A modelagem do arranjo descrito na seção anterior será desenvolvida nessa seção, utilizando conceitos de termodinâmica clássica. Essa seção baseou-se na modelagem proposta em [1] e [6]. As hipóteses inicias para a modelagem do sistema são descritas abaixo:
1. As propriedades do HTF são funções da temperatura do mesmo, a qual depende do tempo e posição no espaço.
2. O fluxo de calor em cada seção transversal do tubo é considerado radialmente uniforme e igual à média do fluxo total em cada ponto do mesmo.
3.2. Modelo de Parâmetros Distribuídos 29
Figura 6 – Ilustração do tubo de transporte usado para a modelagem
3. As variações de temperatura radial nas paredes do tubo de transporte do HTF são negligenciáveis.
4. O HTF é incompressível e sua vazão e irradiação são funções do tempo e são as iguais para cada elemento de fluído.
5. A condução de calor axial nas paredes do tubo e no HTF são consideradas negligen- ciáveis.
6. A capacidade térmica do HTF a pressão constante e volume constante são equivalen- tes.
A figura6apresenta uma ilustração do tubo de transporte do HTF com as variáveis utilizadas no equacionamento do modelo. A modelagem é feita a partir de princípios de conservação de energia e conceitos da termodinâmica clássica. A equação 3.1 relaciona a variação de temperatura do metal do tubo de transporte com a variação da energia interna do mesmo, para uma parcela dx do tubo. Na equação, ρm representa a densidade do metal,
Am representa a área de metal do tubo, cm representa o calor especifico do metal do tubo
e Tm representa sua temperatura.
dUm
dt = ρmAmcm dTm
dt dx (3.1)
Essa variação de energia deve ser igual à energia que o tubo recebe menos a energia que este perde. A variação de energia interna do tubo nada mais é do que a energia recebida por irradiância e o calor transferido entre o metal, o HTF e o ambiente. A equação 3.2
apresenta este equacionamento, onde I representa a irradiância recebida, η0 é a eficiência
óptica do coletor, b é a abertura do coletor, hi representa o coeficiente de perdas térmicas
e l representa a circunferência interior do tubo.
ρmAmcm
dTm
30 Capítulo 3. Modelagem de Campos Termossolares
Utilizando os mesmos princípios aplicados nas formulações acima pode-se calcular a variação de energia interna do HTF, a qual é apresentada na equação3.3. A equação relaciona a energia transferida com o tubo de transporte e a variação de energia causada pela energia provinda do fluído que entra e sai da seção dx, representado pela vazão mássica ˙mf multiplicada pela diferença de entalpia Hx+dx− Hx.
dUf
dt = htl(Tf − Tm)dx − ˙mf(Hx+dx− Hx) (3.3) Como a variação de pressão no elemento dx é constante, a variação infinitesimal de entalpia é expressa pela equação3.4, onde Cp é a capacitância à pressão constante.
dH = CpdT + V (1 − αT ) 0
dp = CpdT (3.4)
Com base na variação de entalpia apresentada acima e a equação de variação de energia do HTF numa região dx mostrada em 3.3, a formulação para a variação de temperatura do HTF após percorrer o elemento dx é mostrada na equação 3.5, onde a notação utilizada é a mesma já apresentada mudando os subíndices de m para f .
(htl(Tf − Tm) − ˙mfcf
∂Tf
∂x )dx = ρfAfcf ∂Tf
∂t dx (3.5)
O modelo final consiste na junção da equação diferencial parcial apresentada em
3.5 e a equação 3.2, sendo esta apresentado em 3.6. É importante notar que nem todos os parâmetros do modelo são invariantes. O coeficiente de perdas térmicas hl é representado
por uma função afim da temperatura do campo e temperatura ambiente, por exemplo. As próximas subseções se propõe a descrever métodos de simplificação deste modelo de forma que estes possam ser utilizados para o projeto de controladores preditivos.
˙ mfcf ∂Tf ∂x + ρfAfcf ∂Tf ∂t = Iη0b − hlb(Tm− Ta) (3.6)
3.2.1
Modelo Linear
Um modelo linear pode ser obtido do modelo apresentado em3.6, de forma a ser utilizado para simulação e/ou projeto de controladores. As hipóteses da aproximação são apresentadas abaixo:
1. O arranjo solar é dividido entre elementos ativos, que recebem energia, e passivos. 2. A temperatura do fluído e do tubo de transporte numa posição x são iguais. Isso é
3.2. Modelo de Parâmetros Distribuídos 31
Com as hipóteses apresentadas acima a equação da dinâmica do sistema pode ser reescrita como em 3.7, onde a temperatura T representa a temperatura do HTF e do tubo de transporte. Iη0b − hlb(T − Ta) = ˙mfcf ∂T ∂x + ρfAfcf ∂T ∂t (3.7)
Essa equação pode ser discretizada no espaço como mostrado em 3.8chegando a uma formulação linear supondo a vazão ˙mf constante no tempo. O tamanho de ∆x pode
ser suficientemente pequeno para uma boa aproximação ou do tamanho do espaçamento entre os coletores pois, a partir das suposições propostas não há troca de calor nestas regiões. Esse modelo é utilizado em [7], onde o autor apresenta formulações de controle preditivo baseado neste modelo.
Iη0b − hlb(T − Ta) = ˙mfcf
(Tx+∆x− Tx)
∆x + ρfAfcf ∂T
∂t (3.8)
3.2.2
Modelo de Parâmetros Agrupados
O modelo de parâmetros agrupados é descrito nesta subseção. Este modelo utiliza algumas aproximações a partir do modelo de parâmetros distribuídos para uma formulação simplificada muito útil para o projeto de controladores ou simulação. As aproximações são feitas no modelo de troca de calor entre o HTF e o metal do tubo e no modelo da variação de temperatura do fluído sobre o espaço.
A partir da equação 3.6, as trocas de calor realizadas entre o fluído e o metal são aproximadas de acordo com a equação 3.9, onde ci são coeficientes de perdas térmicas,
Lf ield é o tamanho do campo, Touté a temperatura de saída do campo e Tin é a temperatura
de entrada deste. A aproximação supõe que a temperatura do metal do tubo de transporte é a média entre a temperatura de entrada e de saída do HTF e igualmente distribuída sobre todo o arranjo de coletores.
hlb(Tm− Ta) ' Hl Lf ield = c1((Tout+ Tin)/2 − Ta) − c2 Lf ield (3.9)
A aproximação da variação espacial da temperatura é ilustrada na equação3.10. Esta aproximação é feita de maneira similar à realizada no modelo linear apresentado na subseção anterior, tomando neste caso ∆x igual ao tamanho do campo solar. O atraso de transporte td representa o atraso da ação de controle para a saída do sistema. A variável tr
representa o atraso de transporte da temperatura de entrada para a saída e foi considerada zero neste trabalho, porém, em [5] foi desenvolvido uma técnica para levantar o valor desta
32 Capítulo 3. Modelagem de Campos Termossolares variável. ˙ mfcf ∂Tf ∂x ' ˙mf(t − td)cf (Tout− Tin(t − tr)) Lf ield (3.10)
Com base nas aproximações acima o modelo de parâmetros agrupados é apresentado em 3.11. O modelo final representa um relação direta entre entrada e saída do campo termossolar de forma que seja intuitivo o projeto de controladores utilizando o mesmo. Pela sua simplicidade e bons resultados quando comparado ao modelo de parâmetros distribuídos [8], o modelo de parâmetros agrupados foi o escolhido para ser usado neste trabalho, sendo descrito novamente no próximo capitulo.
ρfAfcf ∂Tout ∂t = Iη0b − Hl Lf ield − ˙mf(t − td)cf (Tout− Tin(t − tr)) Lf ield (3.11)