O modelo numérico utilizado neste estudo é o DIVAST (Depth Integrated Velocity and Solute Transport), desenvolvido em 1976 por Roger Falconer para simular problemas relacionados à hidrodinâmica, ao transporte de sedimentos e à qualidade da água em estuários e águas costeiras. Este é um modelo bidimensional horizontal integrado ao longo da vertical, escrito em linguagem Fortran. Segundo Kashefipour et al. (2006), durante os últimos 25 anos o modelo DIVAST tem sido utilizado com sucesso em vários laboratórios em todo o mundo.
As equações que governam este modelo são resultados da integração na vertical das equações tridimensionais de Reynolds fazendo-se uso das hipóteses de onda longa e pressão hidrostática. A hipótese de onda longa considera que a escala vertical é muito menor quando comparada com o domínio horizontal do modelo e, consequentemente, o movimento é praticamente horizontal, sendo o escoamento ao longo da profundidade representado pela média vertical da variável dependente mais uma flutuação em torno dessa média. Já a hipótese de pressão hidrostática diz que a pressão em qualquer ponto depende somente da elevação do nível da água (circulação barotrópica). Além destas, o modelo também utiliza a hipótese de Boussinesq associada à teoria de comprimento de mistura de Prandtl para descrever a turbulência. Dessa forma, obtêm-se equações diferenciais bidimensionais conhecidas como equações de águas rasas as quais podem ser aplicadas em estuários e zonas costeiras onde a estratificação do corpo d água é pouco significativa.
A modelagem matemática que determina a hidrodinâmica do fluido é baseada na equação da continuidade, fundamentada no princípio de conservação da massa, e na equação da quantidade de movimento, também denominada de Navier-Stokes.
Nas condições supracitadas, estas equações resultam em equações bidimensionais podendo ser escritas como se segue:
Equação da continuidade: velocidade média na vertical nas direções x e y.
Equação da quantidade de movimento:
g Aceleração gravitacional (g 9,806m/s2);
a Massa específica do ar ( 1,292Kg/m3);
Massa específica do fluido (Kg/m3);
C Coeficiente de rugosidade de Chezy (m½/s);
Cw Coeficiente de resistência ar/fluido (adimensional);
y aceleração devido à variação do nível d’água (c), aceleração ocasionada pela ação do vento (d), aceleração originada pelo atrito com o fundo (e), aceleração causada pela turbulência (f) e aceleração devido ao efeito de Coriolis (g). Em resumo, a equação da quantidade de movimento representa o equilíbrio dinâmico das forças atuando no fluido.
Para simular a modelagem da qualidade de água é empregada a equação de transporte de solutos, também conhecida como equação da advecção-difusão.
Essa equação também pode ser integrada sobre a coluna da água, descrevendo o movimento médio dos solutos ao longo da profundidade. É escrita da seguinte
onde:
C Concentração de soluto média na vertical;
yy
Na equação 4.4 os termos a, b, c e d representam, respectivamente, os seguintes efeitos: transporte local; transporte advectivo; transporte difusivo longitudinal na direção x e difusão turbulenta; e transporte difusivo longitudinal na direção y e difusão turbulenta.
Os coeficientes de dispersão-difusão são determinados pelas expressões abaixo:
Kl Coeficiente de dispersão longitudinal médio na vertical (Kl=5,93);
Kt Coeficientes de difusão lateral turbulenta médio na vertical (Kt=0,23).
Para substâncias não conservativas, isto é, que decaem ao longo do tempo, como bactérias indicadoras de contaminação fecal, o termo S é definido como:
S KCH (4.8) onde:
K Coeficiente de inativação (dia-1).
O coeficiente de inativação é convencionalmente expresso em termos de T90 através de uma reação de decaimento de primeira ordem matematicamente definida como:
90
10 ln
K T (4.9)
onde:
T90 Tempo necessário para a redução de 90% do número original de bactérias indicadoras de contaminação fecal (h).
Como as equações diferenciais parciais 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 não possuem solução analítica, o modelo DIVAST emprega o método numérico de diferenças finitas para resolvê-las. Este método geralmente utiliza uma malha retangular composta de células quadradas para representar a região de estudo, e consiste na substituiç ão, dentro dessa malha computacional, de equações diferenciais parciais por equações em diferenças finitas, baseadas na aproximação em séries de Taylor truncadas.
O tipo particular de esquema de diferenças finitas empregado neste modelo é o Método Implícito de Direção Alternada também denominado ADI (Alternating Direction Implicit). Este é um esquema que envolve a subdivisão de cada passo de tempo em dois meio passos. No primeiro meio passo de tempo a elevação da água, a componente U da velocidade e a concentração de soluto são solucionadas implicitamente na direção x, enquanto que as outras variáveis são representadas explicitamente. Similarmente, para o segundo meio passo de tempo, a elevação da água, a componente V da velocidade e a concentração de soluto são solucionadas implicitamente na direção y, com as outras variáveis sendo representadas explicitamente. Dessa maneira, pode ser aplicado considerando-se, porém, apenas
uma dimensão implicitamente para cada meio passo de tempo, sem a solução de uma matriz bidimensional completa.
Este esquema tem precisão de segunda ordem tanto no tempo como no espaço, não tendo nenhuma restrição quanta à estabilidade. Um esquema será estável se o efeito acumulado de todos os erros de arredondamento for negligenciável.
Entretanto, Falconer (1976) recomenda que se restrinja o passo de tempo de forma que o número de Courant (equação 4.10) seja menor que 8.
gh
x
t (4.10)
onde:
t Passo de tempo utilizado;
x Tamanho da célula.
O DIVAST utiliza formulação do tipo euleriano e, assim, as variáveis (elevação do nível d’água, concentração de soluto, velocidade nas direções x e y e profundidade) são calculadas em pontos específicos da região modelada colocando-se uma malha computacional sobre a qual as equações serão resolvidas. A elevação e a concentração de soluto são determinadas no centro da célula ao passo que as componentes da velocidade e a profundidade são especificadas no centro dos lados da célula (Figura 2).
Figura 2: Célula computacional do DIVAST.
Fonte: Binnie e Partners, 1993.
Para iniciar a simulação, os valores iniciais das variáveis são prescritos ao longo do domínio dependendo das condições iniciais inseridas no modelo, que podem ser de dois tipos: partida a quente e partida a frio. Na partida a quente, a simulação começa a partir de valores de elevação, velocidade e concentração de soluto obtidos em simulação precedente. Já na partida a frio, o modelo inicia a simulação considerando, normalmente, velocidade nula ao longo do domínio, concentração de soluto nula ou com valor constante se a distribuição do soluto é inicialmente uniforme e elevação próxima ao seu nível máximo (preamar) ou mínimo (baixamar).
Como o modelo calcula apenas o que ocorre no interior do domínio modelado, a informação do que ocorre fora deste é transmitida através das condições de contorno, que são de dois tipos: contorno fechado e contorno aberto. Os contornos fechados ocorrem ao longo de linhas de costa ou adjacentes a estruturas, através dos quais não há passagem de fluxo. Ao contrário do contorno fechado, o contorno aberto não é uma fronteira física, o que permite o fluxo e, neste caso, condições hidrodinâmicas (elevação da superfície da água ou velocidade) e de qualidade (concentração de soluto) necessitam ser determinadas.
Com as condições de contorno incluídas, as equações em diferenças finitas para continuidade e quantidade de movimento resultantes em cada meio passo de tempo são solucionadas usando-se o método de eliminação de Gauss e substituição anterior (ou algoritmo de Thomas). Depois de estabelecer o campo hidrodinâmico dentro do domínio do modelo, o soluto é computado para cada meio passo de tempo para que se possa obter seu transporte e, consequentemente, sua concentração em todas áreas de interesse.