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Essa se¸c˜ao descreve a metodologia de modelagem funcional evolutiva proposta baseada em regras com antecedentes gerados a partir do algoritmo de agrupamento evolutivo descrito na se¸c˜ao 3.2.
O modelo proposto nessa se¸c˜ao pode ser visto como um conjunto de regras nebulosas do tipo Takagi-Sugeno de primeira ordem, em que os antecedentes possuem fun¸c˜oes de pertinˆencia multivari´aveis e os parˆametros dos consequentes s˜ao estimados por otimiza¸c˜ao local utilizando o algoritmo recursivo de m´ınimos quadrados ponderados.
A cada itera¸c˜ao, o n´umero de regras do modelo ´e igual ao n´umero de grupos j´a encontrados pelo algoritmo de agrupamento. Assim, a cada itera¸c˜ao um novo grupo pode ser criado, um grupo existente pode ter seus parˆametros modificados ou dois grupos redundantes podem ser unidos. Em outras palavras, uma regra pode ser criada, atualizada ou duas regras podem ser unidas. Os antecedentes de cada regra apresentam-se na forma:
xk ´e A
i (3.21)
onde xk
´e um vetor de entrada 1 × m e Ai ´e um conjunto nebuloso com fun¸c˜ao de pertinˆencia
Gaussiana multivari´avel (3.16) com parˆametros extra´ıdos do grupo correspondente. O modelo ´e formado por regras do tipo:
Ri : Se xk ´e Ai ent˜ao yi = ai0+ m
X
j=1
aijxj (3.22)
onde Ri ´e a i-´esima regra nebulosa, para i = 1, · · · , gk (gk ´e o n´umero de grupos no instante
k), e aij s˜ao os parˆametros do consequente da regra i.
A sa´ıda do modelo ´e calculada como a m´edia ponderada da sa´ıda de cada regra, isto ´e: ˆ yk= gk X i=1 Ψ(xk) iyi (3.23)
com fun¸c˜oes de pertinˆencia normalizadas: Ψ(xk) i = exp£(xk − ck i)Σ −1 i (x k − ck i)T ¤ Pgk j=1exp£(xk− ckj)(Σkj) −1 (xk− ck j)T ¤ (3.24) onde ck
i e Σki s˜ao o centro e a matriz de dispers˜ao do grupo i na itera¸c˜ao k.
Os parˆametros do consequente de cada regra s˜ao atualizados utilizando-se o algoritmo recursivo de m´ınimos quadrados ponderados (WRLS2) (Astrom e Wittenmark, 1988; Ljung,
1999), de forma similar a outros modelos nebulosos evolutivos (Angelov e Filev, 2004; Lughofer, 2008a). Assim, os parˆametros do consequente e a matriz Qi da f´ormula de atualiza¸c˜ao para a
regra i na itera¸c˜ao k ´e dada por: ak+1i = a k i + Qk+1i x k Ψi(xk)£yik− ((x k )Taki) ¤ Qk+1i = Q k i − Ψi(xk)Qkixk(xk)TQki 1 + (xk)TQk ixk (3.25) Assim como o algoritmo de agrupamento, o modelo funcional proposto nessa se¸c˜ao pode iniciar a partir de uma ´unica observa¸c˜ao ou a partir de um conjunto de amostras.
Caso seja iniciado a partir de um conjunto de amostras, um algoritmo de agrupamento em batelada ´e utilizado para estimar os parˆametros dos antecedentes das regras iniciais e o algoritmo de m´ınimos quadrados ponderados ´e utilizado para estimar os parˆametros dos consequentes.
Caso seja iniciado a partir de uma ´unica observa¸c˜ao, uma ´unica regra ´e criada com fun- ¸c˜ao de pertinˆencia do antecedente centralizada na observa¸c˜ao e matriz de dispers˜ao ajustada como um valor pr´e-definido (Σinit). Os parˆametros dos consequentes s˜ao ajustados como
a0
1 = [y0 0 · · · 0] e Qk = ωIm+1, onde Im+1 ´e a matriz identidade m + 1 × m + 1 e ω ´e
um valor real grande, por exemplo, ω ∈ [100, 10000], (Astrom e Wittenmark, 1988). `
A medida que novas observa¸c˜oes s˜ao processadas pelo algoritmo de agrupamento, esse pode criar, atualizar ou unir grupos. Assim, o conjunto de regras do modelo tamb´em deve ser atualizado.
Caso um novo grupo seja criado, a regra correspondente ´e criada com parˆametros do antece- dente extra´ıdos do grupo. O parˆametro anewdo consequente ´e definido como a m´edia ponderada
dos parˆametros das regras existentes:
anew = Pgk i=1aiρi Pgk i=1ρi (3.26) e a matriz de covariˆancia ´e ajustada para ωIm+1.
Caso um novo grupo seja atualizado, os parˆametros dos antecedentes tamb´em s˜ao atua- lizados de acordo com o novo centro do grupo e matriz de dispers˜ao, e os parˆametros dos consequentes s˜ao atualizados de acordo com (3.25).
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Finalmente, se dois grupos i e j s˜ao unidos, ent˜ao os parˆametros dos consequentes da regra resultante s˜ao computados da seguinte forma:
anew =
aiρi+ ajρj
ρi+ ρj
(3.27) e a matriz de covariˆancia ´e ajustada para ωIm+1
O modelo proposto nessa se¸c˜ao difere dos demais modelos funcionais nebulosos evolutivos baseados em um conjunto de regras, propostos na literatura, pois:
• utiliza fun¸c˜oes de pertinˆencia multivari´aveis para os conjunto nebulosos dos antecedentes das regras para evitar a perda de informa¸c˜ao relacionada a intera¸c˜ao entre as vari´aveis de entrada;
• o algoritmo de agrupamento proposto ´e robusto a ru´ıdos e outliers uma vez que ´e derivado do aprendizado participativo, um conceito que provˆe um mecanismo de suaviza¸c˜ao de dados incompat´ıveis (Yager, 2007);
• a cria¸c˜ao de novas regras ´e realizada por um mecanismo autom´atico para ajustar valores de limiares considerando a dimens˜ao do espa¸co de entrada, de forma a evitar a maldi¸c˜ao da dimensionalidade.
O processo de modelagem nebulosa funcional evolutiva proposto ´e sumarizado pelo algoritmo 3.
Algoritmo 3 Algoritmo de modelagem funcional evolutiva proposto
1: Calcula a sa´ıda do modelo
2: Apresenta a nova observa¸c˜ao ao algoritmo de agrupamento
3: if Um grupo foi criado then
4: Cria uma nova regra
5: end if
6: if Um grupo foi modificado then
7: Atualiza os parˆametros do antecedente da regra relacionada
8: Atualiza os parˆametros do consequente da regra usando WRLS 9: end if
10: if Dois grupos foram unidos then
11: Une as regras correspondentes
O algoritmo proposto tem uma complexidade temporal O(gk)3, para avaliar e atualizar
os parˆametros a cada itera¸c˜ao, onde gk ´e o n´umero de regras na itera¸c˜ao k. Note que um
modelo nebuloso evolutivo t´ıpico, baseado em agrupamento, tamb´em possui uma complexidade temporal de, no m´ınimo, O(gk). A cada itera¸c˜ao, alguma medida de similaridade deve ser
estimada entre a amostra corrente e todos os grupos existentes, sendo que cada grupo est´a, normalmente, associado a uma regra.