Modelo de percolação invasiva

Um outro modelo muito famoso na teoria da percolação é o modelo de percolação inva- siva, introduzido por D. Wilkinson e J. F. Willemsen em 1983 no estudo do comportamento de dois fluidos imiscíveis deslocando-se em um meio poroso [19]. Por exemplo, quando injetamos água vagarosamente em um meio poroso com óleo, as forças de capilaridade tornam-se domi- nantes em relação às forças de viscosidade e a dinâmica do sistema é determinada localmente pelo tamanho dos poros. Desse modo, podemos definir um fluido molhante ou invasor e um fluido não-molhante ou defensor, como por exemplo, água e óleo, respectivamente, no exemplo anterior (Fig. 2.14).

Computacionalmente, podemos supor que o meio poroso seja representado por uma rede L x L com cada sítio associado a um número aleatório ri uniformemente distribuído entre ]0,1[ representando o raio de cada poro. Além disso, podemos definir um ou vários sítios invasores para começarmos a dinâmica e um ou vários sítios defensores para encerrarmos a dinâmica. Assim, definimos também a chamada interface, ou os sítios de crescimento entre os fluidos, como aqueles sítios defensores que são vizinhos dos sítios invasores, ou seja, são os sítios defensores que pertencem à fronteira. Para a dinâmica do sistema, a cada passo de tempo, o sítio de menor raio ri pertencente à fronteira é invadido e a lista dos sítios de crescimento é atualizada conforme os primeiros vizinhos de Von Neuman (Fig. 2.6). Em nossas simulações, consideramos toda a primeira linha da rede como sendo sítios invasores, deixamos o sistema evoluir seguindo as regras anteriores e encerramos a dinâmica quando o fluido invasor percola o sistema, ou seja, toca um sítio defensor da última linha (Fig. 2.14). Nesse ponto, o agregado invasor possui um estrutura complicada com várias ramificações e podemos observar que a massa ou número de sítios invadidos M(L) escala com o tamanho do sistema L, da seguinte forma,

Figura 2.14: Rede de percolação invasiva de tamanho L = 1024 sem aprisionamento. Em preto, representamos os sítios invadidos que formam uma estrutura similar ao agregado percolante em pce, em cinza, representamos os sítios defensores.

onde D ≃ 1.89 para duas dimensões [4], como mostra a Fig. 2.15. Tal modelo, tenta des- crever o comportamento de um fluido infinitamente compressível, sendo chamado de modelo de percolação invasiva sem aprisionamento. Nesse caso, os sítios invadidos se comportam da mesma maneira que o agregado percolante na criticalidade. Para um fluido incompressível, ou seja, quando há a formação permanente de bolhas do fluido defensor, o modelo torna-se o modelo de percolação invasiva com aprisionamento e o expoente torna-se um pouco menor, D_{≃ 1.82 [4]. Para três dimensões, a dimensão fractal é D ≃ 2.5 para ambos os casos, pois} quase não existe aprisionamento. Uma característica marcante desses modelos é a criticalidade auto-organizada, ou seja, eles evoluem para a criticalidade espontaneamente.

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L

M

1.89

Figura 2.15: Gráfico da massa de sítios invasores M em relação ao tamanho L do sistema em escala logarítmica. Simulamos sistemas de tamanhos L = 32768, 16384, 8192, 4096, 2048 e 1024 com 100, 200, 400, 800, 1600 e 3200 amostras, respectivamente. Encontramos D ≃ 1.89 para a dimensão fractal do agregado invasor de percolação invasiva sem aprisionamento.

Outras duas quantidades interessantes no modelo de percolação invasiva são a envoltória de percolaçãoe o perímetro acessível do fluido invasor. A envoltória de percolação h(L) é definida como os sítios externos ao agregado invasor, isto é, os sítios defensores que são vizinhos dos sítios invadidos. Essa quantidade também escala com o tamanho do sistema L e é identificada como um fractal de dimensão D = 7/4 = 1.75, como mostra a Fig. 2.16. O perímetro acessível, é um pouco mais complicado, pois sua definição depende do diâmetro de partículas sonda d em relação à unidade de medida da rede a. Essas partículas são, hipoteticamente, lançadas em direção ao agregado invasor. Desse modo, o perímetro acessível é definido como o local no

agregado invasor para o qual existe alguma probabilidade dessas partículas sondas colidirem. Por exemplo, quando o diâmetro da partícula sonda obedece a seguinte relação,

d<√2a, (2.22)

teremos que o perímetro acessível comporta-se de forma estatisticamente semelhante à envol- tória de percolação, com a dimensão fractal D = 7/4 = 1.75. Caso contrário, o perímetro diminui com o aumento do valor de d, convergindo, no limite termodinâmico, para dimensão fractal D = 4/3 ≃ 1.33. Em suma, a teoria da percolação é muito abrangente devido à sua uni-

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L

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h

1.75

Figura 2.16: Gráfico do número médio de sítios de crescimento h em relação ao tamanho L do sistema em escala logarítmica. Simulamos sistemas de tamanhos L = 32768, 16384, 8192, 4096, 2048 e 1024 com 100, 200, 400, 800, 1600 e 3200 amostras, respectivamente. Encontra- mos D = 1.75 para a dimensão fractal da envoltória de percolação invasiva sem aprisionamento.

versalidade, pois apesar dos pontos críticos dependerem dos detalhes topológicos da rede, os expoentes críticos só dependem da dimensão topológica.

2.3

Introdução à superfícies correlacionadas

Por vários anos, matemáticos tentaram desenvolver uma teoria de suavização de curvas e superfícies. Assim, foi criada a geometria diferencial para estudar curvas e superfícies que globalmente poderiam ter formas bastante complexas, embora pudessem ser tratadas como um

conjunto de pequenas retas ou pequenos planos. Tal complexidade pode ser contornada com o estudo de curvas e superfícies fractais aleatórias sem a necessidade do grande rigor dos teo- remas e notações da geometria diferencial, pois, computacionalmente, fractais são gerados de forma muito mais simples. Nesse contexto, apresentaremos o problema que deu origem a aná- lise de funções aleatórias correlacionadas e sua conexão com o Movimento Browniano Fracio- nário. Finalmente, explicaremos um dos métodos utilizados na literatura para gerar superfícies correlacionadas. Tais sistemas tem grande aplicabilidade na natureza, como na representação de montanhas, nuvens ou meios porosos.