3.3 O Método Split-plot
3.3.1 Modelos e detalhamento da ANOVA no método split-plot
Em toda situação em que um modelo matemático é ajustado a um conjunto de dados é necessário que se avalie a qualidade do ajuste. Caso o modelo gere resíduos grandes isto indica que o mesmo pode ser inadequado27. É evidente que um modelo pode deixar resíduos, isto advém do fato dos dados estudados possuírem intrinsecamente erro em suas medidas. Somente um modelo que se ajuste perfeitamente aos dados experimentais não deixará resíduos, e na prática não se procuram modelos perfeitos, pois nestes casos normalmente eles são super ajustados a todas as informações e não somente a efeitos que possam ser fisicamente significativos.
A ANOVA é uma ferramenta que auxilia no estudo da qualidade dos modelos ajustados. Para planejamentos do tipo “split-plot” duas análises de variância são possíveis5. A primeira possui um caráter geral, que não depende de modelos ajustados aos resultados, permite a decomposição da soma quadrática total – que é a soma das diferenças entre cada medida e a média global elevadas ao quadrado – em parcelas referentes a efeitos como “main-plot”, “sub-plot” e a interação “main-plot-sub-plot”, além dos erros e a fonte de variância pelas replicatas. Este tipo de ANOVA é indicado na Tabela 3, que é similar a Tabela 2 mas possui a indicação das somas quadráticas (SQ),
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Tabela 3. ANOVA para modelo “split-plot”.5
Fonte de variância SQ GL MQ Replicatas (R) SQR (r-1) MQR Main-plot (Z) SQZ (p-1) MQZ Erro Main-plot (RZ) SQRZ (r-1)(p-1) MQRZ Sub-plot (X) SQX (m-1) MQX Interação main-plot-sub-plot (ZX) SQZX (p-1)(m-1) MQZX
Erro Sub-plot SQE p(r-1)(m-1) MQE
onde r é o número de replicatas, p o número de condições de processo e m o número de composições de misturas. Mais adiante são apresentadas as equações que podem ser usadas para calcular as quantidades indicadas nesta Tabela. Com a variância total dividida em parcelas é possível avaliar a significância de cada efeito em relação ao seu próprio erro utilizando o teste F. A segunda ANOVA é mais específica, pois dependerá do modelo a ser ajustado. Ela permitirá avaliar o quanto o modelo explicará da variância de cada efeito. Esta segunda ANOVA é um detalhamento da primeira, subdividindo as fontes de variância referentes ao “main-plot”, “sub-plot” e a interação “main-plot-sub-plot” em duas partes: falta de ajuste e regressão explicada pelo modelo escolhido. Portanto, para a obtenção desta segunda ANOVA o modelo escolhido para ser ajustado aos dados deve possuir menos parâmetros do que o número de experimentos executados, permitindo assim obter os graus de liberdade para testar uma possível falta de ajuste5. Para um planejamento “split-plot” pode-se subdividir a ANOVA como indicado na Tabela 4.
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Tabela 4. Formato detalhado da ANOVA para planejamentos que permitam falta
de ajuste, onde a e b são os números de parâmetros do modelo referente às variáveis de processo e de mistura respectivamente.
Fonte de variância Graus de liberdade (GL) Média Quadrática (MQ)
Replicatas (R) (r-1) MQR
Main-plot (Z) (p-1) MQZ
Regressão (ZREG) (a-1) MQZREG
Falta de ajuste (ZLOF) (p-a) MQZLOF
Erro Main-plot a (r-1)(p-1) MQRZ
Sub-plot (X) (m-1) MQX
Regressão (XREG) (b-1) MQXREG
Falta de ajuste (XLOF) (m-b) MQXLOF
Interação main-sub-plot (ZX) (p-1)(m-1) MQZX
Regressão (ZXREG) (a-1)(b-1) MQZXREG
Falta de ajuste (ZXLOF) pm – ab – p – m + a + b MQZXLOF
Erro Sub-plot b (r-1)(m-1)+(r-1)(m-1)(p -1) MQE
a
Obtido da interação “main-plot”-replicata b
Obtido da interação “sub-plot”-replicata e “main-sub-plot”-replicata.
Assim testes estatísticos poderão ser executados para avaliar a qualidade dos modelos gerados.
Observando a Tabela 4 nota-se que a variância relacionada ao “main-plot” pode ser explicada em três parcelas: uma devido ao erro, outra devido a regressão do modelo ajustado, e outra referente à falta de ajuste. O mesmo se aplica ao “sub-plot” e a interação “main-sub-plot”, com uma diferença: muitos estatísticos preferem inserir o erro referente à interação “main-sub-plot” dentro do erro “sub-plot” em planejamentos “split-plot”, como já explicado.
O fato de realizar experimentos em replicatas permite se obter uma estimativa do erro. Neste caso para cada fonte de variância (“main-plot”, “sub-plot” e a interação “main-plot-sub-plot”) têm-se suas interações com as replicatas. Isto permite obter o erro para cada fonte. Este erro associado a um efeito (como o “main-plot”) é análogo ao erro puro em uma modelagem convencional com replicatas. Mas não se deve esquecer que no planejamento “split-plot” há basicamente duas fontes de erros, uma devido ao “main-plot” e outra ao “sub-plot”. Isto não nos permite atribuir um erro puro único às medidas. Assim determinam-se erros diferentes para os blocos (“main-plot”) e para as medidas presentes no interior dos blocos (“sub-plot”).
17 A variância possui além do erro mais duas possíveis fontes: uma referente à regressão (variância explicada pelo modelo) e outra pela falta de ajuste do próprio modelo. Para compreender melhor estas fontes de variância será adotada a seguinte estratégia: decompõem-se os desvios referentes às respostas observadas em relação à média global. Observe a Figura 5 que mostra o caso análogo univariado para regressão linear convencional.
Figura 5 . Decomposição do desvio de uma observação em relação à média global, (yi −y), na soma das parcelas (y)i −y)e (yi−y)i).1
É possível notar que o desvio de uma resposta individual, yi, em relação a média de todas as respostas observadas (y), (yi −y), pode ser decomposto em duas parcelas ) ( ) ( i i i i y y y y y y − = ) − + − ) . Equação 8 A primeira parcela da Equação 8, (y)i−y), representa o desvio da previsão feita pelo modelo para um ponto, y)i, em relação à média global. A segunda parcela é a diferença entre o valor observado e o valor previsto. Em um modelo bem ajustado
18 o valor da segunda parcela deve ser pequeno. Como os valores dos dados reais oscilam de forma negativa e positiva em relação aos valores previstos pelo modelo, para que possa ser feita a soma destes desvios é necessário elevar os membros da Equação 8 ao quadrado, e fazer o somatório para todos os pontos.