Modelos da Mecânica do Contato

No final do século XIX, Hertz introduziu a Mecânica do Contato de dois corpos elásticos, quando pressionados, um contra outro. Nesse modelo pioneiro ele considerou as grandezas carga normal, as geometrias macroscópicas e as propriedades elásticas de dois sólidos em contato para definir, no meio-espaço elástico de cada um dos sólidos, a distribuição da pressão de contato na zona elasticamente afetada pelo contato (que, posteriormente, passaria a ser denominada zona Hertziana de contato), e a respectiva distribuição de tensões de cisalhamento atuante em cada um dos sólidos elásticos em contato.

As hipóteses simplificadoras de Hertz incluíam (a) ausência de atrito; (b) contato não-conforme macroscópico estático; (c) materiais submetidos a um comportamento puramente elástico; (d) área de contato pequena, comparada com a dimensão dos sólidos em contato [JOHNSON, 1989].

O crescimento das áreas científicas nas Engenharias de Superfície, Mecânica e de Materiais na segunda metade do Séc. XX introduziu novas variáveis à teoria do contato Hertziano. Entre elas, o atrito, o comportamento elástico e plástico e o caráter microscópico das superfícies em um contato elástico. Isso levou ao desenvolvimento do

segundo modelo importante da Mecânica do Contato, desenvolvido por Greenwood e Williamson, o chamado “modelo GW” da Mecânica do Contato, de 1966.

O modelo GW introduziu a variável “topografia” das duas superfícies elásticas nominalmente planas, com módulos de elasticidade constantes, submetidas ao atrito de deslizamento. Esse modelo mantinha a natureza elástica do contato como preconizado por HERTZ.

Em 1971, Johnson, Kendall e Roberts formularam um terceiro modelo que adicionava, aos anteriores, a variável “energia de superfície” atuando na área de contato, e provocando deformações nas duas superfícies. Esse modelo é considerado adesivo e tem se mostrado aplicável a sólidos grandes, moles, com elevada energia de superfície, enquanto, para sólidos coloidais, duros, com baixas energias de superfície tem sido utilizado o modelo DMT, publicado por Derjaguin, Muller e Toporov em 1975. A seguir, em 1980, Muller, Yushchenko, Derjaguin publicaram o modelo MYD, que continham as soluções proporcionadas pelos modelos JKR e DMT (a descrição desses modelos é apresentada no Anexo 1).

Todas as teorias descritas acima se baseiam nas seguintes suposições: (i) todas as deformações são puramente elásticas, isto é, a lei de Hooke é válida no sistema; (ii) os corpos são isotrópicos; (iii) submetidos a carga o modulo de Young e a razão de Poisson são constantes; (iv) a estrutura atômica dos corpos não é considerada. Entretanto para sólidos viscoelásticos a interpretação deve levar em consideração a dependência do tempo.

Atualmente, Chau (2006) propôs um modelo que considera o contato microscópico entre um sólido viscoelástico nominalmente plano (um polímero) e um aço inoxidável, em que considera aspectos não-determinísticos em sua modelagem para apresentar o contato sob a forma de um mapa de pressão e tempo de contato, dispensando, por exemplo, dados da topografia das superfícies.

2.2.1 Teoria de Hertz

Quando dois corpos elásticos são impostos ao contato eles se tocarão em um ponto ou ao longo de uma linha. Se forem submetidos a um carregamento mecânico definido, este será distribuído através da área de contato. Esta situação foi inicialmente introduzida por Heinrich Hertz em 1881, baseando-se nas seguintes suposições: (i) as superfícies são contínuas, polidas e não sofrem atrito; (ii) o tamanho da área de contato

é pequeno comparado ao tamanho dos corpos; (iii) Cada sólido tem um meio-espaço sólido na vizinhança da zona de contato (BHUSHAN, 2001).

A teoria de Hertz pode ser aplicada a contatos esféricos, cilíndricos e elipsoidais. A análise Hertziana para uma esfera sobre um plano é apresentada em vários trabalhos publicados na área da Mecânica do Contato (XU et al. 2007; WU e YOU, 2007; GRIERSON et al. 2005; BHUSHAN, 2001) e todos citam o livro de Johnson de 1985 como referência.

Wu e You (2007) descrevem um contato elástico esfera sobre plano segundo a teoria de Hertz. Considerou-se que uma esfera de raio R é pressionada contra uma superfície plana por uma carga normal P, após um deslocamento d a deformação elástica da superfície em contato forma uma área de contato circular de raio ao como

mostrado na Figura 4. Com base na teoria de Hertz esse raio de contato é dado por

* 4 3 3 E PR a_o = (1)

Onde Ec* é o módulo do contato deduzidos da equação (2)

2 2 2 1 2 1 1 1 * 1 E E Ec ν ν ₊ − − = (2)

A pressão de contato, segundo a revisão de Bhushan (2001), é dada semi- elipticamente pela equação (3)

{

}

0 1 )

(x p r a

p = − (3)

onde a pressão máxima p0 é dadas pela equação (4)

2 0 2 3 a P p π = (4)

Figura 4 – Esquema de uma esfera pressionada contra uma superfície plana, onde P é a carga normal, d é o deslocamento

2.2.2 Mecânica do Contato aplicada a Sólidos Viscoelásticos (SV) No estudo do contato de materiais perfeitamente elásticos o processo de carregamento e descarregamento é reversível e, portanto, os modelos JKR e DMT são aplicáveis.

O contato de materiais viscoelásticos como polímeros difere daquele em dois fatores: (i) como resultado da dissipação viscoelástica, mais trabalho é necessário para separar as superfícies que o utilizado para unir as mesmas; (ii) a energia superficial aparente é dependente da taxa em ambos, separação e união (GREENWOOD e JOHNSON, 2006).

Lin et al. (2002) apud Attila Oláh (2004) propuseram um método para estudar o contato adesivo entre esferas quando apenas força normal é considerada. Eles consideraram um sistema (i) com corpos homogêneos, isotrópicos e viscoelásticos, (ii) onde a zona coesiva é muito menor que o raio de contato, e (iii) a velocidade do contato é constante quando ele se move através da zona coesiva.

Greenwood e Johnson (2006) apresentaram um trabalho sobre a Mecânica do Contato de SV onde eles afirmaram que as forças adesivas fazem com que as superfícies “saltem” dentro do contato e assim mascare os dados de medida de deslocamento. Eles introduziram no sistema uma força de contato senoidal modulada de baixa amplitude e alta freqüência (~100 Hz) que permitiu uma medida direta da rigidez (dP/dd, onde P é a carga e d o deslocamento normal a superfície). Eles observaram que os materiais viscoelásticos apresentaram comportamento diferente dos preditos para um contato JKR.

Chau (2006) analisou a dinâmica do contato de um SV plano contra um aço inoxidável sob uma perspectiva diferente das teorias do contato existentes. Nesse estudo ele apresentou um mapa de pressão em função do tempo onde considerou aspectos não- determinísticos que excluem dados de topografia superficial.