Í NDICES I NFERIORES E S UPERIORES Exp Experimental
5. MODELAGEM DO FENÔMENO DE ADESÃO EM SUPERFÍCIES
5.2 MODELAGEM MATEMÁTICA
5.2.1 Modelo Matemático: Configuração esfera esfera
Para a determinação do valor local do afastamento entre as superfícies, que é a própria espessura local do filme de líquido, h(r), serão empregadas as geometrias apresentadas na Figura 5.3.
(a) Menisco de configuração anular.
(b) Menisco de configuração único.
Figura 5.3 - Configuração geométrica de esfera e esfera de menisco único. Convém notar que a Figura 5.3(a) ilustra o caso mais geral de um menisco anular, a ser explorado em detalhes no Capítulo 6, que trata da
modelagem da força de adesão em válvulas de compressores. No caso de um menisco único (Figura 5.3b), o valor do raio do menisco interno, Rmi, é
nulo. A geometria de menisco único é a mais utilizada em experimentos para a determinação de parâmetros geométricos e da força de adesão, os quais serão utilizados na validação do modelo proposto neste capítulo.
De acordo com a Figura 5.3(a), e utilizando algumas relações geométricas simples, tem-se que h(r) pode ser definida como,
(5.17)
em que d1 e d2 são variáveis que assumem o valor zero no ponto de menor afastamento entre as esferas e valores máximos nas linhas tríplices em cada esfera (apenas os valores máximos são mostrados na Fig. 5.3a). A dependência de d1 e d2 com as coordenadas radiais r1 e r2 é dada por,
{ [ ]} ( ) (5.18)
em que r1 é a coordenada radial referente ao eixo central para a esfera 1 e, { [ ]} ( ) (5.19)
com r2 sendo a coordenada radial referente ao eixo central para a esfera 2. Assim,
{ [ ]} { [ ]} (5.20) na qual B1 e B2 são ângulos que variam desde zero até os ângulos de espalhamento para cada esfera. É possível simplificar a expressão acima considerando que,
[ ] [ ] (5.21)
Além disso, uma relação para sen[ ] é obtida a partir da Figura 5.3(a),
[ ] (5.22)
Logo,
A expressão geral para a variação radial da espessura do filme, Eq. (5.23), é avaliada numa região finita e menor que as áreas de espalhamento em ambas as esferas, ou seja, a região crítica de ruptura (ver Figura 5.3Figura 5.3 - b). Neste caso, pode-se, usar a mesma coordenada r para reescrever esta expressão como:
( ) (5.24)
Integrando a Eq. (5.16) entre os limites do menisco, tem-se que: [ ] ( ) [ ] ( ) ̇[ ] (5.25) ou, ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) (5.26) em que os termos Rmi e Rme representam o raio interno e externo do
menisco formado entre as duas esferas, respectivamente. Estes valores são determinados em função da menor distância, D, entre a curvatura média do menisco e o eixo central do sistema, como mostra a Figura 5.3.
Para a condição mais comum em que existe um menisco de tipo único (Rmi = 0), axissimétrico e com esferas de raios diferentes, Figura
5.3(b), a Eq. (5.26) é escrita como,
( ) [ ] (5.27)
Integrando a expressão anterior, e considerando a Eq. (5.24), obtém-se, [
] (5.28)
em que a pressão na interface entre o líquido e o gás, P(Rme), é determinada utilizando a equação da Young-Laplace na condição estática, Eq. (5.1). Para isso, serão adotadas as hipóteses de que o raio de curvatura no plano horizontal (normal à gravidade) é muito maior que o raio no plano vertical (paralelo à gravidade) e que o afastamento inicial entre as superfícies é muito menor em comparação com o raio externo do menisco. Assim, com Rme >> Rc e Do/Rme << 1,
(5.29) Dessa forma, a Eq. (5.28) é dada por,
[ ]
(5.30) em que γLG é a tensão interfacial líquido-gás e RC é o raio de curvatura provocado pela diferença entre as pressões do ambiente externo e interno do menisco. O raio RC é determinado usando parâmetros geométricos e os
ângulos de contato e espalhamento em ambas as esferas (Figura 5.3) como, [ ] [ ] (5.31) em que, (5.32) e, (5.33)
A força de adesão aplicada pela película de líquido sobre a esfera superior (2), quando esta se afasta da esfera inferior (1), é dada por,
∫
(5.34)
em que os termos , e representam, respectivamente, as forças associadas aos efeitos de tensão interfacial entre líquido e gás, sólido e gás e, por último, entre líquido e sólido na direção normal à esfera 1 na linhas tríplices (Figura 5.3a). Desta forma, a expressão acima pode ser escrita como, ∫ ∫ [ ] (5.35)
É importante salientar que, a inclusão destes termos responde à necessidade de caracterizar os efeitos provocados pelas diferentes tensões
superficiais na deformação do menisco, uma vez que todas elas – devido à curvatura da superfície (ponto de contato) – contribuem neste processo.
Utilizando a expressão de Young-Dupré, Eq. (2.1), para o equilíbrio de forças no ponto de contato do menisco sobre a esfera superior (2), e a Figura 5.3(a), é possível reescrever a Eq. (5.35) e os termos associados aos efeitos das tensões interfaciais, ou seja, a última integral, como,
∫ ∫ [ ]
(5.36)
Portanto, a força de adesão pode ser determinada em função de três termos, ou seja,
(5.37)
na qual o primeiro termo da direita representa a força viscosa dada por,
[ ]
(5.38) o segundo termo considera o efeito da curvatura da interface entre o líquido e ambiente externo devido à força de capilaridade,
(5.39)
e o último termo representa a força de tensão interfacial líquido-vapor,
[ ] (5.40)
Com relação ao tratamento adotado para as forças de capilaridade e de tensão interfacial é bom destacar que, embora ambas as forças façam parte da força de superfícies e, portanto, devam ser tratadas como um único termo (Apêndice E), o uso destas componentes por separado permite avaliar a importância de cada uma no fenômeno de adesão e, principalmente, na geométrica adotada pelo menisco na condição estática do sistema.
A segunda lei de Newton aplicada à esfera superior fornece a seguinte expressão:
em que meq é a massa equivalente da esfera e Fext é uma força externa
aplicada sobre a esfera superior quando esta sofre afastamento com relação à esfera inferior, a qual é mantida fixa.
Para analisar o processo de dilatação do filme, será incorporada ao modelo a conservação da massa no filme (que é equivalente à conservação do volume, visto que o fluido é suposto incompressível). A conservação da massa será considerada por meio de duas abordagens diferentes. Na primeira, considera-se um menisco único onde a curvatura é caracterizada por um arco de circunferência definido pelos raios de ambas as esferas,
∫
(5.42) onde é o raio médio de espalhamento entre as esferas, como mostra a Figura 5.3(b). Em função do ângulo de espalhamento médio entre as superfícies ( ), tem-se que,
( ) (5.43) Portanto, a Eq. (5.42) em sua forma geral é expressa como,
[
] [ ] (5.44) De acordo com Rabinovich et al. (2005), é possível aproximar o valor do cosseno do ângulo β através de uma expansão em série Taylor truncada no termo quadrático. Desta forma, a Eq. (5.44) pode ser reescrita como,
(5.45)
Fazendo uso da expressão acima, é possível determinar o valor do ângulo β12, uma vez que o volume de fluido (Vol), o raio da esfera superior
(R2) e o afastamento entre as superfícies (D) são dados conhecidos.
A segunda abordagem utilizada para quantificar o processo de dilatação do filme foi apresentada por Payam e Fathipour (2011) e baseia-se na determinação do volume real do menisco formado entre as esferas. Para isso, determina-se o volume total de líquido espalhado sobre as esferas, calculado pela integração da curvatura do menisco, descontando os volumes
das calotas esféricas recobertas pelo líquido em cada esfera. Assim, a expressão geral para o volume de óleo é dada por,
∫
(5.46)
em que a função fc (z) que caracteriza a curvatura do menisco é dada por, √ [ ] (5.47) O volume da calota esférica delimitada pela linha de contato do líquido sobre a esfera 1 é definido por,
[ ] { [ ] [ ] } (5.48)
Da mesma forma, para a esfera 2,
[ ] { [ ] [ ] } (5.49)
Observa-se, nas diferentes expressões para o volume de líquido, que é necessário conhecer os ângulos de espalhamento em ambas as esferas (β1
e β2). Este procedimento é realizado através de um processo iterativo, uma
vez que é necessário combinar a equação do volume com uma expressão que relacione os ângulos de espalhamento, ou de contato aparente, em ambas as esferas, visto que os mesmos não são iguais pelo fato das esferas terem raios diferentes e por, normalmente, estas informações serem desconhecidas.
Entre os poucos trabalhos que avaliam a força de adesão numa configuração de esferas de raios diferentes (Rose, 1958; Mehrotra e Sastry, 1985; Payam e Fathipour, 2011 e Nazemi e Majnooni-Haris, 2012), a expressão mais recorrente para relacionar os ângulos de espalhamento nas esferas é aquela proposta por Mehrotra e Sastry (1980). Os autores, assumindo na sua modelagem matemática que a curvatura do menisco pode ser caracterizada por um arco de circunferência, propõem que,
[ ( )] (5.50)
Chen et al. (2011), também assumindo que a curvatura do menisco pode ser representada por um arco de circunferência, sugerem que,
[
( )] (5.51)
De acordo com as expressões acimas, Eqs. (5.50) e (5.51), o valor do ângulo de espalhamento nas esferas, no caso do Mehrotra e Sastry (1980), depende unicamente da relação entre os raios das esferas, enquanto que para Chen et al. (2011), depende tanto do afastamento entre as esferas como dos raios das mesmas. Entretanto, de acordo com os resultados experimentais apresentados na Seção 3.4, os ângulos de espalhamento em ambas as esferas estão diretamente relacionados com os valores dos ângulos de contato aparente, com o afastamento entre as superfícies e com os raios das esferas. Devido à carência de modelos na literatura que contemplem estes efeitos, é apresentada a seguir uma nova expressão para relacionar estes parâmetros em uma única expressão.
Para elaborar a nova expressão para o ângulo de espalhamento, será utilizada a Figura 5.3(b), que mostra os diferentes parâmetros que definem a geometria do menisco formado entre esferas com raios de curvatura diferentes. Primeiramente, é necessário relacionar os ângulos δ1 e δ2, uma
vez que os mesmos definem o ponto de contato da linha projetada desde o centro geométrico da curvatura do menisco (Oc) até o eixo central que passa
por ambas as esferas. Para isso, utilizam-se os triângulos A1OcO12 e
A2OcO12, visto que ambos possuem uma face em comum. Deste modo,
( ) ( ) (5.52) em que ξ1 e ξ2 representam, respectivamente, a distância A1C1 e A2C2. Para
a determinação destes parâmetros, será empregada, no caso da esfera 1, a relação geométrica entre os triângulos O1C1B1 e A1C1B1. Assim,
(5.53)
Da mesma forma, para a esfera 2,
(5.54)
Obtidas as expressões que definem as distâncias ξ1 e ξ2, Eqs. (5.53) e
(5.54), e tendo a equação geral para o raio de curvatura do menisco formado entre as esferas de raios diferentes, Eq. (5.31), é possível escrever a Eq. (5.52) com todos seus termos na forma,
[ [ ] [ ]] [ ] [ [ ] [ ]]
[ ]
(5.55)
Para simplificar a Eq. (5.55), utiliza-se a propriedade trigonométrica da função seno, ou seja, sen (a ± b) = sen(a) cos(b) ± sen(b) cos(a). Portanto, expressão anterior é reescrita como,
[ ] [ ]
[ ]
(5.56)
Substituindo a aproximação do seno do ângulo (a ± b) através de uma expansão em série Taylor truncada no termo de primeira ordem na expressão acima, tem-se que,
[ ] (5.57)
Aplicando na expressão acima a definição do ângulo δ, Eq. (5.32) e (5.33), obtém-se, por fim, uma nova expressão para relacionar os ângulos de espalhamentos de ambas as esferas,
( )
(5.58)
Definidos os valores dos ângulos de espalhamento (β1 e β2), o
volume de fluido (Vol), os raios das esferas (R1 e R2) e o afastamento entre
as esferas (D), os diferentes parâmetros geométricos que definem a configuração do menisco podem ser calculados através das seguintes expressões, onde as definições são exibidas na Figura 5.3:
Maior raio de contato do menisco na esfera 2, Rp2:
(5.59)
Menor raio do menisco, Rme:
[ ] (5.60) Maior raio de contato do menisco na esfera 1, Rp1: