Os modelos de dano de Mazars (item 3.4) e de Cervera (item 3.5) foram apresentados segundo uma formulação onde se relacionam não-linearmente campo de deformações com campo de tensões. Particularizadas para o caso unidimensional, as expressões dos modelos procuram representar matematicamente a trajetória da curva tensão-deformação uniaxial do concreto na tração e na compressão.
Esse tipo de formulação é conveniente por permitir uma melhor visualização dos conceitos associados à danificação de meios contínuos, como é tratado o concreto nos modelos de dano. No que diz respeito às aplicações numéricas pode-se dizer que as expressões dos modelos escritos em termos de relações entre tensões e deformações são empregadas na implementação computacional de problemas que fazem uso de elementos finitos tais como os de chapa, com deformação constante ou linear.
Adotando-se aproximações independentes para os deslocamentos segundo os eixos “x” e “y” ortogonais de um sistema cartesiano contido no plano do elemento finito de chapa, a determinação do campo de deformações é feita a partir da aplicação de operadores diferenciais de primeira ordem ao campo de deslocamentos. Conhecendo-se as leis constitutivas de um modelo de dano genérico, do campo de deformações determinam-se as variáveis internas do modelo e o campo de tensões.
As coordenadas 2 e 5 do sistema local associado às barras do elemento finito de grelha (figura 4.1, à esquerda) que representam as rotações em torno do eixo “y” estão relacionadas ao esforço momento fletor. Para que a aplicação dos modelos de dano na análise de grelhas utilizando-se elementos finitos lineares possa ser descrita de forma mais consistente, é conveniente a transformação dos modelos escritos em termos de relações entre tensões e deformações para outros equivalentes escritos em termos de relações entre momentos fletores e curvaturas.
A hipótese básica para que se proceda a transformação é a admissão da manutenção das seções transversais planas após ocorrerem as deformações (hipótese de Bernouille). Também serão consideradas nulas as tensões tangenciais oriundas do momento torçor e da força cortante, cabendo às tensões normais provenientes do momento fletor a evolução do dano. Essa última hipótese tem consistência de acordo com o sistema estrutural em análise. Para o caso em estudo das grelhas de pavimentos usuais de edifícios de concreto armado em que as barras têm baixa rigidez à torção a hipótese se aproxima do comportamento real.
No regime elástico-linear no âmbito da teoria de primeira ordem em que são pequenos os deslocamentos angulares da estrutura e pequenas as deformações específicas do material, é conhecida a relação linear entre momento fletor e curvatura em uma dada seção.
1 r
M EI
= − (4.2)
onde utiliza-se a convenção de sinais clássica da resistência dos materiais.
Para materiais com regime não-linear de comportamento tais como o concreto a relação linear 4.2 não mais é válida. Na realidade o produto EI do denominador da expressão varia com a curvatura da seção transversal segundo uma lei qualquer.
Para o caso particular dos elementos de um sistema estrutural em grelha as seções são solicitadas à flexão simples (força normal nula). Em regimes não-lineares onde o comportamento do material à tração e à compressão são simétricos, a linha neutra passa pelo centróide da seção (para seções simétricas em
relação ao eixo de flexão). Caso contrário, a posição da linha neutra deve ser determinada impondo-se a condição de força normal resultante nula na seção. Uma das etapas da aplicação dos modelos de dano do capítulo 3 na análise numérica com elementos finitos lineares de barra é a determinação da linha neutra de cada extremidade de cada barra (item 4.3).
Conhecendo-se de uma seção transversal de concreto armado a curvatura e a posição da linha neutra, determina-se o diagrama de deformações específicas ao longo da altura da seção que é linear e se relaciona com a curvatura através de: 1 2 2 2 1 r d v x dx hs = ( ) = ε −ε (4.3)
onde v(x) é a função para os deslocamentos verticais do eixo do elemento finito linear, ε2 e ε1 são as deformações específicas, respectivamente, das fibras superior e inferior de uma seção transversal de extremidade de barra e hs é a altura da seção.
A figura 4.2 mostra esquematicamente as relações entre curvaturas e deformações específicas numa seção transversal de concreto armado.
Figura 4.2 - Relações entre curvaturas e deformações.
Constata-se que a determinação do diagrama linear de deformações específicas só depende do conhecimento da curvatura e da linha neutra. Do diagrama
de deformações determina-se o de tensões utilizando-se das relações constitutivas. Em particular, para peças de concreto armado, têm-se o diagrama de tensões no concreto dos modelos de dano descritos no capítulo 3 e a tensão na armadura do modelo elasto-plástico com encruamento isótropo (item 2.3). Admite-se que a deformação da armadura coincide com a deformação da fibra de concreto que a contém (hipótese de aderência perfeita).
A figura 4.3 mostra o diagrama de tensões no concreto de um modelo de dano genérico e a tensão constante que atua na armadura em correspondência a um diagrama linear de deformações de uma seção transversal de concreto armado.
Figura 4.3 - Diagrama de tensões no concreto e na armadura.
O momento fletor resistente de uma seção transversal é determinado através de uma integração simples ao longo da altura da seção do produto da tensão pelo distância do ponto em que ela atua em relação a um referencial. Nas aplicações dos modelos de dano com elemento finito de barra a integração numérica por quadratura de Gauss será utilizada. Admite-se a nomenclatura da figura 4.4 para as características geométricas das seções transversais retangulares.
Figura 4.4 - Características geométricas de seções retangulares.
O cálculo do momento fletor resistente interno de uma seção retangular de concreto armado por quadratura de Gauss é feito a partir da expressão 4.4 de equilíbrio de momentos em relação ao eixo y=0 observada a nomenclatura da figura 4.4. M bs y ydy As s As s d h h h s s s s int = ( ) +( − )( − ) −
∫
σ 1σ σ 2 2 1 2 2 2 (4.4)onde σ( )y é a tensão no concreto na fibra de ordenada y da lei constitutiva de dano e
σs1 e σs2 são, respectivamente, as tensões nas armaduras de área As1 e As2. O primeiro termo do segundo membro da expressão 4.4 que se refere a parcela do momento fletor proveniente das tensões no concreto pode ser aproximado por uma somatória de termos, conforme expressão 4.5, que equivale a integral no domínio normalizado.
bs y ydy bs h hs d b h w h h s s s i i n i i s s σ( ) = σ ξ( ) ξ ξ= σ ξ ξ( ) − −
∫
∫
1 2 2 4∑
= 1 2 2 2 1 (4.5)onde ξ é a variável de integração do domínio normalizado com dy= hs d 2 ξ. O número de termos da somatória n é o número de pontos de Gauss, σ ξ( i) é a tensão
no ponto de integração i e wi é o fator peso associado ao ponto i. Em BREBBIA & DOMINGUEZ [4] encontram-se os valores de i e wi para diferentes números de pontos de Gauss. A somatória do último termo da expressão 4.5 é acrescida de um erro tão menor quanto maior o número de pontos de Gauss para que se chegue ao valor exato da integral.
Fazendo-se uso da expressão 4.5 pode-se traçar um diagrama que relaciona curvaturas com momentos fletores (figura 4.5). O diagrama é função das variáveis que definem a geometria de uma seção transversal. Qualquer alteração em uma delas bem como dos parâmetros que definem os modelos constitutivos do concreto e da armadura modifica o diagrama.
Figura 4.5 - Diagrama momento-curvatura de uma seção de concreto armado.