Modelo mestre

Nesta se¸c˜ao, ´e detalhada a fundamenta¸c˜ao e a estrutura do modelo mestre proposto para a t´ecnica de gera¸c˜ao de colunas. A gera¸c˜ao de colunas n˜ao ser´a feita utili-

42 CAP´ITULO 4. M ´ETODOS DE SOLUC¸ ˜AO PROPOSTOS

zando o modelo completo apresentado na se¸c˜ao 3.3 mas sim em um novo modelo, equivalente. No modelo mestre apresentado aqui, as vari´aveis de decis˜ao represen- tam rotas de diferentes motoristas. Como em cada rota tem-se informa¸c˜oes sobre o caminho percorrido e passageiros atendidos pode-se extrair os valores equivalen- tes considerados no modelo completo apresentado na se¸c˜ao 3.3 das vari´aveis x e y respectivamente.

Para construir o modelo mestre completo, ´e necess´ario conhecer todas as rotas vi´aveis de todos os motoristas, cada uma com seus valores de lucro total associado, dado em fun¸c˜ao do n´umero de passageiros atendidos e da distˆancia total percorrida. Tendo esses dados, o modelo a seguir se apresenta como uma representa¸c˜ao exata do CERMP.

Dados de entrada:

• Rk: conjunto de todas as rotas vi´aveis do motorista k. • A: matriz bin´aria onde cada elemento ak

ir indica se o passageiro i ´e designado `a rota r do motorista k, r ∈ Rk.

• D: matriz onde cada elemento dk

r representa o valor de distˆancia total da rota r do motorista k, r ∈ Rk.

• L: lucro para o atendimento de um passageiro (valor alto). As vari´aveis de decis˜ao s˜ao:

• λk

r : 1 se a rota r do motorista k ´e escolhida , 0 caso contr´ario. Formula¸c˜ao ILP proposta:

max Z = L X k∈M X r∈Rk X i∈P ak_irλk_r− X k∈M X r∈Rk λk_rdk_r (4.1) X r∈Rk λk_r = 1, ∀k ∈ M (4.2) X k∈M X r∈Rk ak_irλk_r ≤ 1, ∀i ∈ P (4.3) λk_r ∈ {0, 1}, ∀r ∈ Rk, k∈ M (4.4)

A fun¸c˜ao objetivo explicitada em (4.1) ´e equivalente `a (3.1) do modelo completo proposto na se¸c˜ao 3.3, e visa a otimiza¸c˜ao da distˆancia m´axima percorrida por todos os motoristas e o n´umero de passageiros atendidos no problema. Em (4.2) o modelo garante que, dentro do conjunto de rotas de cada motorista, uma ´e escolhida pra ele. E em (4.3) assegura-se que cada passageiro ser´a associado a, no m´aximo, um motorista. O conjunto de restri¸c˜oes (4.4) garante o car´ater bin´ario das vari´aveis de decis˜ao.

O modelo proposto ´e semelhante a modelos do tipo Set Packing e tem grande semelhan¸ca com alguns outros cl´assicos em abordagens que utilizam gera¸c˜ao de

4.2. GERAC¸ ˜AO DE COLUNAS 43

colunas, como por exemplo Set Partitioning e Set Covering. Abaixo s˜ao detalhados seus respectivos modelos matem´aticos:

Formula¸c˜ao tipo Set Partitioning:

minX S∈P λs (4.5) X S∈P:k∈S λs= 1, ∀k = {1, ..., n} (4.6) λs∈ {0, 1}, ∀S ∈ P (4.7)

Formula¸c˜ao tipo Set Covering:

minX S∈S λs (4.8) X S∈S:k∈S λs≥ 1, ∀k = {1, ..., n} (4.9) λs∈ {0, 1}, ∀S ∈ S (4.10)

Para explicar as duas formula¸c˜oes acima, ser´a utilizado como exemplo suas res- pectivas aplica¸c˜oes no problema conhecido como 1BP (one-dimensional Bin Packing Problem), que consiste em consiste em empacotar unidimensionalmente um conjunto de objetos de diferentes tamanhos (ou pesos) no menor n´umero de caixas (bins) de tamanho fixo.

Na formula¸c˜ao Set Partitioning, P ´e a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos que podem ser empacotados em um recipiente sem que exceda sua capacidade, λs ´e a vari´avel de decis˜ao que indica se o subconjunto S ⊂ P foi escolhido na solu¸c˜ao final e n ´e o n´umero de itens a serem empacotados.

A formula¸c˜ao Set Covering ´e an´aloga `a Set Partitioning. As principais diferen¸cas s˜ao a considera¸c˜ao do conjunto S ao inv´es de P e a substitui¸c˜ao de = por ≥ nas restri¸c˜oes. O conjunto S, chamado de maximal, ´e a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos contendo uma combina¸c˜ao de itens de modo que n˜ao se possa inserir mais nenhum outro sem que ultrapasse o tamanho do recipiente. Assim, apesar de ainda contar com um n´umero exponencial de subconjuntos, essa formula¸c˜ao considera um n´umero consideravelmente menor deles.

Pode-se notar que nas duas formula¸c˜oes acima, o conjunto de restri¸c˜oes indica o atendimento ao quesito corte de um certo tamanho. Ou seja, para todos os tamanhos de corte que tenham demanda, obrigatoriamente ele ser´a produzido. Na formula¸c˜ao por Set Partitioning o modelo garante que existir´a cada corte por meio da restri¸c˜ao (4.6), indicando que a soma de todos os padr˜oes que produzam aquele corte deve ser = 1. Ou seja, todo item deve ser coberto por exatamente um conjunto. J´a

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no caso de Set Covering, a restri¸c˜ao (4.9) garante que a soma dos padr˜oes deve ser ≥ 1, indicando que cada item pode ser coberto por mais de um conjunto (os conjuntos maximais podem conter itens j´a cobertos). Analogamente, no modelo mestre aqui proposto para o CERMP, a cobertura ´e feita sobre o atendimento de passageiros em vez de itens de corte. A diferen¸ca ´e que nessa situa¸c˜ao n˜ao ´e obrigat´orio o atendimento a nenhum passageiro. Assim, na restri¸c˜ao (4.3), a soma dos termos envolvendo o passageiro ´e ≤ 1, como em formula¸c˜oes de Set Packing, pois o passageiro pode ou n˜ao ser atendido por algum motorista e caso o atendimento seja feito, esse poder´a ser realizado por no m´aximo 1 motorista.

Apesar do modelo proposto se mostrar como uma representa¸c˜ao exata para o CERMP ele possui alguns contratempos. Devido ao n´umero de combina¸c˜oes, ´e uma tarefa extremamente complexa enumerar todas as poss´ıveis rotas e atendimen- tos de cada motorista. E ainda assim se isso fosse realizado, consider´a-las no modelo tornaria sua resolu¸c˜ao invi´avel computacionalmente. Sendo assim, na abordagem de gera¸c˜ao de colunas considera-se um novo contexto para o modelo mestre, denomi- nado modelo mestre restrito que considera apenas um subconjunto ˆRk, com ˆRk ⊆ R, de todas as rotas poss´ıveis para o motorista. Outra caracter´ıstica do modelo mestre restrito ´e a relaxa¸c˜ao da restri¸c˜ao (4.4) a fim de que sejam produzidos valores duais pelas restri¸c˜oes e que s˜ao fundamentais para o seguimento do processo de gera¸c˜ao de colunas.

Abaixo tem-se a formula¸c˜ao LP modelo mestre restrito:

max Z = LX k∈M X r∈ ˆR X i∈P ak_irλk_r− X k∈M X r∈ ˆR λk_rdk_r (4.11) X r∈ ˆRk λk_r = 1, ∀k ∈ M (4.12) X k∈M X r∈ ˆRk ak_irλk_r ≤ 1, ∀i ∈ P (4.13) 0 ≤ λk_r ≤ 1, ∀r ∈ ˆRk, k∈ M (4.14)

Solucionando o modelo mestre restrito, obtem-se os valores duais das restri¸c˜oes (4.12) e (4.13), respectivamente δk _{e π}

i, que s˜ao passados como dados de entrada ao modelo auxiliar.