3.14 Casos especiais do MLG binomial
3.14.1 Modelo log´ıstico
Assumindo que a vari´avel latente T ( tolerˆancia ao estimulo) tem distri- bui¸c˜ao log´ıstica com parˆametros µ pertencente aos reais e τ > 0, e fun¸c˜ao densidade de probabilidade expressa por
f (t; µ, τ ) = 1 τ
exp(τ −µτ )
[1 + exp(τ −µτ )]2 (58)
com m´edia E(T ) = µ e variˆancia σ2 = V art(T ) = π2τ3/3. Na express˜aoo em (58),
fazendo α = −µ/τ e β = 1/τ tem-se, f (t; µ, τ ) = βexp(α + βt) [1 + exp(α + βt)]2 (59) sendo πi = P (T ≤ xi) = F (xi) obtem-se, πi = F (xi) = Z xi −∞ βexp(α + βt)
[1 + exp(α + βt)]2dt = − lima→−∞
1 1 + exp(α + βt) xi a = −1 + exp(α + βx1 i) + 1
assim
πi =
exp(α + βxi)
1 + exp(α + βxi)
´e uma fun¸c˜ao n˜ao linearem um conjunto linear de parˆametros, sendo linearizada por
logit(πi) = log πi 1 − πi = α + βxi. 3.14.2 Modelo probito
Assume-se que a vari´avel latente T , tem distribui¸c˜ao normal com m´edia µ e variˆancia σ2.Isto ´e,
f (t; µ, σ) = p 1 (2πσ2)exp −(t − µ) 2 2σ2
deste modo, a vari´avel
Z = T − µ σ2 ∼ N(0, 1) Ent˜ao πi = P (T ≤ xi) = P (Z ≤ − µ σ + 1 σxi) = P (Z ≤ α + βxi) em que, α = µ/σ e β = 1/σ. Logo π = Φ(α + βxi)
que ´e uma fun¸c˜ao n˜ao linear em um conjunto linear de parametros, sendo que Φ(.) repre- senta a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao normal padr˜ao. A lineariza¸c˜ao ´e dada por
4 RESULTADOS E DISCUSS ˜AO
A seguir s˜ao apresentados e discutidos os resultados obtidos a partir da an´alise do conjunto de dados (Tabela 2). Todos foram obtidos a partir do software es- tat´ıstico R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2013) e os comandos usados encontram- se no anexo.
Inicialmente ´e apresentada na Figura 3, a rela¸c˜ao idade dos ovos de Ae- des aegypti versos propor¸c˜oes de eclos˜oes de larvas. Observa-se para o recipiente copo pl´astico, nos cinco primeiros per´ıodos da idade uma propor¸c˜ao de eclos˜oes com maior destaque em rela¸c˜ao aos recipientes envelope de papel e saco pl´astico. Ainda, uma acen- tuada baixa na propor¸c˜ao de eclos˜ao para o per´ıodo de 19 dias do recipiente saco pl´astico (observa¸c˜ao 19), aparentemente um ponto at´ıpico. Segundo Dem´etrio e Zocchi (2011), pontos at´ıpicos (falhas isoladas) podem surgir devido a erros grosseiros na vari´avel res- posta ou nas vari´aveis explanat´orias, por medidas erradas, ou registro da observa¸c˜ao, ou ainda erros de transcri¸c˜ao, e outros. Em conversa com os pesquisadores, eles justificaram, o que pode ter ocorrido para explicar a acentuada baixa na propor¸c˜ao de eclos˜ao deste caso ´e que havia uma quantidade de ovos invi´aveis, e que passou despercebido quando foi realizada a contagem. Observa-se tamb´em um comportamento sigmoidal.
Figura 3 – Gr´afico de dispers˜ao dos dados, propor¸c˜oes de eclos˜oes de larvas versus idade dos ovos ( per´ıodo que receberam o tratamento)
4.1 Modelos ajustados
Para os modelos lineares genelalizados ajustados, caso em que considerou- se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao probito e preditores lineares em (35) e (36) os valores dos desvios residuais s˜ao 263,60 ( com 42 graus de liberdade) e 380,31 ( com 44 graus de liberdade) respectivamente, mostrando evidˆencias da falta de ajuste . Ainda, na Figura 4, tem-se os gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas de Aedes aegypti versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas.
Para os ajustes, em que considerou-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e predi- tores lineares em (35) e (36), os valores dos desvios residuais s˜ao 244,31 ( com 42 graus de liberdade) e 378,08 ( com 44 graus de liberdade), mostrando evidˆencias da falta de ajuste para os dois modelos. Na figura 5, tem-se os gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas de Aedes aegypti versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas. Apenas como ilustra¸c˜ao s˜ao mostradas as Figuras 4 e 5.
(a) (b)
Figura 4 – Gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas de Aedes aegypti versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas pelo MLG com liga¸c˜ao probito, utilizando-se os preditores lineares retas concorrentes (a) e retas paralelas (b)
(a) (b) 50 100 150 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Idade dos ovos
Proporção de eclosões de lar
v as ** * * ** ** * * * * * * * * + + + + ++ + + + + + + + + ++ * * * * ** * * * * * * * * * * copo saco enve
Figura 5 – Gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas do Aedes aegypti versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas pelo MLG com liga¸c˜ao log´ıstica, utilizando-se os preditores lineares retas concorrentes (a) e retas paralelas (b)
Dado que se cosntatou a falta de ajustes dos modelos iniciais, novos ajustes foram realizados, em que optou-se pela inclus˜ao de um peso (w = 1/ ˆφ) na vari´avel bino- mial mediante o argumento weights da fun¸c˜ao glm do programa R. Assim, os valores dos desvios residuais, para os novos ajustes em que considerou-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao probito e preditores lineares em (35) e (36) s˜ao 37,788 (com 42 graus de liberdade) e 40,817 ( com 44 graus de liberdade), com respectivos valores do n´ıvel descritivo ( p=0,6563 e p=0,6088), mostrando evidˆencias que os modelos com retas concorrentes e retas paralelas ajustam-se bem aos dados.
Embora os desvios residuais tenham apresentado evidˆencias de ajustes ade- quados, o gr´afico de probabilidade normal com envelopes simulados, Figura 6a, apresenta v´arios pontos fora do envelope e a Figura 6b apresenta dois pontos com mais destaque (19 e 26), o que evidencia a falta de ajuste dos modelos. Ainda, na Figura 7, tem-se os gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas, sendo wc = 1/6, 9757 e wp = 1/9, 3175 os pesos adicionados na vari´avel binomial para os ajustes com retas concorrentes e paralelas. As Tabelas 3 e 4 apresentam a an´alise de desvios para ambos os modelos.
(a) (b)
Figura 6 – Gr´aficos de probabilidade normal com envelopes simulados referentes ao MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao probito e preditores lineares retas concorrentes (a) e retas paralelas (b)
(a) (b)
Figura 7 – Gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas de Aedes aegypti versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas pelo MLG com inclus˜ao de peso na vari´avel binomial com liga¸c˜ao probito e preditores retas concorrentes (a) e retas paralelas (b)
Tabela 3 – An´alise de desvio para o MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao probito e pre- ditores lineares retas paralelas
Fonte de varia¸c˜ao g.l Desvios F Valor de p Recipiente 2 10,19 5,095 0,010 Regress˜ao 1 582,3 582,3 <0,001 Res´ıduo 44 40,817
Total 47 633,312
Tabela 4 – An´alise de desvio para o MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao probito e pre- ditores lineares retas concorrentes
Fonte de varia¸c˜ao g.l Desvios F Valor de p Recipiente 2 13,61 6,805 0,003 Regress˜ao 3 794,59 264,87 <0,001 Res´ıduo 42 37,788
Total 47 846,01
Para o caso em que se utilizou a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditores lineares (35) e (36), os valores dos desvios residuais s˜ao 39,25 (com 42 graus de liberdade) e 40,14 (com 44 graus de liberdade) com respectivos n´ıveis descritivos ( p = 0,592 e p = 0,637), mostrando evidˆencias que os modelos com retas concorrentes e retas paralelas ajustam-se bem aos dados.
Na Figura 8, tem-se os gr´aficos de probabilidade normal com envelopes simulados, mostrando evidˆencias da falta de ajuste de ambos os modelos e, consequen- temente n˜ao confirmando a an´alise dos desvios residuais. Ainda, na Figura 9, tem-se os gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas, sendo respectivamente wc = 1/6, 2245 e wp = 1/9, 4193 os pesos adicionados na vari´avel binomial para os ajustes com retas concorrentes e retas paralelas. As Tabelas 5 e 6 apresentam a an´alise de desvios para os dois modelos.
(a) (b)
Figura 8 – Gr´aficos de probabilidade normal com envelopes simulados referentes ao MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditores lineares retas concorrentes (a) e retas paralelas (b)
(a) (b)
Figura 9 – Gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas de Aedes aegypti versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas, considerando-se a liga¸c˜ao log´ıstica e os preditores lineares retas concorrentes (a) e retas paralelas (b)
Tabela 5 – An´alise de desvio para o MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditores lineares retas paralelas
Fonte de varia¸c˜ao g.l Desvios F valor de p Recipiente 2 10,08 5,04 0,011 Regress˜ao 1 576,27 576,25 <0,001 Res´ıduo 44 40,14
Total 47 626,48
Tabela 6 – An´alise de desvio para o MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditores lineares retas concorrentes
Fonte de varia¸c˜ao g.l Desvios F valor de p Recipiente 2 15,26 7,628 0,001 Regress˜ao 3 893,58 297,83 <0,001 Res´ıduo 42 39,25
Total 47 948,09
Paula (2013) e Fox (2002) discutem como poss´ıvel alternativa para contornar o problema da falta de ajuste ocasionada pela presen¸ca de pontos aberrantes/influentes a retirada destes do conjunto de dados. Discutem problemas em que sugerem a retirada de uma observa¸c˜ao ou duas observa¸c˜oes com a finalidade de melhorar a qualidade do ajuste do modelo. Segundo Terra (2009), observa¸c˜oes influentes podem acarretar mudan¸cas nas estimativas dos parˆametros e at´e mesmo causar mudan¸cas inferenciais.
Reajustando o modelo linear generalizado, com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica sem duas observa¸c˜oes que apareciam com mais destaques ( observa¸c˜ao de n´umero 19 e de n´umero 26), destacadas nas Figuras 6 e 8, gr´aficos de probabilidade normal com envelopes simulados.
A Tabela 7 apresenta os valores dos desvios residuais e seus respectivos n´umeros de graus de liberdade (g.l). Verifica-se que existem evidˆencias de que os modelos com retas concorrentes e com retas paralelas ajustam-se bem aos dados. Nas Tabelas 8 e 9, tem-se a an´alise de desvios para os modelos. Observa-se que, em ambas existem
evidˆencias para o efeito significativo do fator recipiente e para o efeito significativo da regress˜ao.
A Figura 10a, gr´afico de probabilidade normal com envelopes simulados, apresenta pelo menos quatro pontos fora dos limites e os res´ıduos distribu´ıdos de forma um tanto irregular dentro do envelope, o que evidencia a falta de ajuste do modelo com retas concorrentes. J´a pela Figura 10b, gr´afico de probabilidade normal com envelopes simulados, nota-se todos os pontos dentro do envelope e bem melhores distribuidos, evi- denciando que o modelo com retas paralelas ajusta-se bem aos dados.
Na Figura 11, tem-se os gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas, sendo wc = 1/4, 10 e wp = 1/6, 2685
os pesos considerados nos respectivos ajustes. Resultados semelhantes de diagn´ostico por envelopes podem ser encontrados em (PAULA, 2013). O autor discute ainda resultados em que uma observa¸c˜ao ou duas observa¸c˜oes aparecem fora do envelope por´em, muito pr´oximas aos limites e atesta um bom ajuste do modelo investigado.
(a) (b)
Figura 10 – Gr´aficos de probabilidade normal com envelopes simulados referentes ao MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditores lineares retas concor- rentes (a) e retas paralelas (b)
(a) (b)
Figura 11 – Gr´aficos das propor¸c˜oes de larvas do Aedes aegypti versus a idade em que os ovos foram tratados e as curvas ajustadas pelo MLG com liga¸c˜ao log´ıstica, utilizando-se como preditores lineares retas concorrentes (a) e retas paralelas (b)
Tabela 7 – Desvios residuais do MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica
Modelo g.l Desvios Valor de p η = αj + βjx 40 40,424 0,4515
η = αj + βx 42 43,59 0.4032
Tabela 8 – An´alise de desvio para o MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditor linear retas concorrentes
Fonte de varia¸c˜ao g.l Desvios F valor de p Recipiente 2 23,23 11,63 <0,001 Regress˜ao 3 1373,29 457,67 <0,001 Res´ıduo 40 40,424
Tabela 9 – An´alise de desvio para o MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditor linear retas paralelas
Fonte de varia¸c˜ao G.l Desvios F Valor de p Recipiente 2 15,19 7,597 0,002 Regress˜ao 1 881,1 881,1 < 0,001 Res´ıduo 42 43,60
Total 45 939,89
A partir dos resultados obtidos, considerando-se diversos ajustes, verifica- se que o MLG binomial com liga¸c˜ao log´ıstica e preditor linear retas paralelas, com peso w = 1/6, 2685 na vari´avel binomial em que eliminou-se duas observa¸c˜oes, ´e o modelo que melhor explica a rela¸c˜ao propor¸c˜ao de eclos˜oes e per´ıodo de armazenamento. Sendo considerados o desvio residual e o gr´afico de probabilidade normal padr˜ao com envelope de simula¸c˜ao como medida da qualidade do ajuste e an´alise de desvio (ANODEV) como crit´erio de sele¸c˜ao de modelos.
As Tabelas 10 e 11 apresentam as estimativas dos parˆametros bem como os erros padr˜ao para o modelo com todas as observa¸c˜oes (Figura 9b) e para o modelo em que optou-se pela retirada das observa¸c˜oes 19 e 26 (Figura 11b). Verifica-se, que as estimativas dos parˆametros s˜ao bem pr´oximas em ambos os casos, os erros padr˜ao apresentam uma pequena redu¸c˜ao para o modelo em que eliminou-se duas observa¸c˜oes e os resultados inferenciais n˜ao s˜ao alterados.
Tabela 10 – Estimativas dos parˆametros do MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditor linear retas paralelas considerando todas as observa¸c˜oes
Parˆametros Estimativas E.Padr˜ao Valor de t Valor de p β01 4,291 0,316 13,56 <0,001
β02 3,398 0,2779 12,23 <0,001
β03 3,522 0,2816 12,51 <0,001
Tabela 11 – Estimativas dos parˆametros do MLG binomial com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditor linear retas paralelas em que eliminou-se duas observa¸c˜oes
Parˆametros Estimativas E.Padr˜ao Valor de t Valor de p β01 4,4612 0,2712 16,45 <0,001
β02 3,4577 0,2523 13,70 <0,001
β03 3,6731 0,2413 15,22 <0,001
β1 -0,0423 0,002 -19,07 <0,001
A partir do MLG binomial com liga¸c˜ao log´ıstica selecionado, obtem-se, res- pectivamente para copo pl´astico, envelope de papel e saco pl´astico as equa¸c˜oes,
log ˆ π1(xi) 1 − ˆπ1(xi) = 4, 461 − 0.042xi (60) log ˆ π2(xi) 1 − ˆπ2(xi) = 3, 458 − 0.042xi (61) log ˆ π3(xi) 1 − ˆπ3(xi) = 3, 673 − 0, 042xi (62)
logo, a viabilidade mediana dos ovos de Aedes Aegypti para copo pl´astico, saco pl´astico e envelope de papel juntamente com seus respectivos intervalos de confian¸ca s˜ao:
Copo pl´astico: dDL50= 4, 461 0, 042 = 106 (98 ; 114) dias; Saco pl´astico: dDL50 = 3, 673 0, 042 = 87 (80 ; 93) dias; Envelope de papel: dDL50= 3, 458 0, 042 = 83 (73 ; 93) dias.
Na Figura (11), verifica-se que as curvas ajustadas para os recipientes saco pl´astico e envelope de papel est˜ao bem pr´oximas e, portanto, ´e interessante testar se elas diferem estatisticamente. Assim, um novo modelo foi usado, considerando-se os dados dos recipientes envelope de papel e saco pl´astico como se fosse um ´unico recipiente. Cordeiro e Dem´etrio (2011) apresentam procedimento idˆentico num estudo com gemas de galhos de trˆes variedades de macieiras, com o prop´osito de verificar se as variedades diferem estatisticamente.
O valor do desvio residual para o novo modelo, considerando a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditor linear (36) ´e 45,31 (com 43 graus de liberdade) com n´ıvel descritivo ( p = 0,3756), evidencia que o modelo com retas paralelas ajusta-se bem aos dados. A diferen¸ca de desvios residuais entre o novo modelo e o modelo selecionado ( Figura 10b) ´e (4,5534) com (F=0,7264 e p = 0.3989), indicando existir evidˆencias de que os recipientes envelope de papel e saco pl´astico comportam-se de forma semelhante. Na Tabela 12, tem-se a an´alise de desvios. Nesta, observa-se que existem evidˆencias para o efeito do fator recipiente e para o efeito da regress˜ao.
Tabela 12 – An´alise de desvio para o novo modelo em que utilizou-se a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditor linear retas paralelas
Fonte de varia¸c˜ao G.l Desvios F Valor de p Recipiente 1 13,55 13,55 < 0,001 Regress˜ao 1 901,99 901,99 < 0,001 Res´ıduo 43 45,31
Total 45 960,87
Um dos fatores que pode explicar a maior viabilidade (106 dias) ocorrida no recipiente copo ´e que estes recipientes ficavam abertos, proporcionando aos ovos um contato maior com o ar. J´a os ovos armazenados nos recipientes envelopes de papel e sacos pl´astico ficavam fechados, menos ar. Uma outra leitura ´e que realmente exista o efeito do recipiente copo sobre a viabilidade.
Pinheiro (2005) compara a viabilidade m´edia dos ovos de Aedes aegypti entre os recipientes copo pl´astico, saco pl´astico e envelope de papel, usando a abordagem de ANOVA e teste de Tukey. Constata n˜ao haver diferen¸cas significativas entre saco pl´astico e envelope de papel, ambos diferindo do recipiente copo pl´astico que apresentou a maior viabilidade, corroborando nesse sentido os resultados aqui apresentados. Ainda, estima uma viabilidade m´edia de 98 dias, n˜ao fazendo referˆencias para qual tipo de recipiente.
5 CONCLUS ˜OES
A utiliza¸c˜ao do modelo linear generalizado, com peso w = 1/6, 2685 na vari´avel binomial, mediante o argumento weights da fun¸c˜ao glm do programa R, para fins de diminui¸c˜ao da varia¸c˜ao presente, apresentou-se como uma boa alternativa de modela- gem.
No presente estudo, o modelo linear generalizado binomial, com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao log´ıstica e preditor linear retas paralelas, ajustou-se bem aos dados, possibili- tando estimar satisfatoriamente o parˆametro DL50, sendo esta a maior contribui¸c˜ao deste
trabalho. Entretanto, o bom resultado do modelo s´o foi poss´ıvel, mediante a retirada (elimina¸c˜ao) de duas observa¸c˜oes do conjunto de dados. Observa¸c˜oes estas que, quando retiradas, n˜ao alteraram as estimativas dos parˆametros e as inferˆencias. Ainda, a an´alise da qualidade do ajuste deu-se mediante o gr´afico de probabilidade normal padr˜ao com envelope de simula¸c˜ao sobre os res´ıduos componentes do desvio.
Portanto, o modelo linear generalizado para dados na forma de propor¸c˜ao com peso na vari´avel binomial descreve bem o comportamento da viabilidade dos ovos de Aedes aegypti criados em condi¸c˜oes laboratoriais e mantidos em diferentes tipos de armazenamentos. A viabilidade estimada para os ovos armazenados nos recipientes copo pl´astico, saco pl´astico e envelope de papel s˜ao 106, 87 e 83 dias respectivamente. Tamb´em foi poss´ıvel verificar diferen¸cas significativas nas estimativas medianas da viabilidade dos ovos de Aedes aegypti, sendo que para o recipiente copo pl´astico, obteve-se a maior viabi- lidade.
Acrescenta-se como proposta de continuidade do tema abordado nesta dis- serta¸c˜ao o desenvolvimento dos seguintes trabalhos futuros: Predi¸c˜ao da viabilidade para per´ıodos de armazenamentos igualmente distantes estudados ao longo de 450 dias, assim como a compara¸c˜ao dos parˆametros dos modelos ajustados: modelo binomial com peso na vari´avel resposta versus modelo beta binomial.
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