Modelos de Insumo-Produto (Modelo Conceitual e Representação)

Um modelo de insumo-produto para uma dada região ou país específico descreve os fluxos monetários de bens e serviços entre as indústrias locais e os segmentos da demanda final. A análise de insumo-produto tornou-se um dos métodos mais utilizados para avaliar a economia, devido à sua possibilidade de agrupar informações sobre o processo de produção, consumo intermediário, distribuição de renda gerada, comércio exterior, pagamentos de salários e pagamentos de impostos, no âmbito da chamada tabela de insumo-produto (MILLER e BLAIR, 2009).

De forma geral, as tabelas de insumo-produto têm como objetivo proporcionar uma análise acerca das relações intersetoriais da produção, sendo útil para a definição de políticas setoriais e para as atividades de planejamento de modo geral. As matrizes de insumo-produto representam uma desagregação, por ramo de atividade, dos agregados presentes num sistema usual de contas nacionais, em particular os pertencentes à conta de produção. Porém, além da demanda final e do valor adicionado, a desagregação também representa a demanda intermediária, ou seja, o consumo intermediário (PAULANI e BRAGA, 2007).

Com o intuito de exemplificar, a Figura 5 apresenta de forma esquemática as relações fundamentais da tabela de insumo-produto para uma única região e com apenas dois setores.

As linhas da tabela de insumo-produto (Figura 5) correspondem às vendas em termos monetários da produção de cada setor de atividade. Desta forma, as células em verde claro descrevem as vendas de cada setor para si mesmo (Z11 e Z22) e para o outro setor (Z12 e Z21), ou seja, representam as vendas de insumos intermediários dos respectivos setores.

Por tal ótica, as células em lilás correspondem as vendas de cada setor para os componentes da demanda final, representados por: consumo das famílias (C1 e C2), investimento (I1 e I2), governo (G1 e G2) e as exportações (EX1 e EX2).

Figura 5 - Representação esquemática da tabela de insumo-produto para uma única região e dois setores.

Fonte: Adaptação de Miller e Blair (2009) e Guilhoto (2011).

Por outro lado, as colunas correspondem as compras e pagamentos, em termos monetários, feitas por cada setor de atividade (demanda intermediária) e cada segmento da demanda final. Assim, pela ótica das compras (i.e. coluna), as células em verde claro correspondem as compras de bens e serviços feitas por cada setor de atividade de si mesmo (Z11 e Z22) e do outro setor (Z12 e Z21).

De forma análoga, as células em lilás correspondem as compras de cada segmento da demanda final feita aos setores de atividade, isto é: consumo das famílias (C1 e C2), investimento fixo (I1 e I2), gastos do governo (G1 e G2) e exportações (EX1 e EX2).

Ademais, as células em roxo correspondem aos pagamentos de importações de bens e serviços feitas pelos setores de atividade (M1 e M2) e pelos segmentos da demanda final (MC, MI, MO e MEx).

As células em laranja descrevem os pagamentos de impostos feitos por cada setor de atividade (T1 e T2), e pelos segmentos da demanda final (TC, TI, TG e TEx). As células em cinza mostram o pagamento aos fatores de produção: salários, lucros, aluguéis e juros (VA1 e VA2).

Por fim, as células em bege (última linha e última coluna), para os dois setores de atividade, mostram a produção total de cada setor (X1 e X2) e a demanda total (X1 e X2), que, por definição contábil, são iguais.

Dessa forma, as compras se igualam às vendas e portanto a determinação dos totais, X1 e X2, pode ser feita tanto pela ótica das compras como pela ótica das vendas.

Valor Bruto da Produção X1 X2

TI TG TEX Valor Adicionado ( VA ) VA1 VA2 Impostos ( T ) T1 T2 TC X2 Importações M1 M2 MC MI MG MEX C2 DT I1 G1 EX1 X1 C1 I2 G1 EX1 C I G EX V e n d a s ( i ) Setores 1 2 2 Z21 Z22 1 Z11 Z12 Compras ( j ) Demanda Total

Entretanto, com o intuito de generalizar, o modelo, apresentado a seguir, é descrito considerando uma economia com um número genérico de n setores de atividade, e não apenas 2 setores como na Figura 5.

Desta forma, é possível representar as relações, matematicamente, sob a ótica das vendas e sob a ótica das compras, respectivamente, da seguinte forma:

a) Sob a ótica das vendas (ou das linhas da tabela de Insumo-Produto):

𝑋_𝑖 = ∑𝑛_𝑗=1𝑍_𝑖𝑗 + 𝐶_𝑖 + 𝐼_𝑖 + 𝐺_𝑖 + 𝐸_𝑋𝑖 𝑖 = 1, 2, 3 … 𝑛 (1)

em que:

Xi = demanda total pela produção total do setor i;

Zij = produção do setor i, vendida como insumo intermediário ao setor j; Ci = produção do setor i vendida às famílias;

Gi = produção do setor i, vendida ao governo;

Ii = produção do setor i, vendida para fins de investimento fixo; e

EXi = produção do setor i, vendida ao exterior, isto é, exportação do setor i.

b) Sob a ótica das compras (ou das colunas da tabela de Insumo-Produto):

𝑋𝑖 = ∑𝑛𝑖=1𝑍𝑖𝑗 + 𝑀𝑗+ 𝑇𝑗+ 𝑉𝐴𝑗 𝑗 = 1, 2, 3 … 𝑛 (2)

em que:

Xj = produção total do setorj;

Zij = produção do setor i comprada como insumo pelo setor j; Mj = importações (compras externas) feitas pelo setor j.

Tj = total dos impostos indiretos líquidos gerados pelo setor j; e

Assim, no desenvolvimento do modelo de insumo-produto, pela ótica das linhas, é possível perceber que a equação (1) pode ser vista como um sistema de n equações, como segue:

𝑋₁ = 𝑍₁₁+ 𝑍₁₂+ ⋯ + 𝑍_1𝑛+ 𝑌₁ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑋_𝑛 = 𝑍_𝑛1+ 𝑍_𝑛2+ ⋯ + 𝑍_𝑛𝑛+ 𝑌_𝑛

(3)

onde Yi (i = 1,...,n) representa as vendas do setor i para os segmentos ou componentes da demanda final, isto é, Yi = consumo das famílias (Ci) + investimento fixo (Ii) + gastos do governo (Gi) + exportações (EXi).

Tal como apresentado por Guilhoto (2011), assumindo que os fluxos intermediários por unidade do produto final são fixos, é possível por meio dos fluxos intersetoriais (Zij) e da produção total (Xi), para um dado período de tempo, determinar o coeficiente técnico, pela seguinte equação:

𝑎_𝑖𝑗 =𝑍𝑖𝑗

𝑋𝑗 (4)

O coeficiente técnico aij expressa o requerimento direto de insumo do setor i necessário para a produção de uma unidade monetária de produto do setor j.

Assim, tendo o coeficiente técnico calculado e substituindo os fluxos monetários Zij por aijXjnas equações em (3), o sistema de equações lineares pode ser reescrito da seguinte maneira (sistema aberto de Leontief):

𝑋1 = 𝑎11𝑋1+ 𝑎12𝑋2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑋𝑛 + 𝑌1 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑋𝑛 = 𝑎𝑛1𝑋1+ 𝑎𝑛2𝑋2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑋𝑛 + 𝑌𝑛

(5)

Ademais, a representação da equação (5) pode ser descrita em notação matricial:

Na representação em notação matricial, A corresponde a matriz n por n de coeficientes técnicos. E X e Y são vetores coluna (n por 1) que representam, respectivamente, a produção total e a demanda final, como se segue:

𝐴 = [ 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑖 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎2𝑖 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎_𝑛1 ⋮ 𝑎_{𝑛2 ⋯} ⋮ 𝑎_{𝑛𝑖 ⋯} ⋮ 𝑎_𝑛𝑛 ] 𝑋 = [ 𝑋1 𝑋₂ ⋮ 𝑋_𝑛 ] 𝑌 = [ 𝑌1 𝑌₂ ⋮ 𝑌_𝑛 ] (7)

Após manipulações algébricas sobre a equação (5), tem-se:

𝑋 = 𝐵𝑌 (8)

onde 𝐵 = (𝐼 − 𝐴)−1 _{é denominada como a matriz Inversa de Leontief.}

A matriz B capta os requerimentos totais (diretos mais indiretos) de produção de cada um dos n setores da economia para atendimento de uma unidade monetária de demanda final. Ou seja, cada coeficiente de B, ou cada bij, representa o montante de produção do setor i, medido em termos monetários, necessário para atender a uma unidade monetária de demanda final pelo setor j.

Os requerimentos de produção de cada setor para o atendimento à demanda final podem ser classificados em: requerimento direto (aij), requerimento total (bij), e requerimento indireto (bij – aij).

A representação do modelo, até o presente momento, considera apenas uma única região. Entretanto, é possível imaginar um modelo inter-regional de insumo-produto que descreve os fluxos monetários de bens e serviços através da economia, considerando diferentes regiões.

Desta forma, diante do fato do modelo inter-regional admitir várias regiões, uma versão do mesmo para o caso específico do presente trabalho, isto é, de uma economia dividida em 41 regiões (27 países da EU, outros 13 países selecionados e o “restante do mundo”) é apresentada. Assim, para fins de notação e, consequentemente, apresentação da metodologia a ser utilizada, cada região (país) será representada por um número (1 a 41) nas equações.

Em termos matriciais, a equação básica da versão inter-regional é a mesma que a equação (8) para o modelo insumo-produto com uma região apenas. Conforme será visto a seguir, a diferença consiste na maneira como são definidos os componentes da equação, isto é, os vetores X e Y e as matrizes B e A. Agora, esses elementos passam a conter informações setoriais referentes às regiões que compõem o modelo inter-regional.

O modelo inter-regional de insumo-produto pode ser representado matematicamente, em notação matricial, da seguinte maneira:

𝑍∗𝑖41𝑛+ 𝑌∗ = 𝑋∗ (9) em que:

𝑍∗ _{= matriz 41nx41n e representa a tabela de insumo-produto inter-regional;} i41n = vetor unitário (todos os seus elementos são iguais a 1) de ordem 41nx1; 𝑌∗ = vetor 41nx1 e representa as demandas finais das regiões; e

𝑋∗ = vetor 41nx1 e representa as produções setoriais das regiões.

Ou seja, os elementos da equação (9) passam ser constituídos da seguinte forma:

𝑍∗ = [ 𝑍𝑖𝑗 1,1 𝑍_𝑖𝑗1,2 𝑍_𝑖𝑗2,1 𝑍_𝑖𝑗2,2 ⋯ 𝑍_𝑖𝑗1,40 𝑍_𝑖𝑗1,41 𝑍_𝑖𝑗2,40 𝑍_𝑖𝑗2,41 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑍_𝑖𝑗41,1 𝑍_𝑖𝑗41,2 ⋯ 𝑍_𝑖𝑗41,40 𝑍_𝑖𝑗41,41_] 𝑌∗= [ 𝑌1 𝑌2 ⋮ ⋮ 𝑌41] 𝑋∗ = [ 𝑋1 𝑋2 ⋮ ⋮ 𝑋41] (10)

Assim, a matriz insumo-produto inter-regional é representada por 𝑍∗, e as submatrizes 𝑍_𝑖𝑗1,1, 𝑍_𝑖𝑗2,2... 𝑍_𝑖𝑗40,40e 𝑍_𝑖𝑗41,41 são as sub-matrizes com os fluxos intra-regionais, e as demais sub-matrizes são referentes aos fluxos inter-regionais. Os componentes 𝑌1_, 𝑌2... 𝑌40e 𝑌41; e 𝑋1, 𝑋2... 𝑋40e 𝑋41 são vetores n1 contendo as demandas finais e os produtos setoriais, respectivamente, nas 41 unidades espaciais ( i.e. 40 países mais o “restante do mundo”).

Uma forma mais conveniente de escrever a equação (9) é definir a matriz de coeficientes técnicos, que expressa os requerimentos diretos da matriz inter-regional:

A∗ _{= Z}∗_(X̂∗₎−1 ₍₁₁₎

Reescrevendo-a:

A∗_X∗_{+ Y}∗ _{= 𝑋}∗ ₍₁₂₎

Os elementos de 𝐴∗, chamados de coeficientes técnicos se dividem em dois tipos: coeficientes técnicos intra-regionais e coeficientes técnicos inter-regionais. Sendo possível decompor a matriz A em 1681 submatrizes:

𝐴∗ ₌ [ 𝐴1,1 _𝐴1,2 𝐴2,1 _𝐴2,2 ⋯ 𝐴1,40 _𝐴1,41 𝐴2,40 _𝐴2,41 ⋮ ⋱ ⋮ 𝐴40,1 _𝐴40,2 𝐴41,1 _𝐴41,2 ⋯ 𝐴40,40 _𝐴40,41 𝐴41,40 _𝐴41,41_] (13) em que:

𝐴1,1; 𝐴2,2 ... 𝐴40,40 e 𝐴41,41 = matrizes nxn de coeficientes intra-regionais; e 𝐴1,2; 𝐴2,1 ... 𝐴40,41 e 𝐴41,40 = matrizes nxn de coeficientes inter-regionais.

Manipulando algebricamente a equação (12), tem-se:

X∗ = 𝐵∗𝑌∗ (14)

Assim, é possível escrever o modelo inter-regional completo da seguinte forma: [ 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋40 𝑋41_] = [ 𝐵1,1 _𝐵1,2 𝐵2,1 _𝐵2,2 ⋯ 𝐵1,40 _𝐵1,41 𝐵2,41 _𝐵2,41 ⋮ ⋱ ⋮ 𝐵40,1 𝐵40,2 𝐵41,1 𝐵41,2 ⋯ 𝐵 40,40 _𝐵40,41 𝐵41,40 𝐵41,41][ 𝑌1 𝑌2 ⋮ 𝑌40 𝑌41_] (15)