Modelo Multi-Elemento de Hatze

Em (FREIVALDS, 2004), evidencia que (HATZE, 1981) desenvolveu, um modelo con- sideravelmente mais complexo que o modelo a quatro elementos de (HILL, 1938). Ele ´e chamado modelo distribu´ıdo, porque inicia no n´ıvel do sarcˆomero, modelando todas as estruturas individuais melhor que o modelo de (HILL, 1938).

Como no modelo de (HILL, 1938), os filamentos dos elementos contr´ateis s˜ao representados por CEi. O elemento el´astico de cada sarcˆomero PSi respresenta a f´ascia que circunda

as fibras musculares internas do sarcolema ou endom´ısio, mas n˜ao inclui um componente amortecido individualmente. Os sarcolemas est˜ao fixados firmemente nos discos-Z e n˜ao possibilitam movimento apreci´avel. O elemento amortecido DEi est´a contido na fibra ex-

terna da estrutura e est´a paralelo `a fibra inteira. Os elementos s´eries s˜ao particionados em alguns componentes: um elemento BEi representando as estruturas el´asticas dentro das

pontes cruzadas e um elemento el´astico s´erie para o disco-Z SE1. Finalmente, o elemento

el´astico em s´erie SE2 representa a parte do tend˜ao. Na Figura 2.25, s˜ao mostrados em

detalhes os elementos descritos por (HATZE, 1981).

Figura 2.25: Modelo distribu´ıdo de (HATZE, 1981), adaptado de (FREIVALDS, 2004).

Obviamente, com centenas de milhares de sarcˆomeros, um modelo distribu´ıdo torna- se imposs´ıvel para trabalhar. Isso justifica, porque todos os sarcˆomeros de uma fibra s˜ao

mais ou menos iguais e ativados aproximadamente ao mesmo tempo. Ent˜ao, um modelo concentrado pode ser obtido, sendo com certeza, mais apropriado. O modelo de (HATZE, 1981) ´e ilustrado na Figura 2.26.

Figura 2.26: Modelo concentrado do m´usculo de Hatze, adaptado de (FREIVALDS, 2004).

Outras idealiza¸c˜oes podem simplificar mais ainda o modelo de (HATZE, 1981). Em (BAWA; MANARD; STEIN, 1976), o elemento s´erie SE e o elemento das pontes cruzadas BE podem ser considerados r´ıgidos e desprezados. Eliminando-se SE e BE, tem-se como resultado um modelo a quatro elementos, dois dos quais s˜ao el´asticos e podem combinar em um ´unico elemento paralelo el´astico. O modelo simplificado ´e mostrado na Figura 2.27.

Figura 2.27: Modelo simplificado de Hatze, adaptado de (FREIVALDS, 2004).

A for¸ca total produzida pelo modelo simplificado, mostrado na Figura 2.27 pode ser expressa como,

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Nota-se que cada elemento ´e expresso como uma fra¸c˜ao de for¸ca, relativa `a m´axima for¸ca produzida pelo m´usculo. No modelo de (HILL, 1938), assume-se propriedades lin- eares, o que n˜ao ´e uma afirma¸c˜ao correta. Por exemplo, o elemento el´astico PE, sob testes extensivos, do m´usculo humano sartorius, apresenta uma rela¸c˜ao entre for¸ca e deforma¸c˜ao exponencial, conforme mostrada na Figura 2.27 (YAMADA, 1970):

FP E = 0.00163(e7.66ǫ− 1). (2.21)

A dependˆencia da velocidade do elemento amortecedor DE est´a expresso como um amortecedor viscoso. (ALEXANDER; JONHSON, 1965) relatam a propriedade do amorteci- mento, como a rela¸c˜ao for¸ca-velocidade (FREIVALDS, 2004). (BAWA; MANARD; STEIN, 1976) encontraram, em suas pesquisas, que o coeficiente de amortecimento varia de 0.2Fmax < FDE < 0.6Fmax.

A for¸ca do elemento contr´atil FCE pode ser modelado pelas propriedades b´asicas do

m´usculo: (A rela¸c˜ao for¸ca-comprimento, a rela¸c˜ao for¸ca-velocidade e a rela¸c˜ao do estado de ativa¸c˜ao), definidas por (HATZE, 1981)), que desenvolveu um modelo mais complexo de que os quatro elementos de (HILL, 1938) e pode explicar melhor o conceito da excita¸c˜ao neural. De (FREIVALDS, 2004) encontra-se,

FCE = fact(t)xfl(ǫ)xfv( ˙η). (2.22)

sendo ˙η = ˙ǫ

˙ǫM AX, rela¸c˜ao entre a deforma¸c˜ao normalizada e a pela m´axima deforma¸c˜ao

permitida.

Na Figura 2.27 s˜ao definidos os seguintes parˆametros,

• fact(t), a for¸ca resultante devido a fun¸c˜ao de ativa¸c˜ao q(t),

• fl(ξ), a rela¸c˜ao for¸ca-comprimento,

• fv( ˙η), a rela¸c˜ao for¸ca-velocidade.

O estudo de (Hatze, 1981), produziu equa¸c˜oes aproximadas para interpreta¸c˜ao das propriedades do m´usculo. Equa¸c˜oes estas que foram seguidas e s˜ao adaptadas, at´e hoje, por demais autores que o sucederam. O trabalho de (GORDON; HUXLEY; JULIAN, 1966), (HATZE, 1981) adaptou uma fun¸c˜ao para expressar a rela¸c˜ao for¸ca-comprimento,

f (ξ) = 0.32 + 0.71e−1.112(ξ−1)sen3.722 (ξ − 0.656) , (2.23) sendo f (ξ) a express˜ao para a for¸ca-comprimento, ξ = l/l0 com l variando no intervalo

0 ≤ l ≤ 1.8 (cm).

A fun¸c˜ao do estado de ativa¸c˜ao ´e dada por,

fact =

0.005 + 82.63υ2_{(1 − e}−mt₎2

1 + 82.63υ2_{(1 − e}−_mt)2 . (2.24)

sendo υ a raz˜ao de estimula¸c˜ao relativa variando entre 0 e 1. E por ´ultimo expressa-se a rela¸c˜ao for¸ca-velocidade:

f ( ˙η) = 0.1433

0.1074 + e−1.409sinh(3.2 ˙η+1.6). (2.25)

A propriedade de ativa¸c˜ao de elemento contr´atil est´a em fun¸c˜ao do estado de ativa¸c˜ao. A for¸ca relativa da for¸ca do estado de ativa¸c˜ao fact ´e definida pela quantidade relativa

de C´alcio Ca++, liberada para retirada do mecanismo inibit´orio das cabe¸cas de miosina. Se o m´aximo n´umero de potencial do s´ıtio est´a ativo e todos os filaments s˜ao expostos pela a¸c˜ao de Ca++, ent˜ao q(t) = 1, enquanto em repouso, ´e denominado q0(t) = 0.005.

A for¸ca isom´etrica desenvolvida por uma fibra muscular, em um dado comprimento lq, ´e

diretamente proporcional a q(t) (HATZE, 1981). O equacionamento de (HATZE, 1981), foi desenvolvido em (FREIVALDS, 2004). O estado de ativa¸c˜ao ´e dado por,

q(ξ, γ) = q0+ ρ 2_(ǫ)γ c2 1 + ρ2_(ǫ)γ c2 , (2.26) sendo, ρ(ǫ) = 125.780 ǫ + 1 1.9 − ǫ. (2.27)

Verifica-se atrav´es de an´alise, para encontrar a fun¸c˜ao de ativa¸c˜ao q(t), defina γc como

a diferen¸ca entre a concentra¸c˜ao de c´alcio livre Ca++ _(γ

cf) e a concentra¸c˜ao em repouso

na fibra (γc0). Ent˜ao, dados pr´aticos que γc0<<< γcf e γc, γcf s˜ao basicamente idˆenticos.

Em (HATZE, 1981), mostra-se detalhadamente o desenvolvimento das equa¸c˜oes (2.26) e (2.27), que produzem o resultado da equa¸c˜ao (2.24). A raz˜ao de contra¸c˜ao m depende do tempo de contra¸c˜ao muscular tc. O tempo de contra¸c˜ao est´a em fun¸c˜ao do tipo de fibras

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da unidade motora, podendo ser de caracter´ısticas lentas e/ou r´apidas. Uma express˜ao aproximada por (Hatze, 1981) ´e definida como:

m = 0.372 tc

. (2.28)

Outro fator adicional a ser considerado ´e que o estado de ativa¸c˜ao varia depende do tipo das unidades motoras e da raz˜ao de estimula¸c˜ao relativa. Considerando dois grupos de popula¸c˜oes, o tipo Tipo I (refere-se a fibras lentas), e o Tipo II (refere-se a fibras r´apidas). Isto conduz a seguinte equa¸c˜ao,

F = (FP E+ FCEI + FCEII + FDE)Fmax (2.29)

O modelo foi aqui apresentado resumidamente. Maiores informa¸c˜oes podem ser en- contradas em (FREIVALDS, 2004).