Modelos ARIMA

Uma metodologia muito utilizada na an´alise de modelos param´etricos consiste em ajustar modelos auto-regressivos integrados de m´edias m´oveis, ARIM A(p, d, q), a um conjunto de dados. Esta metodologia ´e conhecida como abordagem de Box e Jenkins [23].

A estrat´egia para a constru¸c˜ao de um modelo ´e baseada em um ciclo iterativo onde a estrutura do modelo ´e baseada nos pr´oprios dados. Este ciclo cont´em quatro etapas: especifica¸c˜ao, identifica¸c˜ao, estima¸c˜ao e verifica¸c˜ao. Caso o modelo n˜ao seja adequado, o ciclo ´e repetido, retornando-se a etapa de identifica¸c˜ao. A fase cr´ıtica do m´etodo ´e a identifica¸c˜ao. ´E poss´ıvel que v´arios pesquisadores identifiquem modelos diferentes que se ajustem bem a mesma s´erie temporal.

A. Especifica¸c˜ao

Nesta fase uma classe geral de modelos ´e considerada, nesse caso o modelo ARIM A.

B. Identifica¸c˜ao

O objetivo da fase de identifica¸c˜ao ´e determinar o n´ıvel de diferencia¸c˜ao (d), a ordem dos termos autoregressivos (p) e a ordem dos termos m´edias m´oveis (q) do modelo ARIM A(p, d, q), e al´em disso fazer estimativas preliminares que ser˜ao utilizadas na fase de estima¸c˜ao. A escolha do modelo ´e feita principalmente com base nas autocorrela¸c˜oes e autocorrela¸c˜oes parciais estimadas.

3.4 An´alise de S´eries Temporais 38 Tabela 3.1: Comportamento das fac e facp de um processo ARM A(p, q)

Processo fac facp

AR(1), φ > 0 Decaimento exponencial somente φ116= 0 AR(1), φ < 0 Decaimento oscilat´orio somente φ116= 0

AR(p) Decaimento para zero 0 se k > p M A(1) Somente ρ 6= 0 Decaimento oscilat´orio ARM A(p, q) Decaimento a partir de q Decaimento a partir de p

da necessidade de transforma¸c˜ao da s´erie original, com o objetivo de estabilizar a variˆancia; a diferencia¸c˜ao da s´erie obtida na primeira parte quantas vezes forem necess´arias, o n´u- mero de diferen¸cas, d, suficiente ´e alcan¸cado quando a fac amostral decresce rapidamente para zero; e a ´ultima parte ´e identificar o processo ARM A(p, q) resultante, atrav´es da an´a- lise das autocorrela¸c˜oes e das autocorrela¸c˜oes parciais estimadas, cujos comportamentos devem imitar os comportamentos das respectivas quantidades te´oricas [23]. A Tabela 3.1 mostra o comportamento das fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜ao e autocorrela¸c˜ao parcial te´oricas para alguns processos estacion´arios que podem auxiliar na fase de identifica¸c˜ao [24].

Seja o modelo ARM A(p, q) dado por

Yt = φ1Yt−1+ · · · + φpYt−p+ εt+ θ1εt−1+ · · · θqεt−q, (3.39)

Muitas vezes ´e dif´ıcil identificar o melhor modelo atrav´es da fac e facp, outra alternativa nesta fase de identifica¸c˜ao ´e testar modelos de baixa ordem e utilizar formas alternativas de identifica¸c˜ao. Um meio ´e atrav´es dos m´etodos baseados em uma fun¸c˜ao penalizadora, entre estes est´a o crit´erio de informa¸c˜ao de Akaike.

A id´eia ´e escolher as ordens k, l de um modelo ARM A(k, l) que minimizem a quantidade

P (k, l) = ln(ˆσ_k,l2 ) + (k + l)C(N )

N (3.40)

onde σ2

k,l´e uma estimativa da variˆancia residual obtida ajustando um modelo ARM A(k, l)

`

as N observa¸c˜oes da s´erie e C(N ) ´e uma fun¸c˜ao do tamanho da s´erie. A quantidade (k + l)C(N )_N , denominada termo penalizador, aumenta quando o n´umero de parˆametros aumenta, enquanto que a variˆancia residual diminui. Assim, minimizar P (k, l) corres- ponde a identificar as ordens k e l que equilibrem seu comportamento. O crit´erio de informa¸c˜ao de Akaike ´e um dos procedimentos de identifica¸c˜ao que minimizam as fun¸c˜oes penalizadoras particulares. Neste caso, escolhe-se o modelo cujas ordens k e l minimizam

3.4 An´alise de S´eries Temporais 39 o crit´erio AIC(k, d, l) = N lnˆσ2_ε+ N N − d2(k + l + 1 + δd0) + N ln2π + N (3.41) onde δd0 =    1, d = 0 0, d 6= 0 e ˆσ_ε2 ´e o estimador de m´axima verossimilhan¸ca de σ_ε2.

A seguir se estipula valores limites superiores K e L para k e l e calcula-se AIC(k, d, l) para todas as poss´ıveis combina¸c˜oes (k, l) com 0 ≤ k ≤ K e 0 ≤ l ≤ L. Em geral, K e L s˜ao fun¸c˜oes de N .

Ap´os ajustar alguns modelos, o melhor ser´a o que fornecer o menor valor AIC.

C. Estima¸c˜ao

Ap´os identificar o modelo provis´orio para a s´erie, o pr´oximo passo ´e fazer a estima¸c˜ao de seus parˆametros.

Considerando-se o modelo ARIM A(p, d, q), h´a p + q + 1 parˆametros para se estimar, ou seja, ξ=(φ,θ, σ2_ε), onde φ=(φ1, · · · , φp), e θ = (θ1, · · · , θq), neste caso d > 0

e assim a m´edia ´e nula. Caso contr´ario, µ ´e inclu´ıdo como mais um parˆametro a ser estimado e assim p + q + 2 parˆametros ser˜ao estimados.

Uma das formas de encontrar os estimadores ´e atrav´es da maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca exata dada por

p(y1, · · · , yn | ξ) = p(yn, · · · , yp | ξ) n

Y

t=p+1

(yt| yt−1, · · · , yt−p, ξ). (3.42)

D. Diagn´ostico de Modelos

Ap´os a etapa da estima¸c˜ao, deve-se verificar se o modelo representa adequadamente os dados antes de utiliz´a-lo, por exemplo, para fazer previs˜oes. A id´eia ´e verificar o compor- tamento dos res´ıduos onde

res´ıduo = valor observado-valor ajustado (3.43) Se o modelo estiver bom, os res´ıduos estar˜ao pr´oximos de zero com variˆancia constante e ser˜ao n˜ao correlacionados. Se a variˆancia dos res´ıduos n˜ao for constante ser´a necess´ario fazer uma transforma¸c˜ao nos dados.

3.4 An´alise de S´eries Temporais 40 A adequa¸c˜ao do modelo pode ser verificada atrav´es do gr´afico dos res´ıduos e de seu correlograma, que pode indicar poss´ıveis termos faltantes do modelo. Por exemplo, se as autocorrela¸c˜oes residuais sa´ırem do intervalo de confian¸ca nas defasagens 1 ou 2, ou em defasagens sazonais (ex.: 12 em dados mensais) ´e uma indica¸c˜ao de que mais termos de m´edias m´oveis devem ser inclu´ıdos no modelo. O mesmo vale para autocorrela¸c˜oes parciais dos res´ıduos para a inclus˜ao de termos autorregressivos [24].

Outra forma de se fazer a verifica¸c˜ao de adequa¸c˜ao do modelo, ao inv´es de olhar para as autocorrela¸c˜oes residuais individualmente, ´e a partir do Teste de Ljung- Box. Este ´e um teste para as autocorrela¸c˜oes dos res´ıduos estimados. As hip´oteses s˜ao definidas como    H0 : n˜ao h´a autocorrela¸c˜ao H1 : h´a autocorrela¸c˜ao

A estat´ıstica de teste utilizada ´e Q(K) = n(n + 2) K X j=1 ˆ r_j2 (n − j), (3.44)

que segue distribui¸c˜ao χ2 com K − p − q (ou K-(nº de parˆametros estimados)) graus de liberdade. Sendo K n´umero de autocorrela¸c˜oes utilizadas, em geral, ´e suficiente usar as 10 ou 15 primeiras ˆrk.

Assim, hip´otese de ru´ıdo branco ´e rejeitada para valores grandes de Q(K).