Modelo dos tanques acoplados

O controlo de nível de líquidos em tanques é um problema comum em várias indústrias que requerem que os líquidos sejam bombeados e armazenados entre vários depósitos. Por vezes, os tanques são utilizados para misturar líquidos e originar reações que podem originar mudanças volumétricas nos mesmo, exigindo um controlo do nível e da taxa de fluxo dos líquidos, para não ultrapassar os limites de armazenamento do tanque [41].

O presente sistema de tanques acoplados consiste em dois tanques, cada um com uma bomba que controla a entrada de líquido e uma saída no fundo para escoamento de líquidos. Os tanques estão ligados por um canal que permite o fluxo de líquido entre eles [41].

Bomba 1 Tanque 1

h

₁

q

₁

q

₂

h

₂ Tanque 2 Saída 1 Saída 2 Bomba 2

Figura 3.6: Diagrama do processo dos tanques acoplados. Adaptado de Antão et al. [41]. A dinâmica do modelo da Figura 3.6 pode ser descrito pelas Equações (3.18) e (3.19). Equações e tabela retiradas do trabalho [41].

a1 dh1 dt = q1− α1 √ h1 − sgn(h1− h2)α3p|h1 − h2| (3.18) a2 dh2 dt = q2− α2 √ h2 + sgn(h1− h2)α3p|h1 − h2| (3.19) Os parâmetros deste modelo podem ser consultados na tabela Tabela 3.4.

Tabela 3.4: Parâmetros do sistema dos tanques acoplados.

a1 a2 α1 α2 α3

CAPÍTULO 3. CASOS DE ESTUDO

Escolhendo quais bombas e válvulas são manipuladas, é possível desenvolver um sistema SISO ou Multi-Input Multi-Output (MIMO) para avaliar as variações do nível de líquidos nos tanques. No cenário presente, a bomba 1 é a variável de entrada e o nível de líquido no tanque 2 é a variável a ser controlada. Utilizando esta configuração, este sistema é considerado como um sistema SISO não linear de segunda ordem.

Capítulo 4

Identificação de sistemas com redes

neuronais

4.1

Introdução

Identificação de sistemas é a tarefa de descrever de forma matemática, um modelo, de um sistema dinâmico através de um conjunto de medidas efetuadas no sistema real. Há vários motivos para estabelecer descrições matemáticas de sistemas, tais como para aplicações de simulação, previsão, deteção de falhas e projeto de sistemas de controlo. A utilização de técnicas de identificação de sistemas deve-se ao fato da implementação de modelos através das leis da física, química, economia, entre outros, ser bastante complexos [4].

Dependendo do conhecimento a priori sobre o sistema, o problema de identificação pode ser abordado de várias formas. Se a identificação é feita exclusivamente a partir de dados medidos, assumindo que existe pouco, ou nenhum, conhecimento sobre o comportamento do sistema, o processo de identificação do modelo é chamado de caixa preta. Por outro lado, caixa branca é quando a descrição do modelo faz-se através das leis físicas do sistema.

Contudo, ter algum conhecimento sobre o comportamento do sistema é sempre útil. Este conhecimento pode ser sobre a ordem do sistema, se a dinâmica é rápida ou lenta, a frequência de amostragem adequada, propriedades sobre estabilidade, gama de operação, grau de não linearidades, entre outros.

Apesar do facto de todos os sistemas reais serem, em princípio, não lineares, a maior parte literatura sobre identificação de sistemas lida com identificação de sistemas lineares, e as algumas razões para tal são [4]:

• Muitos dos sistemas podem ser descritos por um modelo linear em certos regimes de operação.

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS

• Torna-se mais simples projetar controladores para sistemas cujo o modelo é linear. Contudo, as não linearidades por vezes são tão severas que utilizar um modelo não linear melhora substancialmento o desempenho do sistema de controlo. A implementação de modelos não lineares é então um passo importante para controlar sistemas não lineares [4].

4.2

Metodologia

Quando se identifica um modelo de um sistema é comum seguir o procedimento da Figura 4.1. Recolha de dados Escolha da estrutura Treino do modelo Validação Aceite Não aceite

Figura 4.1: Diagrama com a metodologia para identificação de sistemas. Adaptado de Nørgaard et al. [4].

4.2.1 Recolha de dados

Este primeiro passo consiste em coletar um conjunto de dados que descrevem como o sistema se comporta numa gama de operação. O objetivo é variar as entradas, u, e observar o impacto na saída, y.

O conjunto de dados que contém as entradas e saídas,

ZN = {[u(t), y(t)], t = 1, ... , N } (4.1) é utilizado para descrever um modelo do sistema. N é o número de amostras e t está representado em tempo discreto.

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS

O planeamento desta etapa inclui várias escolhas, entre elas, quais os sinais a medir e quando os medir, sendo então os principais obstáculos deste passo a escolha do período de amostragem e a escolha de um sinal de entrada que excite o sistema em toda a sua gama de operação. Este último passo é particularmente importante quando se trata de sistemas não lineares.

A escolha de um período de amostragem pequeno permite que a saída siga o sinal de entrada rapidamente e um sinal de controlo mais suave, mas os problemas numéricos vão ser mais pronunciados. Esta escolha deve ser feita como um compromisso entre a identificação e o projeto do controlador. Uma regra prática muito utilizada é escolher h = ₁₀tr, onde tr é o tempo de subida do sistema em malha aberta e h o período de amostragem.

A escolha de sinais de entrada tem uma influência sobre os dados observados, os sinais de entrada determinam qual a gama de operação do sistema e quais partes do sistema são excitadas durante o ensaio. Uma boa escolha para um sinal de entrada são os sinais Pseudo Random Binary Sequence (PRBS). No entanto, para sistemas não lineares é importante que todas as frequências e amplitudes estejam representadas [4].

Outra regra prática passa por remover a média e escalar os sinais à mesma variância. Escalar os dados torna o algoritmo de treino numericamente mais robusto e leva a uma convergência mais rápida. Regra geral, escalar os dados tende a originar melhores modelos [4].

4.2.2 Escolha da estrutura

A escolha de uma estrutura para o modelo é um passo importante na identificação de sistemas. Existem vários tipos de estruturas tais como, modelos lineares, redes PMCs, redes neuronais radiais, entre outras. Uma vez selecionada uma destas estruturas é preciso escolher o vetor de regressão.

Nesta dissertação são utilizada redes PMCs como estrutura do modelo. Estruturas que se baseiam em redes neuronais representam um desenvolvimento das bem conhecidas estruturas de modelos lineares, por exemplo as estruturas Autoregressive, External Input (ARX) e Autoregressive, Moving Average, External Input (ARMAX) .

De acordo com Ljung [43] um sistema é linear se é possível descrevê-lo por um modelo que tem a forma de:

y(t) = G(q−1) u(t) + H(q−1) e(t) (4.2) Onde G e H são funções de transferência discretas, q−1 é o operador do tempo de atraso e e(t) é ruído branco.

Se o sistema é linear o objetivo da identificação é determinar estimativas para as duas funções de transfência G e H. O critério que define se a estimativa é boa está relacionado com a habilidade do modelo calcular previsões um passo à frente.

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS

ˆ

y(t|t − 1) = H−1(q−1)G(q−1) u(t) + [1 − H−1(q−1)] y(t) (4.3) Uma vez que as funções de transferência G e H dependem de parâmetros, G(q−1, θ), a Equação (4.3) pode ser escrita como:

ˆ

y(t|t − 1, θ) = H−1(q−1, θ)G(q−1, θ) u(t) + [1 − H−1(q−1, θ)] y(t) (4.4) De um forma simplificada o modelo pode ser escrito também por:

ˆ

y(t|θ) = ϕ>θ (4.5)

Onde θ é o vetor com os parâmetros do modelo e ϕ é o vetor de regressão que contêm sinais atrasados do sinal de entrada, do sinal de saída ou sinais que derivam destes dois sinais.

Modelos ARX e NNARX

A forma imediata de parametrizar G e H é representá-los como funções racionais e os parâmetros corresponderem aos coeficientes do numerador e denominador [43].

A relação entrada-saída mais simples é obtida pela descrição linear sob forma de equações diferença:

y(t) + a1y(t − 1) + ... + any(t − n) = b1u(t − 1) + ... + bmu(t − m) + e(t) (4.6) Onde os parâmetros são:

θ = [a1, a2, ... , an, b1, b2, ... , bm]> (4.7) Se introduzirmos: G(q−1, θ) = B(q −1₎ A(q−1) (4.8) e H(q, θ) = 1 A(q−1₎ (4.9) Onde A(q−1) = 1 + a1q−1+ ... + anq−n (4.10) e B(q−1) = b1q−1+ ... + bmq−m (4.11)

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS

A equação da previsão de um passo à frente (Equação (4.4)) é dada por:

ˆ

y(t|t − 1, θ) = B(q−1, θ) u(t) + [1 − A(q−1, θ)] y(t) = ϕ>θ (4.12) Onde

ϕ = [y(t − 1), ... , y(t − n), u(t − d), ... , u(t − d − m)]> (4.13) θ = [−a1, ... , −an, b1, ... , bm]> (4.14) Apesar de G ter pólos, a equação da previsão de um passo à frente é uma expressão algébrica entre os sinais de entrada e de saída, pelo que, a equação da previsão vai ser sempre estável, mesmo que o sistema seja instável sendo esta uma das vantagens das estruturas ARX [4].

Para incluir a identificação de sistemas não lineares, a tarefa de escolher uma estrutura de modelos torna-se mais complexa. As redes neuronais são modelos que se encaixam neste tipo de problema, e a escolha da estrutura é efetuada selecionando as entradas da rede neuronal e a estrutura interna da mesma.

A estratégia utilizada nesta dissertação passa por implementar uma estrutura interna com redes neuronais, mas as entradas deste modelo são as mesmas dos modelos utilizados em sistemas lineares.

A saída do modelo na forma de preditor é:

ˆ

y(t) = f [ϕ(t), W ] (4.15)

Onde ϕ é o vetor de regressão, W é o vetor que contem os pesos da rede neuronal e f é a função que a rede neuronal realiza. Dependendo da escolha do vetor de regressão é possível implementar diferentes estruturas de modelos para identificação de sistemas não lineares. Se escolhermos o vetor de regressão do modelo linear ARX obtêm-se a estrutura chamada de Neural Network ARX (NNARX) (Figura 4.2).

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS u(t-d) u(t-d-m) _y(t) y(t-1) y(t-n) NNARX ^

Figura 4.2: Diagrama de uma estrutura NNARX.

4.2.3 Treino do modelo

Com os conjuntos de dados extraídos e com a estrutura do modelo escolhida, o próximo passo é treinar a rede neuronal com estes conjuntos de dados, sendo este processo computacionalmente intensivo.

Como foi referido no Capítulo 2 este passo resume-se a um problema de otimização. Dado o conjunto de dados:

ZN = {[u(t), y(t)], t = 1, ... , N } (4.16) e o modelo

ˆ

y(t) = f [ϕ(t, W ), W ] (4.17)

Onde f é a função realizada pela rede neuronal, ϕ(t, W ) é o vetor de regressão, W o vetor com os pesos da rede e t representa os instantes de amostragem, o processo de treino visa mapear o conjunto de dados de treino ao melhor modelo, isto é, ao melhor conjunto de parâmetros W .

Este é um processo que começa por inicializar os parâmetros W0 aleatoriamente. Os pesos são ajustados de acordo com o método do gradiente. Uma vez que este é um problema não linear, o mínimo é encontrado através de um processo iterativo: a regra de atualização dos novos parâmetros é dada pela Equação (4.18).

W(i+1) = W(i)− (i)dJ (W )(i)

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS

4.2.4 Validação do modelo

Neste passo, o modelo calculado é avaliado para verificar se a rede neuronal consegue representar o comportamento do sistema adequadamente.

Para tal, várias redes neuronais são inicializadas com pesos aleatórios e treinadas individualmente. Deste conjunto de redes neuronais treinadas é necessário utilizar um método para avaliar qual modelo representa melhor o comportamento do sistema. Um método intuitivo e simples é verificar a resposta da rede neuronal e compará-la com a resposta do sistema real. Uma vez que as redes neuronais são treinadas com o conjunto de dados de treino é tendencioso avaliá-las neste mesmo conjunto de dados. Para avaliar o modelo de forma imparcial, um novo conjunto de dados é usado (dados de validação).

Após treinadas as redes neuronais, é medido do Erro Quadrático Médio (EQM), no conjunto de dados de validação. A rede neuronal que apresentar menor EQM no conjunto de dados de validação, é a rede neuronal que é selecionada como identificador do sistema e a que é utilizada no Capítulo 5. No entanto, para um conjunto de dados de validação, uma rede neuronal pode obter resultados melhores em comparação às outras, mas os resultados podem ser diferentes usando outros conjuntos de dados.

4.3

Resultados

Nesta secção são apresentados os resultados para os quatro modelos discutidos na Secção 3.2. É utilizada a ferramenta MATLAB para implementação de um código que permita testar individualmente cada um dos quatro modelos. Inicialmente, são efetuados testes em malha aberta para obter algum conhecimento sobre o sistema.

Após alguma análise aos modelos são recolhidos conjuntos de dados que representam a sua dinâmica. Esta recolha de dados é efetuada, com auxílio do MATLAB, escolhendo um sinal de entrada pseudo-aleatório e o sistema é excitado com este sinal de modo a obter o sinal de saída.

Os modelos da Secção 3.2 são sistemas de segunda ordem (n = m = 2) e é admitido que o tempo de atraso é de um período de amostragem (d = 1). O conjunto de dados de treino e validação é composto por:

Z =           

u(2), u(1), y(2), y(1)

u(3), u(2), y(3), y(2)

..

. ... ... ...

u(N − 1), u(N − 2), y(N − 1), y(N − 2)            (4.19)

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS

implementar e treinar as redes neuronais. Esta biblioteca tem vários parâmetros de entrada, entre os quais: número de camadas escondidas, número de neurónios de cada camada, taxa de aprendizagem (), fator de regularização (λ), épocas de treino e número de amostras por época. Para cada modelo são treinadas várias redes neuronais com uma e duas camadas e diferentes números de neurónios em cada camada (5, 8 e 10), para verificar a convergência para redes com mais de uma camada. Como será mostrado mais tarde é possível utilizar modelos com maior complexidade juntamente com o algoritmo de controlo MPC. Depois de treinadas as redes neuronais são medidos os EQMs do sinal de treino e de validação.

De forma sumária e analisando as Figuras 4.3, 4.5, 4.7, e 4.9, verifica-se que as redes neuronais tem boa capacidade de prever o comportamento dos modelos e que são um bom tipo de identificador de sistemas.

As Tabelas 4.1 e 4.2 apresentam de forma resumida os menores valores de EQMs obtidos para os diferentes modelos e diferentes redes neuronais (5, 8 e 10 neurónios) para redes com uma e duas camadas respetivamente.

Tabela 4.1: Erros quadráticos médios mais baixos para diferentes números de neurónios numa rede neuronal com uma camada para os quatro modelos.

Neurónios 5 8 10

Modelo EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação

Motor DC 0.027770 0.026927 0.029334 0.028037 0.018168 0.017544 Matemático 0.000232 0.000256 0.000128 0.000144 0.000153 0.000170 Reator 0.004624 0.004452 0.004607 0.004401 0.004488 0.004353 Tanques 0.089882 0.093764 0.088659 0.092088 0.088771 0.091505

Tabela 4.2: Erros quadráticos médios mais baixos para diferentes números de neurónios numa rede neuronal com duas camadas para os quatro modelos.

Neurónios 5 8 10

Modelo EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação

Motor DC 0.048335 0.048992 0.081344 0.078891 0.041149 0.039926 Matemático 0.000100 0.000116 0.000113 0.000123 0.000094 0.000112 Reator 0.004062 0.003963 0.004171 0.004100 0.004039 0.003952 Tanques 0.240182 0.264764 0.169215 0.185177 0.134722 0.150280

4.3.1 Modelo do motor DC

Para este caso, e por forma a obter uma rede neuronal que identifique bem o comportamente deste modelo, é escolhido como sinal de entrada um sinal pseudo-aleatório com amplitudes entre [−14.4, 14.4] V, sendo estes os limites de saturação do motor DC, com 50000 amostras. O modelo é excitado com este sinal e o sinal de saída é guardado. Da inspeção

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS

visual da resposta em malha aberta é escolhido o período de amostragem deste modelo como sendo h = 0.1 segundos. A Tabela 4.3 representa os parâmetros de entrada para o treino das redes neuronais.

Tabela 4.3: Parâmetros de treino da rede do modelo do motor DC.

 λ N amostras por época Épocas

0.2 1e-6 10000 5000

Neste modelo, a tensão aplicada é afetada com um sinal de ruído gaussiano com média zero e variância 0.2 V enquanto a medida do valor da velocidade angular é afetada com um sinal de ruído gaussiano com média zero e variância 0.005 rad/s. As Figuras 4.3 e 4.4 representam uma fração do sinal de saída, do conjunto de dados de validação, da comparação entre o sinal real e o sinal gerado pela rede neuronal, para o caso em que a rede tem apenas uma camada e para o caso com duas camadas.

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −20 −10 0 10 20

Tempo (em amostras, h = 0.1 segundos)

rad/s

Saída real (y) e saída gerada pela rede neuronal (ˆy)

y ˆ y

Figura 4.3: Comparação entre a resposta da rede neuronal, com uma camada, ˆy e do sistema y, para o modelo do motor DC.

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −20 −10 0 10 20

Tempo (em amostras, h = 0.1 segundos)

rad/s

Saída real (y) e saída gerada pela rede neuronal (ˆy)

y ˆ y

Figura 4.4: Comparação entre a resposta da rede neuronal, com duas camadas, ˆy e do sistema y, para o modelo do motor DC.

As Tabelas 4.4 e 4.5 apresentam uma tabela com os EQMs do conjunto de dados de treino e validação. Verifica-se que a rede neuronal consegue generalizar bastante bem uma vez que os EQMs do conjunto de dados de treino e os EQMs do conjunto de dados de validação, para além de serem baixos, são também semelhantes para cada simulação. Nesta tabela, as células das colunas do EQM do conjunto de dados de validação estão preenchidas com cores, onde cores vermelhas representam um EQM maior, enquanto cores verdes representam um EQM menor. Verifica-se que a rede neuronal tem uma tendência para apresentar melhores resultados com 8 e 10 neurónios.

CAPÍTULO 4. IDENTIFICA ÇÃ O DE SISTEMAS COM REDES NEUR ONAIS

Tabela 4.4: Erro quadrático médio para diferentes números de neurónios numa rede neuronal com uma camada para o modelo do motor DC.

Neurónios 5 8 10

Simulação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação

1 0.069042 0.071569 0.039159 0.039362 0.047260 0.046093 2 0.048260 0.048820 0.030881 0.030301 0.039191 0.040523 3 0.057638 0.060176 0.032848 0.034726 0.037761 0.039015 4 0.032833 0.034023 0.029334 0.028037 0.041538 0.042775 5 0.050924 0.052844 0.039234 0.040721 0.041024 0.042353 6 0.036487 0.036222 0.029605 0.029702 0.018168 0.017544 7 0.033574 0.034534 0.043186 0.044459 0.022875 0.022473 8 0.038917 0.041559 0.043641 0.042485 0.036911 0.038762 9 0.027770 0.026927 0.030288 0.030927 0.028356 0.028268 10 0.069042 0.071569 0.033526 0.034077 0.045464 0.046752 41

CAPÍTULO 4. IDENTIFICA ÇÃ O DE SISTEMAS COM REDES NEUR ONAIS

Tabela 4.5: Erro quadrático médio para diferentes números de neurónios numa rede neuronal com duas camadas para o modelo do motor DC.

Neurónios 5 8 10

Simulação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação

1 0.178866 0.181376 0.094316 0.097588 0.079367 0.077839 2 0.180022 0.194616 0.105687 0.110628 0.051167 0.050815 3 0.127118 0.126627 0.089917 0.095134 0.055266 0.053840 4 0.222465 0.241167 0.124255 0.128743 0.128389 0.131187 5 0.097784 0.099770 0.179378 0.190670 0.086136 0.081979 6 0.048335 0.048992 0.080136 0.079421 0.103172 0.099659 7 0.151785 0.157924 0.081344 0.078891 0.058908 0.058370 8 0.143494 0.153180 0.101200 0.100123 0.106509 0.105318 9 0.162217 0.169117 0.143976 0.150785 0.079266 0.078878 10 0.158110 0.170678 0.092482 0.096099 0.041149 0.039926 42

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS

4.3.2 Modelo matemático não linear

Neste modelo o sinal de entrada é um sinal pseudo-aleatório com amplitudes entre [−5, 5] e com 50000 amostras. O perído de amostragem é escolhido através da inspeção da resposta em malha aberta como sendo h = 0.2 segundos. A Tabela 4.6 representa os parâmetros de entrada para o treino com redes neuronais.

Tabela 4.6: Parâmetros de treino da rede do modelo matemático não linear.

 λ N amostras por época Épocas

0.15 1e-5 10000 5000

Para este modelo, o sinal de entrada é afetado com um sinal de ruído gaussiano com média zero e variância 8.333e−4. As Figuras 4.5 e 4.6 representam uma porção do sinal de saída, do conjunto de dados de validação, da comparação entre o sinal real e o sinal gerado pela rede neuronal, para o caso em que a rede tem apenas uma camada e para o caso com duas camadas. 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −2 −1 0 1 2

Tempo (em amostras, h = 0.2 segundos)

Saída real (y) e saída gerada pela rede neuronal (ˆy)

y ˆ y

Figura 4.5: Comparação entre a resposta da rede neuronal, com uma camada, ˆy e do sistema y, para o modelo matemático não linear.

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −2 −1 0 1 2

Tempo (em amostras, h = 0.2 segundos)

Saída real (y) e saída gerada pela rede neuronal (ˆy)

y ˆ y

Figura 4.6: Comparação entre a resposta da rede neuronal, com duas camada, ˆy e do sistema y, para o modelo matemático não linear.

As Tabelas 4.7 e 4.8 representam os EQMs do conjunto de dados de treino e validação. Mais uma vez verifica-se que o processo de treino apresenta uma boa generalização, com erros de treino e de validação baixos e similares. Desta tabela também se conclui que o processo de treino apresenta resultados melhores para redes neuronais com 8 e 10 neurónios.

CAPÍTULO 4. IDENTIFICA ÇÃ O DE SISTEMAS COM REDES NEUR ONAIS

Tabela 4.7: Erro quadrático médio para diferentes números de neurónios numa rede neuronal com uma camada para o modelo matemático não linear.

Neurónios 5 8 10

Simulação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação

1 0.000275 0.000308 0.000591 0.000638 0.000475 0.000515 2 0.001266 0.001359 0.000418 0.000456 0.000273 0.000296 3 0.000646 0.000690 0.000128 0.000144 0.000269 0.000296 4 0.000342 0.000373 0.000393 0.000425 0.000199 0.000222 5 0.001554 0.001668 0.000452 0.000491 0.000153 0.000170 6 0.000296 0.000327 0.000611 0.000658 0.000473 0.000513 7 0.001386 0.001486 0.000252 0.000278 0.000526 0.000567 8 0.000630 0.000669 0.000709 0.000765 0.000500 0.000547 9 0.000232 0.000256 0.000360 0.000391 0.000297 0.000323 10 0.001878 0.002008 0.000632 0.000681 0.000301 0.000329 45

CAPÍTULO 4. IDENTIFICA ÇÃ O DE SISTEMAS COM REDES NEUR ONAIS

Tabela 4.8: Erro quadrático médio para diferentes números de neurónios numa rede neuronal com duas camadas para o modelo matemático não linear.

Neurónios 5 8 10

Simulação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação EQMTreino EQMValidação

1 0.000625 0.000637 0.000187 0.000208 0.000100 0.000115 2 0.000327 0.000352 0.000119 0.000136 0.000164 0.000176 3 0.000246 0.000263 0.000119 0.000137 0.000094 0.000112 4 0.000423 0.000454 0.000657 0.000707 0.000136 0.000150 5 0.000377 0.000391 0.000737 0.000774 0.000201 0.000215 6 0.000100 0.000116 0.000109 0.000127 0.000103 0.000121 7 0.000308 0.000331 0.000130 0.000148 0.000131 0.000147 8 0.000578 0.000603 0.000126 0.000145 0.000104 0.000124 9 0.000375 0.000394 0.000113 0.000123 0.000144 0.000166 10 0.000163 0.000186 0.000344 0.000372 0.000438 0.000464 46

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM REDES NEURONAIS

No documento Controlo de sistemas não lineares com redes neuronais (páginas 51-69)