Óptica geométrica, Hidrodinâmica e Aplicações da Pinça Óptica
5.3 Medidas de Elasticidade de Hemácias Normais e Alteradas 1 Motivação
5.3.2. Modelo Simplificado Modelo hidrodinâmico
No modelo simplificado assumimos que a hemácia, na sua forma bicôncava da Figura 113 acima, pode ser aproximada por um paralelepípedo de comprimento L,
do fundo da câmara de Neubauer, cuja profundidade total é de H = 100 µm, e
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Z =Z − da lamínula. Essa hemácia é arrastada com a pinça óptica no fluido do H
plasma sangüíneo, cuja viscosidade é µ, com uma velocidade constante V, conforme mostra a Figura 114. Fundo da lâmina L u Z1 Z2 Lamínula L u Z1 Z2 Lamínula Fundo da lâmina L W ε
Figura 114. Modelo geométrico da hemácia na câmara de Neubauer. Z1 e Z2 representam,
respectivamente, a distância da hemácia ao fundo da lâmina e ao topo da lamínula na câmara de Neubauer. L, W e ε indicam o comprimento, a largura e a espessura da hemácia e u é a velocidade de arraste.
Para o cálculo da força hidrodinâmica fizemos a suposição de que esse paralelepípedo se move de acordo com o escoamento de Couette, onde há um gradiente linear de velocidade entre duas placas conforme mostra a Figura 115 e a força de arraste é dada pela expressão: couette WL F u Z = µ (5. 9) Figura 115. Gradiente de velocidades em um escoamento de Couette.
Como no nosso problema existem quatro superfícies envolvidas: duas da hemácia, uma da lâmina e outra da lamínula, simplesmente nós decidimos adicioná‐las como dois escoamentos de Couette. Nesse caso a força total nas duas superfícies da hemácia será dada por: 1 2 1 1 ( ) h id r o e q W L F W L u u Z Z Z = µ + = µ (5. 10),
onde 1 Zeq =1 Z1 +1 Z2 e W e L são os valores de largura e do comprimento da célula.
Nossa justificativa para o uso do escoamento de Couette seguiu o seguinte raciocínio. Se a distância entre as placas se torna muito grande não faz mais sentido se falar em um gradiente linear da velocidade entre a superfície da partícula e a parede. Entretanto, mesmo nesse caso, a força de arraste ainda estará presente, mas seria melhor descrita com um escoamento de Stokes do que com o de Couette. Na ausência das paredes o gradiente de velocidade deixa de ser linear e se desenvolve uma camada limite após a qual a velocidade do fluido não muda mais. Assim decidimos estimar a dimensão dessa camada limite e compará‐la com a distância H entre paredes da câmara de Neubauer para decidir sobre que regime de escoamento utilizar. Para tanto utilizamos a expressão para a formação da camada limite em uma placa semi‐ infinita em função da distância à sua borda, dada por δ =5L R, onde R é o número de
Reynolds. Essa camada limite está representada na Figura 116. L V = 0 δ (L) V = u Z Figura 116. Desenvolvimento da camada limite δ.
Podemos notar que L também entra na definição do número de Reynolds, de modo que a envoltória da camada limite cresce com
L
e não L. No nosso caso L é otamanho da hemácia de 10 µm e para velocidades de 100 µm/s entãoδ ≈1000 μm=1mm, cerca de dez vezes superior aos 100 µm de profundidade da câmara de Neubauer. Isso mostra que assumir o gradiente de velocidade na condição de “non slip”, entre a hemácia e as paredes, por um gradiente linear deve ser uma boa aproximação e que os cálculos não devem diferir muito de modelos hidrodinâmicos mais completos.
Nesse ponto vale a pena ressaltar uma diferença entre o nosso modelo e outros comumente utilizados na hidrodinâmica. Usualmente os autores utilizam soluções das equações de “creeping motion” com todo o esforço para garantir as condições de contorno de “non slip” nas superfícies envolvidas. É comum utilizarem uma adição dessas funções como aproximação mesmo sabendo que ela não satisfaz as condições de contorno. Como diferentes formas de abordagem teórica podem levar a resultados numéricos semelhantes, no nosso modelo garantimos as condições de contorno sem a preocupação para que o campo de velocidades fosse uma solução das equações de “creeping motion”. Simplesmente adotamos uma aproximação para o campo de velocidades como sendo uma reta. Funções que variam pouco sempre podem ser aproximadas por retas. Seria necessário um gradiente muito concentrado na hemácia para nossa aproximação se tornar muito pobre. Mas se esse fosse o caso as paredes teriam pouca influência no arraste, o que está longe da realidade. O fato de a camada limite ser muito maior do que as separações entre as superfícies, indica que esse gradiente não deve ser assim tão concentrado na hemácia.
Modelo elástico
A célula deforma‐se sobre a ação da força hidrodinâmica criando uma força elástica igual e em direção oposta. A idéia então foi medir a constante dessa mola. Esse trabalho se iniciou com a necessidade dos médicos de caracterizarem uma propriedade das hemácias que eles chamavam de deformabilidade, avaliada de forma qualitativa e subjetiva na maioria dos trabalhos publicados, e para a qual não existe a definição de uma grandeza física que pudéssemos utilizar. Mesmo pensando intuitivamente em termos de constantes elásticas de molas, estava claro que essa é uma característica não apenas do material, mas da sua geometria. Assim hemácias de tamanhos diferentes podem ter constantes de molas diferentes apenas devido às suas dimensões. Para se determinar um parâmetro intrínseco da hemácia, que independe de seu tamanho e sua forma, é melhor usar o conceito de elasticidade em lugar da constante elástica.
A explicação intuitiva apresentada aos pesquisadores de área médica para definir esse conceito partiu da idéia de associação de molas em série e em paralelo, equivalentes às associações de resistências em paralelo e em série respectivamente. Portanto, dois corpos idênticos tracionados ao longo de seu comprimento, um ao lado do outro, apresentarão uma constante de mola dobrada, ou seja, a constante da mola deve ser multiplicada pela largura W do corpo. Da mesma forma, um corpo sobre o outro apresentarão uma constante de mola dobrada linear proporcional a espessura δ. Por outro lado, dois corpos um ao longo do outro, na direção da tração, apresentarão uma constante de mola que é metade de cada um deles. Isso então significa que a constante da mola será proporcional à área da seção reta do corpo e inversamente proporcional ao seu comprimento,
L
W
k
K
=
δ
(5. 11),onde k, a elasticidade, é uma propriedade apenas do material com que a mola é
fabricada. Quando esse material tem uma espessura constante, podemos definir a elasticidade η = kδ, e a constante a mola é dada por
L
W
K
=η
(5. 12).No caso das hemácias, assumimos que a resposta elástica é dada pela membrana de camada bilipídica de espessura constante. Dessa forma assumimos a seguinte expressão para a força elástica: