Em sala de aula, ocorreu uma discussão com alguns alunos acerca do assunto “apagão” provocado pela crise energética do ano de 2001. Através da televisão, as empresas responsáveis pelo setor, apresentavam gráficos de consumo diário, ao longo de horas, da quantidade de energia gasta pelo Estado de São Paulo. Foi solicitado aos alunos que procurassem por gráficos de consumo de energia, sendo que um dos alunos apresentou o gráfico abaixo:
O reconhecimento e familiarização com o problema em função dos aspectos social, econômico e político da situação foi também discutido em sala de aula.
A pergunta norteadora dos trabalhos foi: “qual a quantidade de energia elétrica gasta nos dois dias representados pelas curvas do gráfico”. Foi decidido que as estratégias para a obtenção de possíveis respostas para a pergunta seriam independentes do dia. Então ocorreu a primeira simplificação em relação ao problema, por parte dos alunos: o interesse seria pelos dados do dia 10/05/01, a curva “azul” do gráfico.
A primeira discussão deu-se quanto aos aspectos físicos das grandezas representadas no gráfico. Os alunos observaram que o eixo das abscissas era dado em horas, portanto tempo. O eixo das ordenadas representava a potência.
Duas variáveis haviam portanto sido identificadas no problema: • A variável “t” representaria a grandeza tempo.
• A variável “P” representaria a grandeza potência.
A pergunta referia-se ao consumo de energia, enquanto o gráfico representava potência. A aluna Márcia observou que “a potência era a variação da energia com o tempo”.
Desta forma uma nova variável denotada por “E” representando a grandeza energia incorporavasse ao problema. Neste ponto, foram discutidos, novamente, os conceitos de variável dependente e independente.
Na discussão, foi observado que a aluna Márcia se referia a uma taxa relacionada, ou que a potência, pontualmente, discretamente, em cada unidade
de tempo, nada mais era do que uma derivada, dada por P(t)=E’(t)=dE/dt. Novamente, um dos aspectos positivos do método realça-se, ou seja, a sua não linearidade, proporcionava o enfoque em conceitos vistos no início do curso. Os objetivos, contratados, por professor e alunos, desde o início do curso, não eram somente o de resolução de problemas. Os objetivos envolviam análise conceitual de todos os aspectos do Cálculo. Nesta análise conceitos eram portanto vistos e revistos, a cada momento sob um prisma e “maturidade conceitual” típicas de cada aluno e de cada momento do curso. Desta forma, uma análise que possuía apenas aspecto gráfico, passava a possuir aspectos físicos.
A discussão prosseguiu em termos de unidades dimensionais, senão vejamos: o eixo das ordenadas dimensionalmente era dado por megawatts e o eixo das abscissas dimensionalmente dado por horas. Foi discutido que Potência=∆E/∆t, onde E era a energia e t o tempo.
Neste ponto, o aluno Ricardo observou que “se multiplicássemos as dimensões dos dois eixos teríamos a dimensão de energia, megawatts-hora”. O objetivo inicial da proposta, a análise gráfica de uma situação física havia ocorrido. A partir desta idéia, formulamos a hipótese: o problema poderia ser resolvido pelo cálculo de áreas conhecidas e como o “gráfico era quadriculado”, como observou a aluna Maria, “facilitaria este cálculo”.
Apresentava-se o momento de um tratamento numérico a um dos assuntos do Cálculo, ou seja, a área abaixo de uma curva.
Incorporou-se ao modelo a variável “i”, que representava a quantidade de retângulos cujas áreas seriam calculadas e somadas. Para esta
aproximação o ponto amostral ti* foi escolhido como o sendo o ponto médio do subintervalo [ti-1,ti]. Para este caso, foram escolhidos 12 subintervalos, ou seja, os sub-intervalos possuíam acréscimo de ∆t=2 horas no eixo das abscissas.
Dentre os vários valores levantados pelos alunos, apresentaremos: Energia=[P(1) + P(3) + P(5) +...+P(23)]∆t
Energia=[1750+1700+1700+2300+2700+2800+2000+2600+2700+2900+ 2500+1900] x 2=55100 Megawatts-hora, proporcionando um tratamento numérico-discreto a um problema de Cálculo.
A partir desta situação-problema foi feita a pergunta: “como melhorar este valor de aproximação para a energia consumida?”.
Foi observado por um grupo de alunos que se “fizéssemos a soma com 24 retângulos o resultado seria melhor, pois o lado superior do retângulo se aproximaria da curva e uma quantidade menor de erro ocorreria e que quanto mais retângulos fossem colocados no cálculo, melhor seria o resultado”.
Além disso, mesmo não fazendo parte da ementa do curso, foi discutido com os alunos a aproximação da função, pela aresta de um trapézio (Método dos Trapézios) e por segmentos de parábolas (Método de Simpson). Caso existisse tempo, este problema seria implementado através de programas escritos no ambiente MatLab ou Modellus, através das Regras de Trapézio e Regra de Simpson, o que efetivamente não ocorreu em função da exigência do conhecimento de estruturas de controle dos programas, e em função de conhecimento de aproximações por séries de potências para entendimento destes métodos numéricos, por parte dos alunos, bem como o aspecto que se
tornou restritivo: o tempo em função das atividades propostas. Observamos que estes métodos são analisados na disciplina Métodos Numéricos.
O momento era propício para a introdução do coneceito de área abaixo da curva, sob a forma da Soma de Riemann e, com a conseqüente definição da integral como símbolo para esta soma:
Para validação numérica dos resultados deveríamos possuir os dados reais da Companhia de Energia Elétrica, os quais não dispúnhamos. Porém, a idéia fundamental do modelo era a aproximação da área abaixo da curva por áreas de retângulos e a prova geométrica deste fato foi feito pela Soma de Riemann.