Modelo de Solow Espacialmente Ampliado

Ertur e Koch (2007) utilizam o modelo de Solow como base para desenvolver um modelo de crescimento que considera a interdependência tecnológica entre as regiões. Assim como Solow (1956), Ertur e Koch (2007) usam a seguinte função de produção Cobb-Douglas:

Y (t) = A (t)K (t) L (t) (3.17)

em que as variáveis recebem a notação padrão: Y (t) é o produto, K (t) é o nível de capital físico, L (t) é o nível de trabalho e A (t) é o nível agregado de tecnologia:

A (t) = Ω(t)k (t) ∏ A (t) (3.18)

Segundo os autores, esta fórmula descreve o nível agregado de tecnologia Ai(t) de uma região i como sendo dependente de três termos. O primeiro, Ω(t), descreve parte do progresso tecnológico como exógeno e idêntico entre as regiões, assim como no modelo de Solow. Assim, Ω(t) = Ω(0)eµ _{, onde µ é uma taxa de crescimento constante. O segundo}

termo k (t) sugere que o nível de tecnologia é crescente com o estoque de capital físico por trabalhador (ki) disponível na região em questão. O parâmetro ϕ, com 0 < ϕ< 1, representa a

força das externalidades domésticas geradas pelo acúmulo de capital físico. Já o terceiro termo, representado pelo produtório ∏ A (t), diz respeito às externalidades espaciais da tecnologia. Ertur e Koch (2007) seguem o modelo Romer (1986), que diz que o investimento em capital não aumenta somente o nível de tecnologia local, mas também aumenta o nível de tecnologia das regiões vizinhas por meio dos transbordamentos de conhecimento. Entretanto, cabe salientar que apesar de considerarem os efeitos de transbordamento entre as regiões, os autores argumentam que é razoável supor que tais efeitos diminuem a intensidade, com o aumento da distância entre as regiões, dadas as dissimilaridades sócio-econômicas e institucionais das regiões. A forma funcional particular assumida por este termo para uma região i é a média ponderada geometricamente, do estoque de conhecimento dos vizinhos, denotado por j. O grau interdependência entre as regiões gerado pelo nível de externalidades

espaciais é descrito por γ, onde 0 < γ< 1. Assume-se que esse parâmetro é igual para todas as regiões, entretanto os efeitos das externalidades espaciais sobre o nível de produtividade da região i dependem da conectividade entre essa região e os seus vizinhos. Ertur e Koch (2007) sugerem que essa conectividade seja representada pelo termo exógeno wij, para j=1,...,N e j≠i.

Quanto maior a conectividade da região i com os seus vizinhos, maior os benefícios que i obtém das externalidades espaciais.

Assim, o nível de tecnologia em uma região depende tanto do seu próprio estoque de capital físico por trabalhador quanto dos estoques de capital físico por trabalhador dos seus vizinhos. Pode-se dizer, portanto, que as externalidades espaciais implicam que as regiões não devem ser analisadas isoladamente, mas sim em um sistema de interdependência.

A equação (3.17) pode ser reescrita na forma matricial, como:

A = Ω + ϕk + γWA (3.19)

onde A é o vetor (N x 1) dos logaritmos dos níveis de tecnologia, k é o vetor (N x 1) dos logaritmos do nível agregado de capital físico por trabalhador e W é a matriz com os termos wij. Resolvendo a equação acima (3.19) para A, com γ ≠ 0, tem-se7

A = (I − γW) Ω + ϕ(I − γW) k (3.20)

Se |γ| < 1, ao reagrupar os termos de forma que se tenha, novamente, a tecnologia como dependente de três termos: um componente exógeno (Ω (t)), um componente que indique que a tecnologia é crescente dado o estoque de capital físico por trabalhador (k∅(t)) e, por fim, um componente que capte os transbordamentos de tecnologia através das regiões (∏ k∑ ( ) ), tem-se que A (t) = Ω (t)k∅_{(t) ∏ k}∑ ( ) (t) (3.21)

Substituindo a equação (3.21) na função de produção (3.2) escrita na sua forma intensiva (onde, y(t) = Y(t)/L(t) = A(t)k(t)α), tem-se o produto por trabalhador da região i como função do estoque de capital físico por trabalhador dessa mesma região e também dos estoques de capital físico por trabalhador dos seus vizinhos. Tal função é representada por:

y (t) = Ω (t)k (t) ∏ k (t) (3.22)

onde u = α + ϕ(1 + ∑ γ w( )) e u = ϕ ∑ γ w( ). Os termos wij(r) são os elementos

da linha i e coluna j da matriz W, que fornece o grau de conectividade entre as regiões.

Para derivar o estoque de capital físico por trabalhador no estado estacionário, o modelo de Ertur e Koch (2007) utiliza a seguinte função retirada do modelo de Solow (1956):

k̇ (t) = s y (t) − (n + δ)k (t) (3.23)

onde k̇ (t) indica a derivada do estoque de capital físico em relação ao tempo.

Tal função descreve como se dá a evolução do estoque de capital por trabalhador. Segundo o modelo de Solow, no estado estacionário, o estoque de capital por trabalhador não varia ao longo do tempo. Uma vez que a função de produção é caracterizada por retornos decrescentes, a equação 3.23 implica que a “razão capital físico – produto” da região i é constante e converge para uma taxa de crescimento de equilíbrio definida por ̇ ( )⁄ ( )=

ou [ ⁄ ]∗= ⁄( + + ). Desta forma, igualando k̇ (t) a zero, substituindo Yi(t),

tem-se que:

( ) Ω ( ) ( ) ∏ ( ) − ( + ) ( ) = 0 (3.24)

Rearranjando os termos e colocando ki* (estoque de capital por trabalhador no estado

estacionário) em evidência:8

k∗= Ω( )( )_{(t) ∏ k}∗ _(3.25)

Pode-se perceber que o estoque de capital físico por trabalhador no steady state depende da tecnologia local, bem como do nível de capital físico das regiões vizinhas.

Para determinar a equação que descreve a renda por trabalhador da região i no estado estacionário, Ertur e Koch (2007) reescrevem a função de produção na forma matricial: y = A + αk e substituem A pela expressão (3.20). Além disso, pré-multiplicaram ambos os lados por (I − γW) para obter:

8

y = Ω + (α + ϕ)k − αγWk + γWy (3.26) De acordo com os autores, cabe salientar que quando = 0 e = 0 o modelo passa a ser igual ao modelo de Solow. Reescrevendo esta equação para a economia i e introduzindo a equação da razão capital-produto (K*/Y*) no estado estacionário em logaritmos, tem-se:

lny∗(t) =

lnΩ(t) + lns − ln(n + g + δ) −

∑ w lns + ∑ w ln (n + g + δ) + ( )∑ w lny∗_{(t) (3.27)}

Assim, o modelo de Solow espacialmente ampliado apresenta as mesmas previsões qualitativas que o modelo de Solow tradicional para a influência do crescimento da população e da poupança doméstica sobre a renda per capita da região i no estado estacionário. Ademais, o modelo de Solow espacialmente ampliado prevê também que a renda por trabalhador depende positivamente da taxa de poupança dos seus vizinhos e negativamente das taxas de crescimento da população dos vizinhos.

Assim como no modelo de Solow (1956), este modelo prevê que a renda por trabalhador em determinado país converge para o seu valor de steady-state. Assim, reescrevendo a equação que descreve a dinâmica do modelo de Solow (3.23), incluindo a função de produção (3.24) e dividindo todos os termos por ki, pode-se obter:

̇ ( )

( )= Ω ( )

( )

( ) ∏ ( ) − ( + ) (3.28)

Segundo Ertur e Koch (2007), o principal elemento deste resultado é o retorno decrescente do capital. De fato, ( ̇ ( )⁄ ( ))⁄ ( )< 0 desde que uii < 0. Em outras

palavras, quando uma região aumenta o seu nível de capital físico por trabalhador, a taxa de crescimento cai e converge para o seu nível de estado de estacionário. Contudo, um aumento no capital físico por trabalhador das regiões vizinhas, aumenta a produtividade da região i por causa da interdependência tecnológica. Cabe ressaltar que as externalidades do capital físico e a interdependência tecnológica somente retardam o decrescimento da produtividade do capital físico, portanto, o resultado de convergência continua válido sob a hipótese + ∅ < 1.

O modelo de Solow espacialmente ampliado também considera a questão da velocidade de convergência. Para o cálculo desta velocidade, Ertur e Koch (2007) usam a log linearização da equação 3.29 em relação ao tempo (t), para i = 1, ..., N, da seguinte forma:

( )

= − (1 − )( + + )[ ( ) − ∗_{] +}

+ ∑ ( + + ) ( ) − ∗ _(3.29)

Considerando as relações entre os gaps da região em relação ao seu próprio estado estacionário, tem se que:

( ) − ∗_{= Φ ( ) −} ∗ _(3.30)

( ) − ∗_{= Θ ( ) −} ∗ _(3.31)

Introduzindo a equação (3.30), para i = 1, ..., N, na função de produção (3.2), reescrita da seguinte forma: ( )= + ( )+ ∑ ( ), e considerando a seguinte relação:

∑ + + ( ) − ∗ ₌

Λ [ ( ) − ∗_{] + + ∑ ( ) −} ∗ _(3.32)

Considerando equação 3.29, pode-se obter a expressão referente à Λi:

Λ =

∑ ( )

∑ (3.33)

Desta forma, tem se que:

( )

= − [ ( ) − ∗_{] (3.34)}

Por fim, considerando a hipótese 3.31, é obtida a equação que descreve a velocidade de convergência (λi):

=

∑ ( )

De acordo com Ertur e Koch (2007), essas hipóteses indicam que o gap existente da região i em relação ao seu próprio steady-state é proporcional ao gap correspondente do país j. Em outras palavras, se Θj = 1, as regiões i e j possuem a mesma distância em relação ao seu

estado estacionário. Se Θj > 1 (Θj < 1) a região i está mais distante (mais próxima) do seu

estado estacionário que a região j. Ademais, quanto mais próxima a região j estiver do seu estado estacionário, maior será a sua velocidade de convergência.

Assim como o modelo de Solow ampliado, desenvolvido por Mankiw et al. (1992), o modelo de Solow espacialmente ampliado também prevê a convergência de renda por trabalhador, desde que haja um controle em relação aos outros determinantes de crescimento. Desta forma, o modelo desenvolvido por Ertur e Koch (2007), prevê a existência de um processo de convergência condicional para as regiões. Matematicamente, subtraindo a renda por trabalhador no período inicial (ln yi(0)) da renda por trabalhador em no período t (ln yi(t)),

tem se que: ( ) − (0) = − 1 − 1 − 1 − − 1 − (0) + (1 − ) ∗ _(3.36)

Reescrevendo a equação 3.36 na forma matricial: = _{( , )}− (0) + ∗_{, onde}

G é um vetor (Nx1) das taxas de crescimento da renda real por trabalhador, y(0) é um vetor (Nx1) dos logaritmos das rendas iniciais por trabalhador, y* é um vetor (Nx1) dos logaritmos da renda real por trabalhador no estado estacionário, ( , ) é um vetor (Nx1) de 1 e D é uma

matriz diagonal (NxN) com termos 1 − na diagonal principal. Reescrevendo a

equação 3.27 na forma matricial: ∗= ( − ) Ω + − , onde

= ( ) e S é um vetor (Nx1) de logaritmos da taxa de poupança dividida pela taxa efetiva de depreciação, pré-multiplicando ambos os lados pelo inverso de D( − ) e rearranjando os termos, obtêm-se:

= ( )+

1

1 − − Ω − ( )− (0) + (0) +

Finalmente, para se obter a equação que representa a convergência condicional no modelo de Solow espacialmente ampliado, reescreve-se a equação acima (3.37) para a região i: ( ) − (0) = Δ − 1 − (0) + 1 − + 1 − − − − 1 − + 1 − − ln( + + ) + 1 − (1 − ) 1 − − (0) − − 1 − 1 − − + 1 − 1 − − ln + + + + ( ) 1 − ∑ ( ) − (0) (3.38)

sendo Δ uma constante igual a + Ω − 1 − ∑ .

Assim, somente pode-se dizer que a taxa de crescimento da renda real por trabalhador é uma função negativa da renda por trabalhador inicial depois de controlar para os outros determinantes no estado estacionário. Em outras palavras, a taxa de crescimento da renda real por trabalhador também depende de outros fatores, como a taxa de poupança e o crescimento da população. Além disso, o último termo da equação 3.38 indica que a taxa de crescimento depende da taxa de crescimento das regiões vizinhas ponderadas pela velocidade de convergência.