menos 1,5 vezes a distˆancia interquart´ılica e maiores que o terceiro quartil mais 1,5 vezes a distˆancia interquart´ılica.
4.1
Modelo Hipergeom´etrico
No modelo hipergeom´etrico, o estimador para o tamanho populacional N ´e encontrado algebricamente atrav´es do m´etodo dos momentos. J´a em rela¸c˜ao ao m´etodo de m´axima ve- rossimilhan¸ca, isto n˜ao ocorre, sendo necess´ario recorrer ao aux´ılio de m´etodos num´ericos. Para facilitar as simula¸c˜oes, para cada caso, considera-se o tamanho da amostra n igual em todas as etapas.
Na Figura 1, ´e apresentado um gr´afico do logaritmo do n´ucleo da fun¸c˜ao verossimi- lhan¸ca para este modelo considerando o n´umero de elementos em cada ´epoca de amostra- gem (n) fixado em 5 e o n´umero de etapas (k) fixado em 10 para um ´unico processo.
−90 −85 −80 −75 −70 −65 0 250 500 750 1000 N V alor
Figura 1: Gr´afico do logaritmo do n´ucleo da fun¸c˜ao verossimilhan¸ca - Modelo Hiper- geom´etrico.
A partir do gr´afico gerado acima, pode-se observar que a fun¸c˜ao apresenta um m´aximo global, que por sua vez seria a estimativa de m´axima verossimilhan¸ca.
Na Tabela 1 s˜ao apresentados os resultados das simula¸c˜oes para as estimativas de m´axima verossimilhan¸ca considerando-se o tamanho populacional igual a 100. Para esse caso, primeiramente o n´umero de elementos selecionados em cada ´epoca de amostragem ´e
4.1 Modelo Hipergeom´etrico 35
fixado, alternando somente o n´umero de etapas do processo e posteriormente ´e invertido, ou seja, o n´umero de elementos selecionados passa a ser alternado, enquanto o n´umero de etapas torna-se fixo.
Tabela 1: Primeiro caso do estudo de simula¸c˜ao para ˆN - Modelo Hipergeom´etrico. N = 100
Cen´ario M´edia de ˆN EP de ˆN L. Inferior L. Superior
I n = 5 e k = 5 119.46 67.23 115.15 123.77
II n = 5 e k = 10 102.85 27.135 101.14 104.55
III n = 5 e k = 15 98.70 14.50 97.78 99.62
IV n = 10 e k = 5 97.58 19.96 96.24 98.88
V n = 15 e k = 5 100.43 15.04 99.47 101.38
Pelos resultados obtidos, verifica-se que nenhuma estimativa m´edia se afasta do real valor do parˆametro N . Contudo, para uma confian¸ca de 95%, nos 4 primeiros cen´arios o intervalo de confian¸ca n˜ao contempla o real do valor do parˆametro, apenas no ´ultimo cen´ario esta situa¸c˜ao ocorre.
A Figura 2 apresenta uma compara¸c˜ao entre os boxplots dos v´ıcios relativos dos cinco cen´arios. −50 0 50 100 150 I II III IV V Cenário Vício Relativ o
Figura 2: Compara¸c˜ao entre os v´ıcios relativos do primeiro caso - Modelo Hipergeom´etrico.
Nos quatro ´ultimos cen´arios, a mediana concentra-se em torno de zero. Observa-se tamb´em que nos cen´arios III e IV os v´ıcios s˜ao mais concentrados, corroborando com o desvio padr˜ao ser menor, conforme ilustrado na Tabela 1.
4.1 Modelo Hipergeom´etrico 36
Agora, sob as mesma circunstˆancias, ´e feito o c´alculo das estimativas m´edias para o m´etodo dos momentos. Relembrando que quando n˜ao ocorrem recapturas, a estimativa n˜ao existe. Essas situa¸c˜oes foram desconsideradas para o c´alculo da estimativa m´edia.
A Tabela 2 apresenta as estimativas m´edias, desvio padr˜ao, limite superior e inferior considerando os mesmos cen´arios da Tabela 1.
Tabela 2: Segundo caso do estudo de simula¸c˜ao para ˆN - Modelo Hipergeom´etrico. N = 100
Cen´ario M´edia de ˆN EP de ˆN L. Inferior L. Superior
I n = 5 e k = 5 90.35 30.22 88.014 92.70
II n = 5 e k = 10 121.039 59.099 117.18 124.89
III n = 5 e k = 15 120.35 64.22 116.32 124.39
IV n = 10 e k = 5 126.90 48.53 123.74 130.053
V n = 15 e k = 5 120.81 31.55 118.80 122.83
Em nenhum dos cen´arios, para uma confian¸ca de 95%, o intervalo de confian¸ca cont´em o real valor do parˆametro, ou seja, de fato, as estimativas m´edias pelo m´etodo dos mo- mentos n˜ao s˜ao precisas e nem confi´aveis.
Na Figura 3, s˜ao apresentados os v´ıcios relativos de cada cen´ario da Tabela 2.
−50 0 50 100 I II III IV V Cenário Vício Relativ o
4.1 Modelo Hipergeom´etrico 37
Note que n˜ao h´a um padr˜ao entre os cen´arios e que em todos eles os v´ıcios s˜ao dispersos e n˜ao se aproximam de zero, mostrando que as estimativas s˜ao viesadas, o que de fato corrobora com o que foi ilustrado na tabela.
No terceiro e quarto caso do estudo de simula¸c˜ao, s˜ao considerados os resultados obtidos pelo m´etodo da m´axima verossimilhan¸ca e m´etodo dos momentos, em que o real valor do parˆametro (N ) igual a 1000.
A Tabela 3 apresenta os resultados das estimativas m´edias de m´axima verossimilhan¸ca, erro padr˜ao e os limites do intervalo de confian¸ca.
Tabela 3: Terceiro caso do estudo de simula¸c˜ao para ˆN - Modelo Hipergeom´etrico. N = 1000
Cen´ario M´edia de ˆN EP de ˆN L. Inferior L. Superior
I n = 10 e k = 10 1121.07 488.33 1089.86 1152.29
II n = 10 e k = 15 1048.51 294.85 1029.86 1067.16
III n = 15 e k = 10 1018.49 267.10 1001.39 1035.66
IV n = 15 e k = 20 1013.65 145.42 1004.58 1022.72
V n = 20 e k = 15 1015.04 146.96 1005.88 1024.19
Pelos valores ilustrados na Tabela 3 acima, apesar das estimativas n˜ao se afastarem tanto do real valor do parˆametro, para uma confian¸ca de 95%, os intervalos n˜ao contem- plam o real valor de N .
Na Figura 4 abaixo ´e apresentado um boxplot comparativos dos v´ıcios relativos do terceiro caso. −50 0 50 100 I II III IV V Cenário Vício Relativ o
4.1 Modelo Hipergeom´etrico 38
Observe que os v´ıcios se desenvolvem em torno da reta igual a zero, e que nos cen´arios IV e V a amplitude ´e menor, indicando que as estimativas se concentram mais em torno de um valor.
Sob as mesmas condi¸c˜oes, agora ´e apresentado na Tabela 4 as estimativas pelo m´etodo dos momentos.
Tabela 4: Quarto caso do estudo de simula¸c˜ao para ˆN - Modelo Hipergeom´etrico. N = 1000
Cen´ario M´edia de ˆN EP de ˆN L. Inferior L. Superior
I n = 10 e k = 10 774.40 253.60 754.09 794.71
II n = 10 e k = 15 990.92 409.68 961.28 1020.56
III n = 15 e k = 10 1232.69 633.63 1190.42 1274.97
IV n = 15 e k = 20 1103.78 428.19 1076.04 1131.53
V n = 20 e k = 15 1241.50 550.72 1206.68 1276.32
Em nenhum dos cen´arios o intervalo cont´em o real valor de N . Os v´ıcios relativos s˜ao apresentados na Figura 5 abaixo.
−50 0 50 100 I II III IV V Cenário Vício Relativ o
Figura 5: Compara¸c˜ao entre os v´ıcios relativos do quarto caso - Modelo Hipergeom´etrico.
Veja que no cen´ario I, todos os v´ıcios relativos est˜ao fora do entorno da reta. Os outros boxplots j´a contemplam a reta.
Observe que as estimativas para o m´etodo dos momentos tendem a se afastar mais do real valor de N ao compar´a-las com as estimativas de m´axima verossimilhan¸ca.
4.1 Modelo Hipergeom´etrico 39
sentadas as estimativas fornecidas pelo m´etodo da m´axima verossimilhan¸ca. Observe que
Tabela 5: Quinto caso do estudo de simula¸c˜ao para ˆN - Modelo Hipergeom´etrico. N = 10000
Cen´ario M´edia de ˆN EP de ˆN L. Inferior L. Superior
I n = 15 e k = 15 8763.34 1898.21 8643.88 8882.80
II n = 20 e k = 20 9229.68 1461.96 9138.61 9320.75
III n = 20 e k = 30 9529.94 1242.39 9452.94 9606.95
IV n = 30 e k = 20 9580.12 1205.02 9504.90 9655.33
V n = 30 e k = 30 9847.61 1045.13 9782.83 9912.38
nenhum intervalo cont´em o valor de N , por´em o n´umero de etapas e o n´umero de ele- mentos capturados ´e pequeno em rela¸c˜ao ao tamanho populacional e as estimativas nem se distanciam tanto do real valor. Note ainda que em todos os cen´arios as estimativas subestimam o valor de N .
A Figura 6 ilustra a compara¸c˜ao entre os v´ıcios relativos do ´ultimo caso.
−40 −20 0 I II III IV V Cenário Vício Relativ o
Figura 6: Compara¸c˜ao entre os v´ıcios relativos do quinto caso - Modelo Hipergeom´etrico.
Note que as medianas dos boxplots passam praticamente em torno do zero e que a amplitude dos boxplots torna-se menor a medida que o n´umero de etapas e elementos capturados aumenta.
E como foi feito anteriormente nos outros casos, na Tabela 6 ´e apresentado as es- timativas para o m´etodo dos momentos supondo as mesmas condi¸c˜oes do quinto caso.