4.2 Implementação no OpenSees
4.2.1 Modelo Teórico para Análises Termo-mecânicas Não Lineares
Devido à não linearidade das análises termo-mecânicas, é fácil perceber que a sua implementação computacional terá de ser um processo iterativo e incremental.
Numa análise não-linear podem identificar-se três fases em cada passo de análise: (i) atualização do estado da estrutura (dano devido à história de carregamento), (ii) cálculo da resposta estrutural devida às solicitações externas, e (iii) processo iterativo de convergência da resposta tendo em conta o equilíbrio estrutural.
Na Figura 4.2 apresenta-se um fluxograma do algoritmo de uma análise termo-mecânica não linear (neste caso está particularizado para o material aço). Para cada incremento de temperatura todas as propriedades que definem a relação extensão-tensão do material são atualizadas para o cálculo das forças não equilibradas. Estas forças incluem as forças de fixação induzidas pela extensão térmica, assim como as forças externas e forças resistentes. Com o incremento de força nos elementos, é calculado o incremento de deslocamento. Conhecendo a deformação total dos elementos é recalculada a nova geometria da estrutura, assim como o seu estado de tensão através da subtração da deformação induzida pela temperatura à deformação total. O cálculo da força resistente obtém-se integrando as tensões ao longo da secção (secção composta por fibras), sendo esta posteriormente utilizada para o cálculo da força não equilibrada da iteração. Em cada iteração, o equilíbrio da estrutura é verificado de modo a garantir a convergência da nova deformada (teste de convergência).
A secção de um elemento é constituída por fibras longitudinais uniaxiais, que têm associado as suas propriedades material, geometria e temperatura média. O gradiente térmico ao longo da profundidade da fibra não foi implementado no OpenSees. Deste modo, para análises com gradientes térmicos muito acentuados na secção, deve-se proceder ao aumento do número de fibras que define a secção. Esta simplificação em estruturas de aço é perfeitamente admissível, pois devido à condutividade térmica elevada do aço, normalmente a secção do elemento encontra-se a uma temperatura praticamente uniforme [43]. O mesmo já não se verifica em elementos de betão (ver Secção 3.2), logo dever-se-á aumentar o número de fibras que definem o material betão por forma a ultrapassar tal limitação.
Por sua vez a força não equilibrada é calculada tendo em conta as forças de fixação devidas à extensão térmica, o carregamento exterior (distribuído e pontual) e a força resistente do elemento. A carga térmica em cada fibra é considerada elementar e deriva da temperatura distribuída ao longo da secção do elemento, considerando forças nodais equivalentes na análise por elementos finitos.
4.2. IMPLEMENTAÇÃO NO OPENSEES 71
Incremento de temperatura - Passo i
Atualização das propriedades dos materiais
(relação extensão-tensão)
Cálculo das força térmica
Atualização da força resistente
Cálculo da força desequilibrada
Cálculo da rigidez tangente
Cálculo do incremento de deslocamento
Atualização do deslocamento Iteração - Passo j
Atualização da extensão total
Atualização da extensão mecânica
Determinação da tensão
Determinação do módulo de elasticidade
Cálculo da força desequilibrada
Convergência? Número máximo de iterações? Não Sim Não Fim Iteração seguinte j + 1 Incr
emento de temperatura seguinte - Passo i +1
Sim Sim
Figura 4.2: Fluxograma do algoritmo de uma análise termo-mecânica não linear. (Adaptado de [43]).
Nó i Nó j ; E ; ; ,z) 1 1 1 1 Δ 1 1 A ; I ; E ;3 3 3 3; T (T,z)Δ 3 3 A ; I ; E ;r r r r; T (T,z)Δ r r A ; I ; E ;2 2 2 2; T (T,z)Δ 2 2 A ; I ; E ;n n n n; T (T,z)Δ n n L x Secção Relação extensão-tensão do material
Secção geral dividida por n fibras Pontos de integração
V M N
Figura 4.3: Esquema de um elemento finito constituído por secções definidas por n fibras.
são referentes a elementos constituídos pelo material aço.
Considerando a secção de uma viga encastrada, todas as fibras que constituem essa secção têm uma força e um momento associado, em que, integrando as forças das fibras, obtém-se a força na secção Fsec= [F M ]⊤, definida por:
F =X r ErArαr∆Tr (4.1) M =X r Fr(zr− z) + X r Fr(ErIrαr(T,z)r) (4.2)
onde, Er é o módulo de elasticidade tangente do material, Ar a área da fibra, αr o
coeficiente de expansão térmico, ∆Tro incremento de temperatura, Ira inércia da fibra, zr
a distância da fibra ao centroide, e (T,z)ro gradiente térmico ao longo da espessura da fibra
que neste caso tem o valor constante igual a zero, pois como dito anteriormente, o cálculo do gradiente térmico ao longo da profundidade da fibra não foi implementado (o valor de todas estas propriedades é dependente da temperatura média associada à fibra). O centroide da secção (z) é dado por:
z = P r ArEr× zr P r ArEr (4.3)
Integrando as forças na secção ao longo do elemento, obtém-se a carga térmica induzida no elemento Fth: Fth= L Z 0 BT(x)Fsec(x)dx (4.4)
4.2. IMPLEMENTAÇÃO NO OPENSEES 73
onde, BT
(x) é a matriz de transformação das tensões-deslocamentos, que é definida por:
BT(x) = "1 L 0 0 0 6x−4LL2 6x−2L L2 # (4.5) Outra fonte de desequilíbrio de forças é a degradação do material (softening), que neste caso, é a redução da capacidade resistente do material devido ao aumento de temperatura (ver secção 3.4). Esta diminuição da capacidade resistente do material leva a deformações adicionais motivadas pelo carregamento externo. Assim, todas as propriedades do material dependentes da temperatura são atualizadas no início de cada passo de análise, de modo a que seja calculada a respetiva força resistente, tendo em conta a temperatura e deformação do último passo de cálculo [43].
A força não equilibrada é calculada pela expressão:
Fu = Fex+ Fth− Fre′ (4.6)
onde Fex é o carregamento externo (pontual e distribuído), Fth é a componente térmica
e F′
rea força resistente do material atualizada devido à sua degradação. O incremento de
deslocamento inicial é calculado pela força não equilibrada atualizada, com a matriz de rigidez do passo de cálculo anterior [43].
Com o incremento de deslocamento obtido, é necessário um processo iterativo para determinar a convergência dos deslocamentos do problema não linear. Neste caso, para a convergência não é necessário considerar a carga térmica, ou seja, a força não equilibrada passa a ser calculada através da expressão:
Fu = Fex− F′
re (4.7)
Para além disso, o estado de tensão depende unicamente da extensão mecânica calculada através da subtração da extensão térmica (εT h) à extensão total (εT), dada por:
εm = εT − εT h (4.8)
Posto isto, a análise segue o procedimento normal utilizado para uma análise não linear de estruturas.