Modelo SAR - Modelos para dados de área sob a abordagem bayesiana

4.4 Modelo SAR

Assuma que Z = (Z1, . . . , Zn)

, segue um modelo autorregressivo simultˆaneo conforme descrito na Subse¸c˜ao 4.4 e definido da seguinte forma

Z ∼ N Xβ,1 τ [(I − ρSARW ∗ )(I − ρSARW∗)0] −1 . (4.5)

sendo Xβ o produto entre a matriz desenho contendo n linhas nas quais cada linha contém K variáveis relacionadas a i-ésima região e o vetor coluna representando os efeitos dessas variáveis na variável resposta, I uma matriz identidade de ordem n, ρ o efeito espacial, W∗ sendo uma matriz de ordem n × n formada pelos elementos W_ij∗ = Wij

Wi+, nos

quais Wij = 1, se as regi˜oes i e j dividem a mesma fronteira, e Wij = 0, caso contr´ario,

e Wi+ = Pn_j=1Wij sendo o total de regi˜oes que dividem fronteira com a regi˜ao i. E τ

a precisão do modelo. Por conta disso, tem-se que o vetor de parâmetros desconhecidos desse modelo é θ = (β, τ, ρSAR)0.

Acompanhando o enfoque bayesiano, para inferir sobre o vetor paramétrico θ é necessário atribuir uma distribui¸cão a priori para o mesmo. Portanto, considere que β, τ e ρ sejam independentes e que possuam as seguintes distribui¸cões

β ∼ N (a; VβI),

τ ∼ Ga(b, c),

ρ ∼ U (d, e), (4.6)

sendo b_c e _cb2, respectivamente, a média e a variância da distribui¸cão gama.

Dessa forma, tem-se que a distribui¸c˜ao a posteriori ´e dada pela seguinte forma

p(θ|Z) ∝ p(Z|θ)p(β)p(τ )p(ρ), (4.7)

sendo p(Z|θ) a fun¸cão de densidade da distribui¸cão dada pela Equa¸cão (4.1). Essa distribui¸cão a posteriori não possui forma anal´ıtica conhecida e amostras podem ser obtidas através dos métodos de MCMC. Conforme descrito na Se¸cão 3.2.1, faz-se então necessário obter as distribui¸cões condicionais completas a posteriori do vetor paramétrico θ. Assim, tem-se as seguintes distribui¸cões.

β | τ, ρSAR, z ∼ N Vp[X 0 τ QZ + V_β−1Ia] ; Vp = [X 0 τ QX + V_β−1I]−1, τ | θ, ρSAR, z ∼ Ga n 2 + b ; 1 2(Z − Xβ) 0 Q(Z − Xβ) + c ,

4.4 Modelo SAR 38

onde Q = [(I − ρSARW∗)(I − ρSARW∗)0].

A distribui¸cão condicional completa do parâmetro ρSAR não apresentou forma

anal´ıtica fechada e conhecida, sendo necessária assim a utiliza¸cão do algoritmo de Metropolis Hastings para estimá-lo. Dessa forma, especificou-se uma distribui¸cão proposta para esse parâmetro que segue uma normal truncada no intervalo [−1, 1], de tal forma que

q(ρ) ∼ N T (ρ(i−1), 0, 252 ; −1, 1) ,

onde ρi−1 _´_{e o valor do parˆ}_{ametro na intera¸c˜}_{ao anterior do algoritmo.}

4.4.1 Estudo Simulado

Aplicou-se o modelo SAR proposto a um conjunto de dados simulados e analisou- se a sensibilidade da modelagem quanto a diferentes escolhas para os hiperparâmetros da distribui¸cão a priori, com o intuito de verificar a capacidade de estima¸cão dos parâmetros. As escolhas foram realizadas de forma que ora tivesse uma distribui¸cão a priori informativa e ora tivesse menos informativa. Uma das formas utilizadas para transformar uma distribui¸cão informativa em não informativa é aumentar a variabilidade dessa distribui¸cão. Sendo assim, visando essa análise, a Tabela 3 apresenta as distribui¸cões utilizadas.

Tabela 3: Análise de sensibilidade: diferentes escolhas de hiperparâmetros para a distribui¸cão a priori.

a Vβ b c d e

Priori 1 (0 ; 0) 1000 0,1 0,1 -1 1

Priori 2 (0 ; 0) 100 2 0,5 -1 1

Priori 3 (0 ; 0) 10 16 4 -1 1

Para a simula¸cão dos dados, foram fixados valores arbitrários para os parâmetros desconhecidos do modelo. Suponha que a média do processo seja formada por uma matriz desenho com um intercepto, uma variável explicativa e os seguintes valores β0 = (2 ; 3) e τ = 0, 5, sendo Xi1 = 1 e Xi2∼ U (0, 1). Para o parâmetro ρ, fixou-se três valores, 0, 1,

0, 3 e 0, 7, com o objetivo de analisar o comportamento da an´alise de sensibilidade dos hiperparˆametros do modelo.

4.4 Modelo SAR 39

A Figura 8 apresenta os dados simulados a partir de uma baixa e moderada/alta correla¸c˜ao espacial entre os munic´ıpios do estado do Maranh˜ao.

(a) ρ = 0, 1 (b) ρ = 0.7

Figura 8: Dados simulados via modelo SAR para diferentes valores de ρSAR nos munic´ıpios

do Maranh˜ao.

A Figura 9 apresenta as estimativas pontuais, obtidas pelas médias a posteriori sob diferentes escolhas para os hiperparâmetros da distribui¸cão a priori e seus respectivos intervalos de alta densidade a posteriori, abreviados aqui por HDI, que são bastante usados em análises bayesianas (Turkkan et al. 1993) [16]. As linhas tracejadas horizontamente representam os valores verdadeiros fixados para β e τ . Repare que, mesmo diminuindo a variância de Vβ, as estimativas dos parâmetros a posteriori se mantiveram próximas e com

os intervalos contendo o valor verdadeiro fixado, com exce¸cão da Priori 3 no parâmetro τ . Isso se deve ao fato da média alta e variância pequena na distribui¸cão da precisão. Já no parâmetro ρSAR, o “x”representa o valor fixado para cada um dos casos. Note que o

4.4 Modelo SAR 40

Figura 9: Análise de sensibilidade: estimativas a posteriori dos parâmetros sob diferentes escolhas de hiperparâmetros para a distribui¸cão a priori. A estimativa pontual é dada pela média a posteriori e a intervalar pelo intervalo HDI de 95%.

Foram realizadas 11.000 itera¸cões, com per´ıodo de aquecimento (burn-in) de 1.000 e espa¸camento de 10, retornando assim amostras a posteriori não correlacionadas de tamanho 1.000. A Figura 10 mostra a convergência das cadeias dos parâmetros e também seus histogramas a posteriori utilizando a Priori 2 definida na Tabela 3 e considerando ρ = 0, 7. As linhas tracejadas representam os valores verdadeiros dos parâmetros, já as linhas trajecadas mais fracamente são as estimativas dos intervalos HDI a posteriori de 95%. Note que há ind´ıcios de convergência, que as médias a posteriori (estimativas pontuais) ficaram próximas dos valores verdadeiros e os intervalos contemplaram os mesmos.

4.4 Modelo SAR 41

Figura 10: Tra¸cos das cadeias e histogramas das amostras a posteriori dos parˆametros utilizando a Priori 2 com dados simulados.

4.4.2 Dados de Hansen´ıase

Como já mencionado na Se¸cão 4.1, mais da metade dos mun´ıcipios do estado do Maranhão apresentaram taxas de hansen´ıase iguais a zero no ano de 2010. Fato esse que implica diretamente na modelagem podendo prejudicar substancialmente na estima¸cão dos parâmetros desconhecidos do modelo. Como alternativa, novamente foi realizada uma transforma¸cão da variável resposta para diminuir a variabilidade dos dados e tentar obter um resultado mais satisfatório no ajuste.

Considere Z_i∗ a taxa da doen¸ca em menores de 15 anos diagnosticados na regi˜ao i, por 100.000 habitantes. Admita que Z = (Z1, . . . , Zn)

, em que Zi = log(Zi∗+ 0, 1), segue

um modelo autoregressivo simultâneo conforme descrito na Se¸cão 3.1, com intercepto e uma variável explicativa. Utilizou-se como variável explicativa o IDHM em 2010 de cada munic´ıpio do Maranhão.

Assumindo a análise de sensibilidade anterior satisfatória, optou-se em escolher a priori 2 na aplica¸cão dos dados reais um vez que o modelo se ajustou corretamente para diferentes prioris. Sendo assim, assuma que

β ∼ N (0; 100I), τ ∼ Ga(2; 0, 5),

4.4 Modelo SAR 42

sendo 0 = (0, 0)0.

Foram gerados 11.000 valores com per´ıodo de aquecimento (burn-in) de 1.000 e espa¸camento de 10, retornando assim amostras a posteriori não correlacionadas de tamanho 1.000. Para a estimativa dos parâmetros desconhecidos, foram utilizadas a média a posteriori e intervalos HDI de 95%. A Figura 11 apresenta a convergência das cadeias dos parâmetros e os histogramas das distribui¸cões a posteriori.

Figura 11: Tra¸cos das cadeias (superior) e histogramas (inferior) das distribui¸c˜oes a posteriori usando o conjunto de dados reais e o modelo SAR.

A Tabela 2 apresenta as estimativas e os intervalos HDI a posteriori dos parˆametros estimados do modelo SAR aplicado aos dados reais.

Tabela 4: M´edias a posteriori e intervalos HDI de 95% para os parˆametros.

β1 β2 τ ρSAR

Priori 2 -8,1888 14,3357 0,1510 0,2540

(-12,5041 ; -3,9518) (7,0572 ; 21,7918) (0,1226 ; 0,1765) (0,0829 ; 0,4272)

Com base nas estimativas dos parâmetros apresentadas Tabela 4, verificou-se que quão maior for o IDHM, maior deverá ser a taxa de deteçcão de hansen´ıase em menores de 15 anos nos munic´ıpios do Maranhão. Resultado esse não muito esperado, dado que esse indicador representa desenvolvimento humano nas áreas de educa¸cão, saúde e renda. Como hipótese inicial, essa rela¸cão pode estar associada, por exemplo, à subnotifica¸cão diferenciada segundo os munic´ıpios onde pessoas oriundas de regiões com baixos IDHM são notificadas nos grandes centros urbanos onde apresentam ´ındices de desenvolvimento

4.4 Modelo SAR 43

mais elevados. E dessa vez o intervalo HDI para β1 n˜ao cont´em o 0, resultado que esse

parˆametro ´e significante para esse modelo especificamente.

Note que a estimativa pontual para o parˆametro de autocorrela¸c˜ao espacial foi de ρSAR = 0, 25 e sabendo que os ´ındices de Moran e Geary foram respectivamente 0, 11

e 0, 88, percebe-se que há uma associa¸cão entre esses valores, uma vez já verificado no estudo simulado na Se¸cão 4.2. Como prova disso, aplicou-se a estimativa de ρSAR a 1.000

replica¸cões de dados simulados via o modelo SAR e calculado os indicadores. As médias dos ´ındices foram 0, 09 para o I de Moran e 0, 90 para o C de Geary, valores bem próximos aos verdadeiros usando os dados reais de hansen´ıase.

5 Conclus˜ao

O interesse desse trabalho estava na modelagem espacial de dados de ´area sob a perspectiva bayesiana. Para isso, recorreu-se aos modelos CAR e SAR tradicionalmente usados para esse tipo de dados.

Para estudar sobre os parâmetros que medem a dependência espacial, gerou-se um conjunto de dados simulados e comparou-se os ´ındices de Moran, o de Geary e o parâmetro de correla¸cão espacial do modelo SAR. A partir dos resultados, verificou-se que há ind´ıcios desses parâmetros serem correlacionados e apropriados para verificarem a dependência espacial.

Para verificar o procedimento de inferência, gerou-se um conjunto de dados simulados e estimou-se os parâmetros desse conjunto. A análise de sensibilidade da distribui¸cão a priori se comportou de forma satisfatória e os parâmetros foram bem estimados mesmo sob diferentes escolhas dos hiperparâmetros em ambos os modelos.

Em seguida, analisou-se um conjunto de dados reais, que correspondeu a uma transforma¸cão das taxas de hansen´ıase. A partir de uma análise exploratória dos dados e pelos ´ındices de Moran e de Geary, foi poss´ıvel verificar que as taxas de deteçcão de hansen´ıase em menores de 15 anos apresentaram correla¸cão espacial, ou seja, a taxa de determinada região é influenciada pelas taxas de sua vizinhan¸ca. Ademais, através dos modelos apresentados e suas covariáveis associadas, verificou-se que o IDHM foi uma covariável significativa, porém indicou que regiões com maiores ´ındices de desenvolvimento humano tendem a ter maiores taxas da doen¸ca.

Os modelos propostos servem para variáveis respostas cont´ınuas que assumem valores na reta. As taxas de hansen´ıase são não-negativas. Para levar essas taxas na reta e diminuir a variabildiade dos dados, aplicou-se uma fun¸cão logar´ıtmica. Porém, há muitas taxas nulas indicando que a variável resposta é mista mesmo com a transforma¸cão utilizada. Problema esse que pode influenciar negativamente na estimativa e no intervalo de credibilidade dos parâmetros dos modelos.

5 Conclus˜ao 45

Consequentemente, fica como trabalhos futuros a utiliza¸c˜ao de modelos mais adequados aos dados de hansen´ıase, levando em considera¸c˜ao principalmente a grande quantidade de taxas iguais a zero.

Referˆencias

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APˆENDICE A -- Munic´ıpios do Estado do

Maranh˜ao

A¸cailândia, Afonso Cunha, Agua Doce do Maranhão, Alcântara, Aldeias Altas, Altamira do Maranhão, Alto Alegre do Maranhão, Alto Alegre do Pindaré, Alto Parna´ıba, Amapá do Maranhão, Amarante do Maranhão, Anajatuba, Anapurus, Apicum-Acu, Araguanã, Araioses, Arame, Arari, Axixá, Bacabal, Bacabeira, Bacuri, Bacurituba, Balsas, Barão de Grajau, Barra do Corda, Barreirinhas, Bela Vista do Maranhão, Belágua, Benedito Leite, Bequimão, Bernardo do Mearim, Boa Vista do Gurupi, Bom Jardim, Bom Jesus das Selvas, Bom Lugar, Brejo de Areia, Brejo, Buriti Bravo, Buriti, Buriticupu, Buritirana, Cachoeira Grande, Cajapió, Cajari, Campestre do Maranhão, Candido Mendes, Cantanhede, Capinzal do Norte, Carolina, Carutapera, Caxias, Cedral, Central do Maranhão, Centro Novo do Maranhão, Centro do Guilherme, Chapadinha, Cidelândia, Codó, Coelho Neto, Colinas, Concei¸cão do Lago-Acu, Coroatá, Cururupu, Davinópolis, Dom Pedro, Duque Bacelar, Esperantinópolis, Estreito, Feira Nova do Maranhão, Fernando Falcão, Formosa da Serra Negra, Fortaleza dos Nogueiras, Fortuna, Godofredo Viana, Goncalves Dias, Governador Archer, Governador Edison Lobão, Governador Eugenio Barros, Governador Luiz Rocha, Governador Newton Bello, Governador Nunes Freire, Gra¸ca Aranha, Grajau, Guimaraes, Humberto de Campos, Icatu, Igarapé Grande, Igarapé do Meio, Imperatriz, Itaipava do Grajau, Itapecuru Mirim, Itinga do Maranhão, Jatobá, Jenipapo dos Vieiras, Joao Lisboa, Joselândia, Junco do Maranhão, Lago Verde, Lago da Pedra, Lago do Junco, Lagoa Grande do Maranhão, Lagoa do Mato, Lagoa dos Rodrigues, Lajeado Novo, Lima Campos, Loreto, Lu´ıs Domingues, Magalhaes de Almeida, Maraca¸cumé, Marajá do Sena, Maranhãozinho, Mata Roma, Matinha, Matões do Norte, Matões, Milagres do Maranhão, Mirador, Miranda do Norte, Mirinzal, Mon¸cão, Montes Altos, Morros, Nina Rodrigues, Nova Colinas, Nova Iorque, Nova Olinda do Maranhão, Olho d’Agua das Cunhas, Olinda Nova do Maranhão, Paco do Lumiar, Palmeirândia, Paraibano, Parnarama, Passagem Franca, Pastos Bons, Paulino Neves, Paulo Ramos, Pedreiras, Pedro do Rosário, Penalva, Peri Mirim, Peritoró, Pindaré Mirim, Pinheiro, Pio

Apˆendice A -- Munic´ıpios do Estado do Maranh˜ao 49

XII, Pirapemas, Po¸cão de Pedras, Porto Franco, Porto Rico do Maranhão, Presidente Dutra, Presidente Juscelino, Presidente Médici, Presidente Sarney, Presidente Vargas, Primeira Cruz, Raposa, Riachão, Ribamar Fiquene, Rosário, Samba´ıba, Santa Filomena do Maranhão, Santa Helena, Santa Inês, Santa Luzia do Paruá, Santa Luzia, Santa Quitéria do Maranhão, Santa Rita, Santana do Maranhão, Santo Amaro do Maranhão, Santo Antônio dos Lopes, São Benedito do Rio Preto, São Bento, São Bernardo, São Domingos do Azeitão, São Domingos do Maranhão, São Felix de Balsas, São Francisco do Brejão, São Francisco do Maranhão, São Joao Batista, São Joao do Carú, São Joao do Paraiso, São Joao do Soter, São Joao dos Patos, São Jose de Ribamar, São Jose dos Bas´ılio, São Lu´ıs Gonzaga do Maranhão, São Lu´ıs, São Mateus do Maranhão, São Pedro da Agua Branca, São Pedro dos Crentes, São Raimundo das Mangabeiras, São Raimundo do Doca Bezerra, São Roberto, São Vicente Ferrer, Satubinha, Senador Alexandre Costa, Senador La Rocque, Serrano do Maranhão, Sitio Novo, Sucupira do Norte, Sucupira do Riachão, Tasso Fragoso, Timbiras, Timon, Trizidela do Vale, Tufilândia, Tuntum, Turia¸cu, Turilândia, Tutoia, Urbano Santos, Vargem Grande, Viana, Vila Nova dos Mart´ırios, Vitoria do Mearim, Vitorino Freire e Zé Doca.

No documento Modelos para dados de área sob a abordagem bayesiana (páginas 38-50)