Modelo de Housner (1954)

O modelo de Housner (1954) permite avaliar de forma simples a resposta dinâmica de um reservatório com líquido armazenado no seu interior. O modelo é o resultado da integração da equação diferencial que representa o fenômeno dinâmico do conteúdo, supondo as seguintes hipóteses:

O líquido armazenado no reservatório é incompressível, irrotacional, sem viscosidade e inicialmente em repouso;

A estrutura do reservatório é rígida e o material tem comportamento de acordo como regime elástico;

Os termos não lineares na equação fundamental do movimento podem ser desprezados. Como consequência, é possível assumir que o líquido permanece sempre em contato com as paredes do reservatório (não há cavitação).

Considerando somente os efeitos de uma componente horizontal no movimento do solo, Housner mostrou que os resultados obtidos numa análise baseada na solução da

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equação de Laplace por séries infinitas, podem estabelecer um modelo simplificado. Neste modelo uma parte do líquido tem um movimento rígido com a oscilação do reservatório e a outra parte restante atua como uma massa sujeita às paredes através de molas que representam a ação do respingo do líquido.

Os efeitos dinâmicos da parte do líquido aderido em forma rígida às paredes do reservatório são conhecidos com o nome de impulsivo. Os efeitos do movimento livre do líquido são denominados convectivos. Os pressupostos básicos que levaram a estes resultados podem ser justificados pelas seguintes comprovações:

A compressibilidade do líquido poderia ter importância se o tempo que demora uma onda acústica em se propagar através do reservatório não fosse desprezável em comparação com o período fundamental do movimento dele. Por isto, para grandes estruturas tais como barragens, a compressibilidade do líquido pode ter um papel importante, mas em reservatórios geralmente não ocorre dessa forma;

O amortecimento, devido à viscosidade do líquido é só um dos vários mecanismos de amortecimento que afetam à estrutura e não é a mais importante. Por esta razão é perfeitamente aceitável fazer uma formulação teórica do fenômeno assumindo líquidos sem viscosidade;

A componente da pressão associada à velocidade do líquido é proporcional ao quadrado desta velocidade. Na maior parte dos sismos severos, as pressões induzidas pela velocidade do líquido são pequenas comparadas com as outras componentes da pressão hidrodinâmica. Isto permite usar uma teoria linear das ondas ao longo da superfície livre, embora localmente a hipótese seja omitida (na zona perto das paredes do reservatório) e o efeito total não é afetado de forma significativa.

Com as hipóteses anteriormente descritas, Housner (1954) apresentou um modelo mecânico equivalente para avaliar a resposta sísmica de um reservatório com líquido no seu interior (Figura 3.9). Este modelo corresponde simplesmente à interpretação física da equação do movimento transformando os efeitos impulsivos e convectivos em massas equivalentes aderidas às paredes deste às alturas adequadamente determinadas. A ação oscilatória do líquido foi transformada em apoios elásticos para a massa convectiva,

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enquanto a massa impulsiva foi interpretada como se estivesse unida em forma rígida às paredes do reservatório.

A análise hidrodinâmica do comportamento de reservatórios parte do estudo analítico de reservatórios retangulares fazendo uma extensão ao tipo cilíndrico. Num reservatório retangular assume-se que a superfície do líquido é totalmente horizontal, aplicando uma aceleração horizontal na direção x às paredes do reservatório (o eixo x é horizontal no sistema de eixos coordenados) é possível determinar a pressão atuante nas paredes devidas a esta aceleração considerando uma coluna de líquido com profundidade h, comprimento 2l e uma espessura unitária, segundo mostrado na Figura 3.10.

Sob estas condições, o líquido será forçado a um movimento na direção x entre um par de membranas finas verticais sem massa e espaçadas a uma distancia dx. Quando às

Figura 3.9: Modelo da analogía mecânica do reservatório (HOUSNER, 1954)

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paredes do reservatório é aplicada esta aceleração as membranas são aceleradas com o líquido e o líquido também é comprimido verticalmente com respeito às membranas (VIDAL, 2007).

A velocidade vertical que sofre o líquido devido à aceleração é v, que depende da velocidade µ na direção horizontal da seguinte maneira:

( 3.4)

Esta equação especifica os limites do fluxo do líquido. Ao ser considerado o líquido como fluido de densidade ρ é possível determinar a aceleração , a qual será proporcional à velocidade υ. Adicionalmente pode-se considerar que a aceleração é proporcional à velocidade µ, e que a pressão no fluido entre duas membranas é dada pela equação hidrodinâmica padrão:

(3.5)

A resultante da força horizontal na membrana será:

(3.6)

Substituindo υ em p é obtida uma equação que representa a pressão na parede, com uma única incógnita que é a velocidade do solo µ. Housner propõe utilizar o método de Hamilton para determinar a energia potencial a partir da energia cinética e, assim obter uma equação diferencial mais simples que pode ser resolvida ao se considerar as condições de contorno do problema. Com isto é obtida a pressão impulsiva na parede em função da profundidade do líquido, a largura e a altura desejada:

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O efeito das pressões impulsivas leva o líquido a oscilar, pelo que é necessário conhecer os períodos fundamentais e modos de vibração. Para isto, é considerado que o líquido esta restringido entre membranas rígidas paralelas inicialmente horizontais livres de girar como na Figura 3.11.

Estas restrições podem ser descritas através das seguintes equações:

(3.8)

(3.9)

A pressão no líquido é dada por:

(3.10)

Aplicando a equação do movimento para uma fatia do líquido é possível solucionar a equação para as condições de contorno correspondentes ao problema, que têm forma sinusoidal.

Além disso, é possível definir o comportamento oscilatório do líquido calculando a frequência natural de vibração mediante a máxima energia cinética que é produzida. A equação exata dada por Graham e Rodriguez (1952) corresponde a:

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(3.11)

A qual permite, então, obter a pressão sobre as paredes:

(3.12)

Em 1963, Housner apresentou uma serie de relações que descrevem o comportamento dinâmico do líquido num reservatório baseando-se nas observações realizadas nos seus trabalhos anteriores simplificando seu estudo. Neste trabalho afirma que para representar de forma adequada o comportamento dinâmico de um líquido armazenado só é preciso considerar uma só massa móvel (massa convectiva) e uma só massa fixa (massa impulsiva), apresentando equações para avaliar tais massas, suas respectivas alturas desde a base e a rigidez da mola que atua junto à massa convectiva. Na análise de um reservatório tem-se duas situações: quando hl < 0,75D e quando hl > 0,75D

que são descritas a continuação:

a) Reservatórios com hl ≤ 0,75 D

Para um reservatório cilíndrico com hl ≤ 0,75 D, a massa impulsiva mi é:

(3.13)

A massa convectiva mc é:

(3.14)

A altura a partir do fundo do reservatório da massa impulsiva hi:

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A altura a partir do fundo do reservatório da massa convectiva hc:

(3.16)

A rigidez da mola imaginária kc que conecta a massa convectiva às paredes do

reservatório é:

(3.17)

Os períodos impulsivos Ti e convectivos Tc (Figura 3.12) são determinados com as

equações 3.18 e 3.19:

onde (3.18)

onde (3.19)

b) Para reservatórios com hl ≥ 0,75 D

Quando hl > 0,75 D, as equações anteriores são aplicáveis para calcular ml e hl sem

modificar a massa nem a altura do líquido. Para calcular mc e hc, deve-se considerar Figura 3.12: Coeficientes impulsivo e convectivo para reservatórios cilíndricos

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que o líquido à profundidade 0,75D, medida desde a superfície, move-se rigidamente ao reservatório, de modo que as expressões dadas para mc e hc, serão aplicadas só à

parte do líquido situada acima dessa altura (Figura 3.13).

A teoria de Housner é a base teórica utilizada por uma serie de países na elaboração das suas normas de projeto para reservatórios (ACI 350 e EUROCODE08).