Modelos de Localização de Instalações Desejáveis

Segundo Ribeiro e Antunes (2002) apud Santos (2012), estudos sobre modelos de localização tem por finalidade identificar a melhor localização, ou seja, a capacidade ótima de equipamentos urbanos e a melhor distribuição da demanda existente entre ambos. Estes modelos deveriam apresentar como resultado a avaliação dos equipamentos urbanos já implantados e a localização ótima daqueles que ainda deveriam ser implantados.

Entre estes modelos destacam-se: p-mediana (p-median), máxima cobertura e p-center.

a) Modelo p-mediana: o problema das p-mediana é um problema clássico de localização de instalações e consiste em localizar, em uma rede, p instalações (medianas) minimizando-se a soma de todas as distâncias de cada ponto de demanda à sua mediana mais próxima, em outras palavras pode-se dizer que o objetivo é minimizar a soma dos produtos da população (ou demanda) de cada ponto e a distância ao centro de oferta mais próximo. O modelo se chama p-mediana pois se considera que p é o número de instalações a localizar.

Tem a seguinte equação geral:

Sujeito a Equação 2

Equação 3

Equação 4

Equação 5 onde: N = {1,2,...,n}: conjunto de pontos de demanda (indexados por i); M = {1,2,...,n}: conjunto de possíveis facilidades (locais candidatos para instalações de facilidades)

dij = distância/custo que separa o ponto de demanda i do ponto

candidato a receber a oferta j;

xij = fator de alocação, vale 1, se o centro da oferta j é o mais

próximo ao ponto da demanda i ou xij = 0, caso contrário;

yj =1, se o vértice j é uma facilidade e yj =0, caso contrário

p= número de facilidades para localizar

A função objetivo (equação 1) tem como propósito selecionar p vértices (facilidades) de forma a minimizar o somatório das distâncias entre os vértices de demanda e a facilidade mais próxima. As equações 2 e 3 asseguram que cada vértice i (demanda) é vinculado a um único vértice j (facilidade). A equação 4 determina o número de facilidades a serem localizadas. A equação 5 estabelece que as variáveis de decisão assumam valores binários.

Segundo Sendra et al. (2000) com este modelo se alcança a máxima eficiência espacial pois o conjunto de traslados que a demanda precisa efetuar para utilizar-se do serviço é o mínimo possível, dada a distribuição espacial da demanda e dos pontos candidatos levantados.

De acordo com Sinuany-Stern et al. (1995), este modelo foi utilizado por Dokmeci (em 1979) para o planejamento regional de instalações de saúde.

b) Modelo de máxima cobertura: este modelo tem como objetivo maximizar a quantidade de demanda que se encontra dentro de uma distância R (pré definida pelo usuário) para os pontos de oferta. Dentro

destas superfícies devem ser alocados a maior quantidade de demanda a algum centro de oferta. A ideia básica é o estabelecimento de um raio de cobertura R (que pode ser equivalente ao alcance espacial de um bem ou serviço), que mostra a distância que é razoável percorrer para usar o serviço, acima deste valor o número de pessoas que se deslocarão para utilizar este serviço será muito pequeno. Ou seja, deve-se buscar situar os novos centros de oferta de modo que a maioria (ou a totalidade) da demanda se encontre ao menor valor de distância de um centro de oferta (Sendra et al., 2000).

Desta forma, tem-se a seguinte função:

Maximizar Equação 6 Sujeito a Equação 7 Equação 8 Equação 9 Equação 10 onde N = {1,2,...,n}: conjunto de pontos de demanda (indexados por i); M = {1,2,...,n}: conjunto de possíveis facilidades (locais candidatos para instalações de facilidades)

Dc = distância de cobertura (raio pré definido)

dij = distância entre a demanda do nó i e o candidato à facilidade j

Ni = {j │dij ≤ Dc}, conjunto de todos os locais candidatos a

facilidades que podem cobrir a demanda i

yj =1, se o vértice j é uma facilidade e yj =0, caso contrário

hi= demanda do nó i

p= número de facilidades para localizar

zi=1, se a demanda do nó i é coberta e zi=0, caso contrário

A função objetivo (equação 6) tem como propósito maximizar a demanda total coberta. A equação 7 garante que a demanda do nó i só é atendida se existir, no mínimo, um candidato à facilidade que possa

atendê-la. A equação 8 limita o número de facilidades a serem alocadas a um valor p (fornecido como dado de entrada do problema). As equações 9 e 10 apresentam a natureza binária das variáveis de decisão utilizadas no modelo.

Segundo Arakaki (2002) o problema de localização de máxima cobertura (PLMC) consiste em escolher locais para instalar equipamentos de forma que o maior número de clientes ou usuários seja coberto, e determinar em qual equipamento cada cliente deverá ser atendido. A variável de decisão é basicamente a distância ou o tempo de serviço, que são considerados críticos ao atendimento da demanda, ou seja, o usuário é considerado coberto se estiver localizado dentro do raio de cobertura. Para Lima (2003), a formulação deste problema só faz sentido quando, por razões orçamentárias, não for possível assegurar a cobertura da demanda total. Já Corrêa et al. (2009) afirmam que não se busca com este modelo atender toda a população, mas oferecer o máximo de atendimento com os recursos disponíveis. O conceito de cobertura está relacionado ao fato de se verificar se um ponto está dentro de uma dada distância ou de um dado tempo de deslocamento até a facilidade.

c) Modelo p-center: neste modelo o objetivo é minimizar a soma das distâncias ponderadas entre cada ponto de demanda e o equipamento mais afastado dele.

Para Sendra et al. (2000) o que se pretende alcançar é a máxima eficácia espacial considerando especificamente a distância que separa cada ponto de demanda respectivo ao equipamento mais distante, deste modo se assegura que o máximo atraso para oferecer o serviço (o tempo de atraso se considera diretamente proporcional a distância) se faz mínimo. Por isso, este modelo é mais adequado para estudar a solução no caso dos serviços de emergência (bombeiros, ambulâncias, polícia, etc.), onde o tempo máximo de atraso é muito importante.

Para Yeh e Chow (1996), a localização de instalações públicas é um problema de locação multi-instalação, envolvendo a alocação de n instalações para m unidades populacionais, onde n ˂ m. É também um problema p-mediano que envolve a determinação da localização de n pontos de demanda nos quais instalações devem ser localizadas de modo a minimizar a distância total entre a população do ponto de demanda e o centro de abastecimento (oferta) mais próximo. Supõe-se que qualquer movimento entre dois pontos (xi, yi) e (xj, yj) é contínuo e pode realizar-se livremente. Além disso, a distância é usada como um

substituto para o custo, tempo, etc., e é definido conforme a equação 11, apresentada a seguir.

Buzai (2011) destaca que na aplicação de modelos de locação- alocação a realização de cálculos de distância dos pontos de demanda aos pontos de oferta (dij) constitui um procedimento importante. Para o

autor, a distância em linha reta, ou distância euclidiana, surge da consideração de um espaço ideal a partir do qual não existem limitações para transitar em qualquer sentido, e se obtém mediante a aplicação da seguinte fórmula:

Equação 11 Segundo Lima (2003), no caso de planejamento de equipamentos coletivos, os problemas de localização são essencialmente de programação linear inteira, pois tanto a função-objetivo como as funções-restrições são lineares e inteiras e a resolução pode ser obtida a partir de métodos exatos ou heurísticos. O autor destaca ainda que os métodos heurísticos tem a vantagem de poderem ser utilizados na resolução de problemas com grandes dimensões sem serem demasiadamente difíceis de resolver, mas tem o inconveniente de não garantirem um ótimo global.

Conforme destaca Galvão et al. (1999):

"apesar das inevitáveis simplificações que devem ser feitas para representar um problema real através de um sistema de equações matemáticas, um modelo matemático pode ser considerado adequado se é capaz de prever com razoável precisão o efeito de mudanças em um dado sistema em seu desempenho. Sua análise e solução podem fornecer informações valiosas sobre a operação do sistema ou organização em estudo".

Os modelos apresentados são bastante utilizados em problemas de localização de instalações desejáveis, constituindo os mais usuais e conhecidos. Yeh e Chow (1996) enfatizam que modelos de locação- alocação que tentem encontrar o melhor local de instalações em termos de minimizar distância total/tempo para consumidores são ferramentas úteis para o planejamento de instalações públicas. Destacam ainda que no passado a aplicação destes modelos era limitada pela disponibilidade de dados e que isto tem mudado com a disponibilidade dos Sistemas de Informação Geográfica - SIG e afirmam que "assim como o

fornecimento de dados, a combinação de análise espacial e funções de visualização de SIG associadas com quaisquer modelos de locação- alocação forneceram uma ferramenta poderosa para o desenvolvimento de um sistema de apoio à decisão espacial para o planejamento de instalações públicas". Na mesma direção de pensamento, Lima (2003) afirma que os modelos de localização de instalações auxiliam na tomada de decisão, principalmente quando existe uma base de dados geograficamente referenciados.

De acordo com Menezes et al. (2011) "a utilização de modelos de localização de facilidades, em conjunto com os Sistemas de Informação Geográfica (SIG), tem se tornado uma ferramenta poderosa de apoio à decisão em ambientes espaciais".

Diante do exposto e dos diferentes estudos apresentados no quadro 3, observa-se que os modelos de locação-alocação são utilizados na maioria dos estudos. Além disso, devido à restrição de incorporar a subjetividade e fatores não quantificáveis, outras técnicas foram integradas a estes modelos, gerando sistemas de apoio à decisão espacial. Nestes sistemas, os Sistemas de Informação Geográfica (SIG) tem tido grande emprego uma vez que permitem a visualização espacial dos dados, contribuindo no processo de tomada de decisão.

2.3. FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS QUE AUXILIAM A