Modelos da Perda Irreversível de Capacidade

Os modelos matemáticos da perda irreversível de capacidade desenvolvidos no decorrer desta pesquisa foram obtidos empiricamente, por meio dos dados experimentais médios previamente tratados. A obtenção dos modelos matemáticos foi realizada pelo ajuste de curvas, para isso foram selecionadas duas categorias de equações, são elas: equação exponencial e equação polinomial. O emprego dessas equações deve-se a sua semelhança com o comportamento dos dados experimentais ao representarem a perda irreversível de capacidade.

Os dados utilizados no ajuste de curvas são os valores médios de capacidade das três baterias testadas, visto que, tais valores são estatisticamente distintos, quando compara- dos aos dados de capacidade de cada uma das três baterias. Assim, o procedimento de ajuste de curvas iniciou-se ao carregar os dados experimentais médios no software Matlab.

4.2.1 Modelos Baseados em Equações Exponenciais

As equações exponenciais se fazem presentes nos modelos matemáticos que descrevem a perda irreversível de capacidade, conforme apresentado no Capítulo 2. Além disso, verica-se que o comportamento dos dados referentes à perda irreversível de capacidade, em função do número de ciclos de vida, aproxima-se do decaimento exponencial. Dessa forma, o primeiro ajuste de curvas realizado foi baseado em uma equação exponencial de termo único, dada por:

C(N ) = aebN, (4.1)

em que, C representa a capacidade da bateria, N o número do ciclo de vida e a e b são parâmetros do modelo, os quais são estimados no ajuste de curvas.

Para realizar o ajuste de curvas é necessário, primeiramente, carregar os dados experi- mentais médios referentes à perda irreversível de capacidade na ferramenta computacional Matlab/Curve Fitting. Em seguida, seleciona-se a equação de ajuste, nesse caso, a expo- nencial de termo único. Dessa forma, o software plota, junto aos dados experimentais médios, a curva que representa a equação selecionada e fornece os parâmetros a e b, bem como os indicativos estatísticos de qualidade da curva ajustada. Sendo assim, os parâmetros estimados pelo ajuste de curvas são:

Capítulo 4. Modelagem Matemática 39 Dessa forma, o modelo exponencial de termo único, o qual foi obtido pelo ajuste de curvas para representar os dados experimentais médios da perda irreversível de capacidade das baterias é dado por:

C(N ) = 709, 3e−1,421·10−4N. (4.2)

Os indicadores estatísticos de qualidade do ajuste fornecidos pelo Curve Fitting são: a soma dos quadrados dos resíduos (Sum Square Error - SSE), o coeciente de determinação (R-square - R2), o coeciente de determinação ajustado (Adjusted R-square) e a raiz do

erro quadrado médio (Root Mean Square Error - RMSE). O SSE indica a variação da capacidade que não é explicada pelo modelo, sendo assim quanto mais próximo de zero estiver o valor do SSE melhor é a qualidade do ajuste. O R2 _{varia entre 0 e 1 para}

indicar, em proporção de variância explicada, o quanto o modelo representa os dados experimentais, logo quanto mais próximo de 1 melhor é a representatividade do modelo aos dados. O R2ajustado indica a representatividade do modelos sem considerar variáveis

pouco explicativas. Sendo assim, a alta divergência entre os valores de R2 e R2 ajustado

desqualica a curva ajustada. RMSE indica o gradiente entre os valores estimados pelo modelo e os valores observados, então quanto mais próximo de 0 melhor é a qualidade do ajuste.

Nesse contexto, pode-se vericar que a equação (4.2) não representa adequadamente os dados experimentais médios, conforme ilustrado na Figura 4.1 e conrmado pelos indi- cadores estatísticos de qualidade da curva, os quais evidenciam que a equação exponencial de termo único representa apenas 86,93% dos dados.

Figura 4.1: Ajuste de curva para a equação exponencial de termo único.

Em busca de uma equação que apresente, pelo menos, 95% de representatividade dos dados experimentais foi realizado o ajuste de curvas para a equação exponencial de dois termos, dada por:

Capítulo 4. Modelagem Matemática 40

C(N ) = aebN+ cedN, (4.3)

em que, a, b, c e d são parâmetros do modelo, obtidos pelo ajuste de curvas, tal que: a = 668, 1; b = −4, 291 · 10−4; c = 57, 11; d = 1, 374 · 10−3.

Dessa forma, o modelo exponencial de dois termos, o qual foi obtido pelo ajuste de curvas para representar os dados experimentais médios da perda irreversível de capacidade das baterias é dado por:

C(N ) = 668, 1e−4,291·10−4N + 57, 11e1,374·10−3N. (4.4) Na Figura 4.2, que representa a equação exponencial de dois termos, torna-se evidente a melhoria na qualidade do ajuste, em comparação com o modelo representado pela equação exponencial de termo único. Esse aspecto é comprovado, por intermédio dos parâmetros estatísticos de qualidade do ajuste, os quais indicam que a equação apresenta 96,67% de representatividade dos dados experimentais.

Figura 4.2: Ajuste de curva para a equação exponencial de dois termos.

O modelo baseado na equação exponencial de dois termos representa, adequadamente, os dados experimentais médios, de acordo com o critério denido, ou seja, R2 _{≥ 95%.}

Além disso, seus indicativos de qualidade do ajuste são melhores, quando comparados à qualidade do ajuste do modelo exponencial de termo único, conforme pode-se vericar na tabela:

Tabela 4.1: Comparação entre os indicativos de qualidade das curvas exponenciais.

SSE R2 _R2 _{ajustado RMSE}

Modelo Exponencial de termo único 6, 866 · 104 _{0,8693 0,8691 8,998} Modelo Exponencial de dois termos 1, 749 · 104 _{0,9667 0,9666 4,547}

Capítulo 4. Modelagem Matemática 41 No entanto, existe mais uma categoria de equações que pode representar, de forma adequada, os dados experimentais de perda irreversível de capacidade, as equações poli- nomiais de segundo e terceiro grau.

4.2.2 Modelos Baseados em Equações Polinomiais

As equações polinomiais apresentam comportamento semelhante ao comportamento dos dados experimentais referentes à perda irreversível de capacidade. Em vista disso, foi realizado um ajuste de curvas, a m de comparar o comportamento dos dados experi- mentais médios a uma equação polinomial de segundo grau, dada por:

C(N ) = aN2+ bN + c. (4.5)

Ao realizar o ajuste de curvas foram estimados os parâmetros a, b e c, tal que: a = 1, 505 · 10−4; b = −0, 222; c = 726, 2.

Dessa forma, o modelo polinomial de segundo grau, o qual foi obtido pelo ajuste de curvas para representar os dados experimentais médios da perda irreversível de capacidade das baterias é dado por:

C(N ) = 1, 505 · 10−4N2− 0, 222N + 726, 2. (4.6) Segundo as estatísticas de qualidade do ajuste, a equação polinomial de segundo grau apresenta 96,64% de representatividade dos dados experimentais, aspecto ilustrado na Figura 4.3.

Figura 4.3: Ajuste de curva para a equação polinomial de segundo grau.

Em seguida é realizado o ajuste de curvas dos dados experimentais médios para a equação polinomial de terceiro grau, dada por:

Capítulo 4. Modelagem Matemática 42 em que, a, b, c e d são parâmetros do modelo, estimados no ajuste de curvas, tal que:

a = 4, 955 · 10−8; b = 8, 725 · 10−5; c = −0, 2005; d = 724, 7.

Dessa forma, o modelo polinomial de terceiro grau, o qual foi obtido pelo ajuste de curvas para representar os dados experimentais médios da perda irreversível de capacidade das baterias é dado por:

C(N ) = 4, 955 · 10−8N3+ 8, 725 · 10−5N2− 0, 2005N + 724, 7. (4.8) Na Figura 4.4 percebe-se a elevada qualidade do ajuste, o qual atinge o nível de 96,69% de representatividade dos dados experimentais. No entanto, ao comparar a qualidade de ajuste dos modelos polinomiais de segundo e terceiro grau identica-se a melhoria de apenas 0, 05% na representatividade dos dados experimentais médios.

Figura 4.4: Ajuste de curva para a equação polinomial de terceiro grau.

Ambos os modelos polinomiais representam, de maneira adequada, os dados experi- mentais médios, de acordo com o critério denido, ou seja, R2 _{≥ 95%. Além disso, os}

demais indicativos de qualidade do ajuste são semelhantes, conforme pode-se vericar na tabela:

Tabela 4.2: Comparação entre os indicativos de qualidade das curvas polinomiais.

SSE R2 _R2 _{ajustado RMSE}

Modelo Polinomial de Segundo grau 1, 767 · 104 _{0,9664 0,9663 4,568} Modelo Polinomial de Terceiro grau 1, 739 · 104 _{0,9669 0,9668 4,534}

Os modelos matemáticos que apresentaram melhor qualidade, no processo de ajuste de curvas, são os seguintes: modelo exponencial de dois termos e modelo polinomial de ter- ceiro grau, visto que o requisito mínimo adotado foi o nível de 95% de representatividade dos dados experimentais tratados. Na próxima seção, esses dois modelos serão utilizados para estender o modelo Chen e Rincón-Mora, o qual será empregado na predição do tempo de vida das baterias.

Capítulo 4. Modelagem Matemática 43