Modelo de Herschel-Bulkley

O modelo de Herschel-Bulkley também busca modelar o comportamento dos fluidos vis- coplásticos, mas propõe um comportamento semelhante ao modelo power-law quando a ten- são cisalhante é maior que a tensão limite de escoamento. Sua equação constitutiva é definida como:

τ = τ0+ Kγ.n se τ > τ0 γ. = 0 se τ < τ0

(2.17) Quando n=1, o modelo de Herschel-Bulkley é igual ao de Bingham. Como esse modelo é composto por 3 coeficientes diferentes, é possível modelar comportamentos mais comple- xos: além do efeito viscoplástico, o modelo de Herschel-Bulkley também permite modelar o comportamento pseudoplástico ou dilatante quando a tensão de cisalhamento for maior que a tensão limite de escoamento. Para tanto, o valor de n segue a mesma lógica do modelo power-law.

A versão regularizada proposta por Papanastasiou para o modelo de Bingham pode ser modificada a fim de conseguir regularizar o modelo de Herschel-Bulkley também, na seguinte forma:

τ = (1 − exp(−mγ.))τ0+ Kγ.n (2.18)

Devido à semelhança entre o modelo proposto por Papanastasiou e o modelo modificado de Papanastasiou, este modelo também apresenta as mesmas dificuldades com a magnitude

da viscosidade quando γ. tende a zero e com a definição do valor de m. Além disso, esse modelo não apresenta um patamar η∞, o que significa que se n<1, a viscosidade aparente tende a zero quando γ. tende ao infinito. Da mesma forma, se n>1 a viscosidade aparente au- menta indefinidamente com o aumento da taxa de deformação. Esses dois resultados não tem significado físico e não são coerentes com os valores obtidos em experimentos (SARAMITO, 2016).

Entre os escoamentos que podem ser modelados pela equação constitutiva de Herschel- Bulkley, destacam-se os escoamentos presentes na perfuração de um poço de petróleo. Nessa aplicação, um fluido viscoplástico escoa dentro de um canal anular transportando os resíduos do processo de perfuração do poço. Como existe um grande interesse industrial nessa aplica- ção, é possível encontrar diversos trabalhos na literatura sobre ela. Os trabalhos de Nouar, Desaubry e Zenaidi (1998), Kelessidis et al. (2006) e Bicalho (2015) são alguns exemplos desses trabalhos.

Nouar, Desaubry e Zenaidi (1998) analisa numericamente e experimentalmente a trans- ferência de calor em um fluido de Herschel-Bulkley escoando dentro um canal anular. Neste trabalho, a temperatura do cilindro externo é mantida constante, e o cilindro interno apresenta uma rotação. Em um primeiro momento, o estudo considera as propriedades do fluido como constantes, e analisa os efeitos da rotação do cilindro interno sobre os perfis de velocidade e de temperatura. A rotação do cilindro interno aumenta a taxa de cisalhamento do fluido próximo a ele, o que facilita a transição de uma zona aparentemente não escoada para uma zona escoada. Dessa forma, o estudo busca definir um número de Rossby crítico, que indica que o escoamento não apresenta mais zonas não escoadas. O número de Rossby é definido como a razão entre as forças de inércia pela força de Coriolis. O número de Rossby crítico é dado em função do índice de comportamento do fluido, da razão entre os raios e do número de Herschel-Bulkley do fluxo axial. Em seguida, os autores propõem outra modelagem da viscosi- dade, onde o índice de consistência K pode variar com a temperatura. Os perfis de velocidade e de temperatura e as regiões escoadas e aparentemente não escoadas são comparadas para cada uma das duas modelagens da viscosidade. Os autores chegam a conclusão que o índice de consistência K aumenta sua influência sobre a transferência de calor quando o problema passa a considerar que o cilindro interno rotaciona.

22 dos três parâmetros do modelo de Herschel-Bulkley (n, K e τ0) a partir de dados experimen- tais. Os autores afirmam que a aplicação direta de técnicas de regressão não-linear para determinação dos parâmetros podem levar a valores de τ0 negativos, resultado que não pos- sui significado físico. Para solucionar esse problema, os autores propõem o uso do método da seção áurea para determinação de τ0, e os demais parâmetros continuam sendo obtidos pela regressão não-linear. Os autores buscaram na literatura diversas bases de dados expe- rimentais e aplicaram sobre elas três técnicas para a obtenção dos parâmetros do modelo, evidenciando as diferenças entre os valores obtidos. Os métodos comparados são: a regres- são não-linear sem restrições, a regressão não-linear com a restrição τ0 > 0 e o método proposto pelos autores. Em seguida, os autores realizaram simulações com os parâmetros obtidos através de diferentes técnicas, para evidenciar as diferenças geradas pela escolha de um determinado método para obtenção dos parâmetros do modelo. O estudo de caso pro- posto para se analisar as diferenças entre os métodos foi o escoamento dentro de um canal anular concêntrico. Os autores concluíram que a escolha de método adequado tem influência significativa sobre os resultados, em especial nos cálculos sobre perda de carga, nos perfis de viscosidade aparente e em outros parâmetros operacionais.

Bicalho (2015) analisa diversas variações do escoamento em um duto anular. São consi- deradas configurações com dutos anulares concêntricos e excêntricos, com e sem rotação do tubo interno, e com a presença ou não de uma obstrução parcial do canal anular. Além desses fatores, também foi variada a concentração polimérica, alterando assim as propriedades do fluido. Foram realizadas simulações numéricas usando o software Fluentr _{com diferentes pa-} râmetros operacionais e reológicos, para geometrias com diferentes excentricidades e alturas de obstrução. Os resultados para a queda de pressão dessas simulações foram comparados com os resultados experimentais. Também foram injetadas partículas nos experimentos, a fim de poder observar suas trajetórias e comparar esse resultado com as linhas de corrente obtidas nas simulações. Os resultados numéricos e experimentais apresentaram boa corre- lação. A rotação do eixo interno não apresentou influência na queda de pressão, enquanto o aumento da concentração polimérica e da vazão aumentaram a queda de pressão. Além disso, o aumento da excentricidade diminuiu a queda de pressão. Também foi observada uma forte interação entre os efeitos das variáveis estudadas.