2.3 PRINC´IPIOS DA VISCOELASTICIDADE N ˜ AO LINEAR
2.3.3 Modelo Jeffrey-Oldroyd
Tamb´em conhecido como Fluido Oldroyd-B, este modelo ´e a generaliza¸c˜ao do modelo linear de Jeffrey, dado pela equa¸c˜ao (2.36), cuja forma diferencial foi dada por
σ′ + τ1 ∂σ′ ∂t = 2µ D+ τ2 ∂D ∂t , (2.150)
com 0 ≤ τ2 ≤ τ1, em que τ1 e τ2s˜ao o tempo de relaxa¸c˜ao e retarda¸c˜ao respectivamente
e µ denota a viscosidade de cisalhamento. Nota-se que fazendo τ2 = 0 o modelo reduz-se
ao modelo de Maxwell de viscoelasticidade linear .
O modelo viscoel´astico diferencial n˜ao linear mais comum ´e conhecido como uma gen- eraliza¸c˜ao do modelo de Jeffrey para derivada Oldroyd, definido como Fluido Oldroyd-B e ´e descrito da seguinte forma:
σ′ + τ1 δnσ′ δt = 2µ D+ τ2 δnD δt . (2.151)
Nota-se que se τ2 = 0, o modelo recai no fluido de Maxwell generalizado dado pela
equa¸c˜ao (2.148), sendo puramente el´astico para altas freq¨uˆencias, e no caso de τ1 =
τ2 = 0 o modelo de fluido Oldroyd-B reduz-se a uma descri¸c˜ao constitutiva de fluido
Newtoniano. A equa¸c˜ao (2.151) pode ser reescrita substituindo-se a derivada Oldroyd δn/δt, dada pela equa¸c˜ao (2.144). Desta maneira,
σ′ = 2µD + 2µτ2 ∂D ∂t − τ1 ∂σ′ ∂t + {2µτ2(2n − 1)(2D · D) + 2µτ2(D · W − W · D)− τ1(2n − 1)(σ ′ · D + D · σ′ ) + τ1(σ ′ · W − W · σ′ ) + 2µτ2(u · ∇)σ ′ }, (2.152)
em que os trˆes primeiros termos do lado direito da equa¸c˜ao (2.152) referem-se ao modelo linear de Jeffrey da equa¸c˜ao (2.150). O termo da equa¸c˜ao entre chaves representa a parte n˜ao linear associada com a rota¸c˜ao, deforma¸c˜ao e convec¸c˜ao de σ e D.
Com isto finaliza-se a descri¸c˜ao da fundamenta¸c˜ao te´orica da presente disserta¸c˜ao fo- cada na descri¸c˜ao de modelos viscoel´asticos n˜ao lineares para o estudo da resposta dinˆamica de l´ıquidos el´asticos ou solu¸c˜oes polim´ericas dilu´ıdas sujeitos a escoamen- tos cisalhantes permanentes e transientes com uma larga varia¸c˜ao de intensidade ou potencial de deforma¸c˜ao do fluido controlado pelo n´umero de Deborah (De).
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MEDIDAS DE VISCOSIDADE DE SOLUC¸ ˜OES
POLIM´ERICAS
Os fluidos em geral possuem uma propriedade caracter´ıstica da sua microestrutura conhecida como viscosidade. A viscosidade resulta de for¸cas de atrito entre camadas adjacentes do fluido, que surgem quando estas se deslocam em contato umas sobre as outras. Em l´ıquidos a viscosidade ´e, principalmente, devida `as for¸cas de coes˜ao entre mol´eculas e, uma vez aplicadas for¸cas tangenciais no fluido, a viscosidade representa, segundo um ponto de vista de fluido cont´ınuo, a produ¸c˜ao de energia interna do fluido associada com a deforma¸c˜ao das part´ıculas de fluido devido as tens˜oes de cisalhamento.
As valida¸c˜oes das teorias de equa¸c˜oes constitutivas proposta para caracteriza¸c˜ao de fluidos n˜ao lineares muitas vezes s˜ao obtidas apenas de observa¸c˜oes experimentais. Neste cap´ıtulo apresentam-se algumas medidas experimentais para a viscosidade de cisalhamento de uma solu¸c˜ao aquosa dilu´ıda, composta de um pol´ımero de alto peso molecular. Os experimentos foram desenvolvidos no Laborat´orio de Mecˆanica de Flui- dos de Escoamentos Complexos da Universidade de Bras´ılia. Como mencionado an- teriormente, uma das caracter´ısticas mais marcantes de um fluido n˜ao-newtoniano da classe dos pseudo-pl´astico, como ´e o caso das solu¸c˜oes polim´ericas examinadas aqui, ´e a diminui¸c˜ao do valor da sua viscosidade com o aumento da taxa de cisalhamento do escoamento, quando submetido a um esfor¸co de cisalhamento simples. Assim, com a finalidade de se investigar este comportamento reol´ogico n˜ao linear, foram realizados v´arios experimentos para medidas da viscosidade aparente por meio de um viscos´ımetro padr˜ao de cilindros rotativos variando-se tanto a taxa de cisalhamento ˙γ, como a con- centra¸c˜ao volum´etrica do pol´ımero φ.
A seguir, descrevem-se as caracter´ısticas do pol´ımero usado nas solu¸c˜oes ensaiadas. Na sequˆencia apresenta-se uma descri¸c˜ao da bancada experimental usada neste trabalho e mostram-se os principais resultados obtidos nos experimentos.
3.1 DESCRIC¸ ˜AO DAS PROPRIEDADES DAS SOLUC¸ ˜OES POLIM´ERICAS O aditivo anisotr´opico empregado nos experimentos de medida de viscosidade de cisa- lhamento foi uma emuls˜ao aquosa de poliacrilamida aniˆonica (PAMA), produzida e
fornecida pela Ind´ustria Qu´ımica Art-Aratrop. A referida emuls˜ao possui uma concen- tra¸c˜ao de 34% de poliacrilamida. A Figura (3.1) mostra uma representa¸c˜ao simb´olica da macromol´ecula de poliacrilamida que possui um peso molecular de 5−8×106 g/mol
de acordo com dados do pr´oprio fabricante. Uma caracter´ıstica vantajosa do PAMA ´e a sua resistˆencia `a degrada¸c˜ao mecˆanica (ver Den Toonder et al 1997, Cunha & Andreotti 2007). As macromol´eculas resistem `a poss´ıveis quebras em sua cadeia geral- mente produzidas por a¸c˜ao mecˆanica do escoamento. Uma degrada¸c˜ao molecular pro- duz uma diminui¸c˜ao no peso molecular e, conseq¨uentemente, no tempo de relaxa¸c˜ao, comprometendo as propriedades reol´ogicas do fluido (Virk, 1975). No entanto, ex- perimentos realizados para caracterizar a degrada¸c˜ao(Cunha &Andreotti, 2007), com base em varia¸c˜oes no comportamento pseudo-pl´astico (shear thinning) da suspens˜ao, mostraram apenas pequenas varia¸c˜oes na viscosidade de cisalhamento em fun¸c˜ao do tempo. − CH − CH −2 − CONH 2 − CONH CH − CH 2 2 − CH − CH −2 − CONH 2 escoamento
(c)
(a)
(b)
Figura 3.1: Representa¸c˜ao simb´olica de uma macromol´ecula de poliacrilamida. (a) Mol´ecula em equil´ıbrio randomizada pelo movimento Browniano. (b) Mol´ecula estirada pelo escoa- mento. (c) Detalhe da unidade estrutural da poliacrilamida. (Andreotti, 2004; Cunha &An- dreotti, 2007)
O processo de composi¸c˜ao das solu¸c˜oes aquosas polim´ericas inicia-se com a dilui¸c˜ao da solu¸c˜ao aquosa de poliacrilamida em uma faixa de concentra¸c˜ao entre 0,03 a 0,5%, resultando, dessa forma, em uma solu¸c˜ao prim´aria. Para a obten¸c˜ao dessa solu¸c˜ao, o pol´ımero foi processado entre as concentra¸c˜oes volum´etricas citadas e mantido sob agita¸c˜ao durante uma hora em um reservat´orio fora da bancada de testes, segundo indica¸c˜ao do fabricante do produto. Durante esse processo, o pol´ımero foi adicionado progressivamente em pequenas quantidades no sentido de se obter a solu¸c˜ao mais ho- mogˆenea poss´ıvel.
3.2 DESCRIC¸ ˜AO DA BANCADA EXPERIMENTAL
Com o objetivo de quantificar a viscosidade de cisalhamento, µ, das solu¸c˜oes PAMA- ´agua em fun¸c˜ao da fra¸c˜ao volum´etrica, φ, e da taxa de cisalhamento, ˙γ, foram realizados experimentos em reometria usando um viscos´ımetro padr˜ao de cilindros rotativos do tipo Couette. O experimento consistiu em se estabelecer um escoamento laminar e unidirecional entre dois cilindros concˆentricos, um interno de raio R1 e um externo de
raio R2, em que, (R2 − R1) ≪ R2, para garantir estabilidade do escoamento durante
as medi¸c˜oes, evitando-se dist´urbios no escoamento do tipo v´ortice de Taylor (Trit- ton, 1988). A Figura (3.2) ilustra maiores detalhes dos cilindros utilizado em nossos experimentos.
O cilindro interno gira com velocidade angular, Ω, enquanto, o cilindro externo per- manece fixo. A viscosidade de cisalhamento na lˆamina de fluido entre os cilindros ´e medida de acordo com metodologias padr˜ao de Reometria (Barnes et al, 1989). A seguir ser´a apresentada uma descri¸c˜ao suscinta do c´alculo da viscosidade de cisalhamento a partir do torque aplicado ao cilindro interno.
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Figura 3.2: Detalhe dos cilindros que comp˜oem o viscos´ımetro de cilindros rotativos tipo
Couette. (1) cilindro fixo; (2) cilindro rotativo; (3) suporte dos cilindros. (foto cedida por Andreotti, 2004)
Considera-se que as solu¸c˜oes polim´ericas obedecem a rela¸c˜ao tens˜ao-taxa de deforma¸c˜ao com um coeficiente de proporcionalidade µ(φ, ˙γ). Caracter´ıstica esta de um fluido Newtoniano generalizado ou fluido n˜ao-Newtoniano viscoso, cuja viscosidade de cisa- lhamento al´em de depender da taxa de cisalhamento ´e tamb´em fun¸c˜ao da fra¸c˜ao volum´etrica das macromol´eculas da solu¸c˜ao PAMA-´agua. A rela¸c˜ao constitutiva gen- eralizada tens˜ao-taxa de deforma¸c˜ao para o caso de fluidos Newtonianos generalizados ´e dado por:
σ = 2µ(φ, ˙γ)D (3.1)
em que D ´e o tensor taxa de deforma¸c˜ao e ˙γ = p2tr(D · D). Aqui tr indica o tra¸co do tensor.
Para as medidas de viscosidade efetiva utilizou-se um viscos´ımetro da marca Brookfield, modelo Programmable DV-II + Viscometer (ver Figura 3.3), que permitiu variar a rota¸c˜ao (ou taxa de cisalhamento) do cilindro interno e determinar medidas indiretas da viscosidade de cisalhamento em fun¸c˜ao de ˙γ e φ. Para cada ˙γ e φ obt´em-se:
µ = τrθ ˙γrθ |r=R1
, (3.2)
em que ˙γrθ = ∂uθ/∂r.
A aquisi¸c˜ao dos dados do experimento reom´etrico foi feita por meio de um micro- computador da marca Dell, com velocidade de processamento de 333 MHz, sendo o viscos´ımetro conectado a esse na sa´ıda serial do mesmo. Detalhes dessa montagem pode ser visto na figura (3.3).
Todas as medidas de viscosidade foram realizadas utilizando-se um cilindro rotativo com diˆametro de 17,5 mm e o cilindro estacion´ario com diˆametro interno de 18,8 mm e comprimento de 61,6 mm. O intervalo de taxa de cisalhamento que as solu¸c˜oes foram submetidas estava compreendo entre 132 s−1
a 264 s−1
. O espa¸camento entre os cilindros que ´e preenchido pelo fluido foi de 8 ml.
Os experimentos foram conduzidos em uma sala climatizada onde foi poss´ıvel controlar a temperatura ambiente. A temperatura do fluido ensaiado foi monitorada por um termˆometro digital conectado ao pr´oprio viscos´ımetro. Os dados foram obtidos com
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Figura 3.3: Montagem experimental utilizada na caracteriza¸c˜ao reol´ogica das amostras de
solu¸c˜oes polim´ericas. (1) microcomputador conectado ao viscos´ımetro para aquisi¸c˜ao dos dados; (2) viscos´ımetro.(foto cedida por Andreotti, 2004)
uma varia¸c˜ao de temperatura de ±2oC.
A amostra de fluido ensaiada era depositada no cilindro estacion´ario e ap´os uma an´alise visual para eliminar poss´ıveis bolhas de ar no interior do recipiente, colocava-se o viscos´ımetro em funcionamento. Aguardava-se em torno de quinze minutos para todo o sistema atingir o regime permanente e iniciava-se a aquisi¸c˜ao dos dados. Os dados foram adquiridos para nove diferentes rota¸c˜oes. Para o tratamento estat´ıstico dos dados adquiridos e a estimativa das barras de incerteza das medidas experimentais, para cada uma das rota¸c˜oes, dez aquisi¸c˜oes de viscosidade, taxa de cisalhamento e tens˜ao de cisalhamento foram coletadas.