Modelo do conhecimento do professor de Matemática

De acordo com Pin-Fan & Godino, (2015), um dos pioneiros nesta área foi Shulman (1986), o qual propôs no seu trabalho três categorias para o conhecimento do professor: conhecimento do conteúdo matemático, conhecimento pedagógico e conhecimento curricular.

Este autor num outro trabalho por ele realizado, Shulman (1987) ampliou a sua ideia e propôs sete categorias do conhecimento, as quais denominou de “categorias do conhecimento base do professor de Matemática:

1) Conhecimento do conteúdo matemático; 2) Conhecimento pedagógico geral;

3) Conhecimento curricular;

4) Conhecimento pedagógico do conteúdo; 5) Conhecimento das características dos alunos;

6) Conhecimentos dos contextos educativos, que vão desde o funcionamento do grupo de turmas, o governo e financiamento dos distritos escolares;

e 7) conhecimento dos fins, propósitos e valores da educação”.

Para Shulman (1987), existem pelo menos quatro fontes principais deste conhecimento de base do professor de Matemática:

1) Formação académica na disciplina a ensinar;

2) Os materiais e o contexto do processo educativo institucionalizado (por exemplo os currículos, os livros de texto, a organização escolar e financiamento e a estrutura da profissão docente);

3) A investigação sobre a escolarização, as organizações sociais, a aprendizagem humana o ensino e o desenvolvimento, e os demais fenómenos socioculturais que influem no trabalho dos professores;

4) A sabedoria que outorga as mesmas práticas, as máximas que guiam a prática dos professores competentes.

Por outro lado, em várias investigações sobre formação de professores de matemática nota- se de forma constante referenciar-se do modelo conhecido como Mathematical Knowledge for Teaching, desenvolvido por Ball e seus colabodores.

O referido modelo para o conhecimento do conteúdo matemático tem semelhanças com a faceta epistémica do modelo Conhecimento Didático-Matemático baseado no Enfoque

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Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática onde se distinguem três categorias de conhecimento: o comum, do horizonte matemático e o especializado. Este pensamento se considera muito útil no desenho de planos de formação de professores de matemática.

2.3.2. Modelo do Conhecimento Didático-Matemático baseado no Enfoque Ontossemiótico

É de referir que no Enfoque Ontossemiótico do Conhecimento e a Instrução Matemática interpreta-se o conhecimento comum, como o conhecimento do conteúdo que as orientações curriculares propõem para o ensino.

Para além do conhecimento comum e ampliado do conteúdo, o professor deve ter também um conhecimento especializado a que podemos chamar de Conhecimento Didático- Matemático, tal como foi descrito inicialmente em Godino (2009) e afinado em Godino & Pin-Fan (2013).

Os autores referenciados propõem que o conhecimento especializado deve incluir a pluralidade de significados de objetos, a diversidade de configurações de objetos e processos inerentes a tais significados e as devidas articulações inerentes entre elas.

O modelo descrito em Godino (2009) e afinado em Godino & Pin-Fan (2013), propõem três categorias gerais de conhecimento sobre o conteúdo matemático que são similares as do modelo Mathematical Knowledge for Teaching. Estes autores reestruturam e redefinem o conteúdo matemático nas seguintes categorias:

1) Conhecimento comum do conteúdo; 2) Conhecimento ampliado do conteúdo;

3) Conhecimento especializado, o qual inclui quatro subcategorias: 3.1) Conhecimento do conteúdo especializado;

3.2) Conhecimento do conteúdo em relação com os alunos; 3.3) Conhecimento do conteúdo em relação com o ensino; e

3.4) Conhecimento do conteúdo em relação com o currículo e o contexto no qual se desenvolve a prática de ensino e aprendizagem.

Neste sentido, para estes autores, o professor de Matemática deve conhecer a Matemática escolar do nível educativo onde ensina, ou onde vai ensinar, assim como também deve poder articular os referidos conhecimentos com os correspondentes dos níveis subsequentes.

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Estes conhecimentos constituem o que se pode chamar por “conhecimento do conteúdo matemático por si” (Scheiner, 2015, p. 3250), em que no modelo proposto pelo Enfoque Ontossemiótico do Conhecimento e a Instrução Matemática constituem, o chamado conhecimento comum (que correspondente ao nível em que se ensina) e ampliado (relativos a níveis superiores).

Neste sentido, de acordo o que foi referenciado, os conhecimentos puramente matemáticos não são suficientes para que o professor realize outras ações, como: de organização, implementação e avaliação dos processos de ensino aprendizagem, pois que existem outros fatores que influenciam também nestes processos tão complexos.

Por esta razão, é necessário que o professor tenha também um conhecimento mais aprofundado da Matemática e da maneira como irá ensinar aos seus estudantes. Este binómio é o que se pode chamar de conhecimento didático-matemático, conforme ilustra a figura 3.

Figura 3. Dimensões e componentes do Conhecimento Didático-Matemático.

Fonte: Adaptado de Pin-Fan & Godino (2015, p. 98)

Fonte: Adaptado de Pin-Fan & Godino (2015, p. 98)

CONHECIMENTO DIDÁTICO-MATEMÁTICO

DIMENSÃO DIDÁTICA

Conhecimento pedagógico do conteúdo

Faceta ecológica Faceta epistémica

Faceta cognitiva e afetiva

Faceta interacional e Mediacional

DIMENSÃO META DIDÁTICO-MATEMÁTICA

Conhecimentos relativos as normas, meta normas, restrições contextuais, reflexões sobre a prática, avaliação da idoneidade didática

DIMENSÃO MATEMÁTICA

Conhecimento do conteúdo

Conhecimento comum do conteúdo

Conhecimento ampliado do conteúdo

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A dimensão matemática do Conhecimento Didático-Matemático, permite ao professor resolver tarefas matemáticas, mas que não é suficiente para a prática de ensino. Por essa razão, o professor deve ter também em atenção as subcategorias:

Do conhecimento especializado da dimensão matemática (faceta epistémica); Do conhecimento sobre os aspetos cognitivos dos alunos (facetas cognitivas);

Do conhecimento sobre os aspetos afectivos, emocionais e atitudes dos alunos (faceta afetiva);

Do conhecimento sobre as interacções que surgem na sala de aula (faceta interacional);

Do conhecimento sobre recursos e meios que podem melhorar a aprendizagem dos alunos (faceta mediacional);

Do conhecimento sobre os aspetos curriculares, contextuais, sociais, políticos e económicos..., que influenciam a gestão da aprendizagem dos alunos (facetas ecológicas).

Para estes autores, o conhecimento especializado da dimensão matemática (faceta epistémica do Conhecimento Didático-Matemático), inclui as concepções levantadas no modelo de competência de Schoenfeld & Kilpatrick (2008, p. 322), sobre o conhecimento da matemática escolar com profundidade e amplitude, assim como a concepção de Hill, Ball e Schilling (2008, pp. 377-378) sobre o conhecimento especializado do conteúdo.

De uma forma geral, a faceta epistémica do Conhecimento Didático-Matemático permite aos professores, ou aos futuros professores de Matemática, responder as questões como:

 Além da forma como resolveu a tarefa, existe outra maneira de resolver a mesma?  Como se explicaria a solução do exercício proposto a um aluno que não conseguiu

resolvê-lo pelos procedimentos vistos na aula?

 Qual o conhecimento que se põe em jogo ao resolver o exercício proposto?

Quanto as facetas cognitivas e afectivas, tal como são definidas na abordagem Ontossemiótico (Godino, Batanero & Font, 2007, Godino, 2009), proporcionam uma melhor aproximação e compreensão do conhecimento que os professores de matemática devem ter sobre as características e aspetos que estão relacionados à forma de pensar, conhecer, agir e sentir dos alunos da turma sobre um problema matemático.

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A faceta cognitiva do Conhecimento Didático-Matemático, oferece aos professores o conhecimento necessário para "refletir e avaliar" a proximidade ou grau de ajuste de significados pessoais (conhecimento dos alunos) em relação aos significados institucionais (conhecimento do ponto de vista institucional.

Para o efeito, o professor deve poder prever os ajustes necessários (durante a fase da planificação ou desenho) e negociar (durante a fase da implementação), com base nas produções do alunos ou nas produções esperadas, respostas possíveis a um problema específico, concepções erradas, conflitos ou erros que surgem em relação à solução, hiperligações (matematicamente corretos ou não) entre o centro de estudo matemático e outros objetos matemáticos necessários para resolver o problema.

Já na faceta afetiva do Conhecimento Didático-Matemático, trata-se dos conhecimentos necessários para se entender os aspetos que os motivam ou não, a resolver um certo problema, etc. Em geral, esse é um conhecimento que ajuda a descrever as experiências e os sentimentos dos alunos dentro de uma aula específica ou com um problema matemático específico, num nível educacional específico, tendo em consideração os aspetos ligados ao cariz ecológico.

O conhecimento adquirido pelos professores como parte das duas facetas (cognitiva e afetiva), ajuda a responder questões do tipo:

 Que tipo de respostas se espera dos alunos?

 Quais são as principais dificuldades que os estudantes podem ter ao resolver uma determinada tarefa matemática?

 Que tipo de erros os estudantes poderiam cometer ao resolver a tarefa proposta?  Que medida se implementaria para motivar os alunos a resolver uma determinada

tarefa matemática?

A faceta interacional do Conhecimento Didático-Matemático, envolve o conhecimento necessário para prever, implementar e avaliar sequências de interacções entre os agentes que participam no processo. Trata-se do processo de ensino e aprendizagem, orientado para a determinação e negociação de significados (aprendizagem) dos estudantes.

Essas interacções não só são estabelecidas entre o professor e os estudantes (professor - estudante), mas também podem ser estabelecidas entre estudantes (estudante - estudante), estudantes e professores - recursos - estudantes. Neste caso o estudo das normas e Meta

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normas, ocupa um papel importante na gestão da aprendizagem dos alunos, daí que tem grande ênfase nessa faceta interacional.

Finalmente, a faceta ecológica do Conhecimento Didático-Matemático, refere-se ao conhecimento que se deve ter sobre o currículo de matemática do nível em que se ensina o objeto matemático, suas relações com outros currículos e as relações que o currículo tem com os aspetos sociais, políticos e económicos, que apoiam e condicionam o processo de ensino e aprendizagem.

Na Figura 4, se apresenta as seis facetas que compõem a dimensão didática do Conhecimento Didático-Matemático, que por sua vez podem ser usadas para analisar, descrever e desenvolver o conhecimento dos professores ou futuros professores envolvidos nas diversas fases dos processos de ensino e aprendizagem de temas concretos de matemática: estudo preliminar, planeamento ou desenho, implementação e avaliação. Para além disso, como parte de seu Conhecimento Didático-Matemático, o professor deve conhecer e compreender os aspetos envolvidos em cada uma das fases do desenho didático.

Figura 4. Dimensões e componentes do modelo do Conhecimento Didático-Matemático do professor de Matemáticas

Fonte: Adaptado de Pin-Fan & Godino (2015, p. 103)

CONHECIMENTO DIDÁTICO-MATEMÁTICO Níveis de análise (Conhecimento didático ou didático- matemático) Dimensão Matemática Fases do desenho didático Estudo preliminar Desenho Implementação Avaliação Problemas Práticas Objetos Processos Conhecimento comum do conteúdo Conhecimento ampliado do conteúdo

Dimensão Meta didático-matemático

Normas e Meta normas Idoneidade didática

Dimensão Didática (Facetas do conhecimento do professor envolvido no processo de ensino- aprendizagem: Epistemica, cognitiva, ecológica, Mediacional, afetiva e interacional

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De acordo com Pin-Fan, Assis & Castro, (2015), no modelo do Conhecimento Didático- Matemático do professor de matemática, as dimensões são intimamente relacionadas com as fases propostas para a elaboração de projetos de ensino: estudo preliminar, desenho, implementação e avaliação. As três dimensões do modelo do Conhecimento Didático- Matemático do professor de Matemática, podem ser sintetizadas da seguinte forma:

A. Dimensão Matemática: conhecimento que o professor põe em jogo para resolver

um problema na atividade matemática e implementar na aula com seus alunos, assim como a capacidade de o vincular com os objetos matemáticos que são tratados, em conformidade com o currículo, tendo em atenção os cursos ou aulas seguintes.

Esta dimensão considera as subcategorias de conhecimento geral do conteúdo e do conhecimento ampliado do conteúdo. Assim, a primeira subcategoria, trata do conhecimento sobre um objeto matemático que é necessário para resolver problemas em relação a um tema específico das matemáticas num nível de ensino onde se destaca a situação problema (Pin-Fan & Godino, 2015).

B. Dimensão Didática: De acordo com Pino-Fan, Godino & Font (2014), esta dimensão

se refere ao conhecimento pedagógico do conteúdo e inclui as subcategorias: 1) Conhecimento especializado do ensino da Matemática (faceta epistémica); 2) Conhecimento sobre aspetos cognitivos dos alunos (faceta cognitiva);

3) Conhecimento sobre os afectos, emoções e atitudes dos alunos (faceta afetiva);

4) Conhecimento sobre as interacções que se suscitam na aula (faceta interacional);

5) Conhecimento sobre os recursos e os meios que podem ser utilizados pelos alunos (faceta mediacional);

6) Conhecimento sobre os aspetos curriculares, contextuais, sociais, políticos e económicos etc. que podem influenciar a gestão da aprendizagem dos alunos (faceta ecológica).

C. Dimensão Meta Didático-Matemático: considerações que permitem a concepção e

implementação de um exercício matemático específico; envolve conhecimentos sobre as normas e meta normas ligadas com as distintas facetas da dimensão

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didática, o que implica também ter conhecimentos sobre os critérios de idoneidade didática como ferramenta de avaliação e auto reflexão da prática docente.

2.3.3. Componentes e indicadores de idoneidade didática de programas de formação de