimento para o uso de pro- grama livre cresceu muito, com isso a utilização do YADE vem aumentando constantemente, sendo utilizado para pesquisas em diversas áreas do conhecimento. A principal restrição ao uso do YADE é quanto a sua portabilidade, visto que o programa só é executável atualmente na

Figura 9 – Tela de interface do YADE com terminal de comando

Figura 10 – Tela de interface do YADE com a simulação e gráfico

No capítulo 3, será apresentado imagens da interface e visualização em 3D da si- mulação proposta.

3 Metodologia

Como dito anteriormente, este trabalho utiliza o Método dos Elementos Discretos (MED) para simular uma placa de fundação apoiada sobre um solo arenosos fofo e o reforço utilizado para melhorar sua capacidade de carga. Como ferramenta foi utilizado o programa YADE.

Nas simulações em MED do YADE, monta-se inicialmente um cenário com ele- mentos que simulam cada item presente no problema estudado sendo atribuidos parâmetros micromecânicos a cada um deles. O objetivo inicial é reproduzir os resultados experimentais obtidos no trabalho deLinhares(2013).

Nas simulações deste trabalho, o cenários são compostos por: • caixa;

• areia;

• placa de fundação; • geotêxtil e geogrelha.

A seguir são descritos como cada um desses elementos são simulados no YADE.

3.1

Caixa

Na montagem do cenário no YADE, para simular a caixa de areia, foram utilizados elementos chamados de “facets”, que têm a forma de placas triangulares, e a partir destes, podem-se criar objetos geométricos.

Na Figura11, é apresentada a simulação da caixa na interface do YADE a partir de

Figura 11 – Modelo de caixa simulado no YADE.

3.2

Areia

No caso da simulação da areia foram utilizados elementos em forma de esferas,

distribuidas em forma de “nuvem” (Figura12).

Na Figura12, é apresentado o cenário onde foram inseridas as esferas. Aplicando a força da gravidade, elas serão depositadas no fundo da caixa , e após a deposição destas, para

garantir que o conjunto tenha o mesmo índice de vazios do experimento de Linhares (2013)

(utilizado para calibração dos parâmetros das simulações), a “areia” é compactada até atingir tal índice, apresentado na Figura13.

Figura 13 – Areia sendo compactada.

Como limite de compactação, o modelo foi calibrado para atingir a porosidade n = 0, 47.

3.3

Placa de carregamento

Para simular a placa de fundação, semelhante a simulação da caixa, foram utilizados elementos do tipo “facets”.

Abaixo, na figura14, é apresentada a “sapata” formada por 2 “facets” apoiada sobre

Figura 14 – Sapata sobre areia fofa na simulação no YADE

3.4

Reforço

Para simular o reforço, primeiramente cria-se um elemento cilíndrico formado por 2 esferas em suas estremidades. A deformação do elemento cilíndrico é definido pela posição e orientação de seus dois nós (as esferas das extremidades) e a interação entre os nós adjacentes é descrita com as mesmas equações do contato esfera-esfera apresentado anteriormente.

Durante o contato de um elemento esférico e um ponto do cilindro, é inserida uma esfera fictícia com mesmo diâmetro, possibilitando a aplicação das equações referentes ao con- tato esfera-esfera, como mostra a figura15:

Figura 15 – Interação esfera-cilindro (EFFEINDZOUROU et al.,2016)

No caso do reforço ter o formato de uma geogrelha, são criados diversos cilindros interconectados pelas esferas das extremidades, formando a malha da geogrelha, como mostra a figura16:

Figura 16 – Geogrelha formada por cilindros (EFFEINDZOUROU et al.,2016)

Na figura17, é apresentado o reforço como geogrelha na simulação no YADE.

Figura 17 – Geogrelha como reforço em simulação no YADE

No caso do geotêxtil, são utilizados elementos chamados “Pfacet”, que são ele- mentos formados por 3 nós (esferas nas extremidades) e 3 conexões (cilindros), formando um

elemento triangular com 3 nós e deformável (Figura 18). A partir da junção destes elementos

Figura 18 – Pfacet formado por cilindros e esferas (EFFEINDZOUROU et al.,2016)

Figura 19 – Geotêxtil como reforço em simulação no YADE na configuração planar 3B

A formulação envolvida para o desenvolvimento do Pfacet é melhor detalhado por Effeindzourou et al.(2016).

3.4.1

Reforço não-planar

Na situação com reforço não-planar, é criada uma etapa a mais na simulação para a instalação do reforço. Primeiramente é escavada a “areia” deixando a superfície com o formato que o reforço deve ter, conforme figura20.

Figura 20 – “Areia” sendo escavada

Após a escavação, é instalado o reforço e pela força da gravidade, é preenchida a escavação com a “areia” escavada anteriormente juntamente com mais uma camada de “areia”,

conforme apresentado na figura21.

3.5

Cenário

Após a instalação do reforço, seja ele “geotêxtil” ou “geogrelha” e inserida a ca- mada superior de “areia” e compactada, insere-se a “sapata” e inicia-se o processo de carrega-

mento. Na Figura 22, é apresentado o cenário pronto para o início da simulação com reforço

do tipo “geotêxtil” na configuração planar com largura igual a três vêzes a largura da placa de

fundação (Lg= 3B) e na figura23com reforço não-planar Lg= 3B. Na figura24é apresentado

o cenário no fim da simulaçao com reforço não planar Lg= 3B.

Figura 22 – Cenário pronto para início do experimento e sua simulação no YADE - reforço planar

Foram alteradas as cores de alguns elementos para azul para facilitar a visualização da deformação sofrida pelo “solo” durante o carregamento da placa de carregamento.

Figura 23 – Cenário pronto para início do experimento e sua simulação no YADE - reforço não-planar

4 Apresentação e Análise de Resulta-

dos

Nas simulações deste trabalho, primeiramente foi realisada uma retroanálise para

calibração do modelo com os resultados obtidos nos experimentos deLinhares(2013). Após a

calibração com o experimento em laboratório, foi estudado a influência do atrito entre a caixa e a areia no ensaio em laboratório e a validação do modelo comparando-o com um método teórico e um método numérico. Após a fase de calibração e validação do modelo númerico, foi possí- vel através do MED, estudar novas geometrias de reforço e alguns mecanismos envolvidos no processo de carregamento do solo que não são obtidos no modelo físico, tais como a influência da escala e a distribuição de tensões de tração ao longo do geotêxtil.

A seguir, são apresentadas e detalhadas as simulações em MED realizadas no pro- grama YADE e todas as curvas apresentadas são curvas médias de 3 simulações realizadas para cada estudo.